34 R´ eduction d’endomorphismes : diagonalisation
34.1 Valeurs propres, vecteurs propres
3 −2 −1
2 −1 1
6 3 −2
.
Calculer son polynˆome caract´eristique, calculer A2 et d´eduire de ces calculs et du th´eor`eme de Cayley-Hamilton l’inverse de A.
Exercice 1118 On se place dans E = C 4 muni de sa base canonique b = (e1, e2, e3, e4). On d´esigne par j l’endomorphisme de E dont la matrice dansb est la matrice suivante
J =
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
∈M4(C).
1. D´eterminer l’image de b par j, j2, j3, etj4. 2. En d´eduire J2, J3 et J4.
3. D´eterminer un polynˆome annulateur non nul de J.
4. Montrer que si P ∈C[X] avec deg(P)63 v´erifie P(J) = 0 alors P = 0.
5. En d´eduire le polynˆome minimal de J.
6. Montrer que J est diagonalisable.
7. D´eterminer les valeurs propres de J.
34 R´ eduction d’endomorphismes : diagonalisation
34.1 Valeurs propres, vecteurs propres
Exercice 1119 Soit m ∈Ret Am ∈M3(R) la matrice
m 1 1
1 m 1
1 1 m
. 1. Calculer les valeurs propres de Am et une base de vecteurs propres.
2. D´eterminer suivant les valeurs de m le rang de Am. D´eterminer lorsque cela est possible A−1m .
3. Lorsque Am n’est pas inversible d´eterminer le noyau et l’image de Am.
Exercice 1120 Soit A∈ On(R). Montrer que si−1 n’est pas valeur propre deA, alors il existe une matriceQantisym´etrique (i.e.tQ=−Q) telle queA= (I+Q)−1(I−Q) = (I−Q)(I+Q)−1 et qu’on aA∈ SOn(R). R´eciproque ?
Exercice 1121 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g∈ L(E). Montrer que si λ est valeur propre de g ◦f alors λ est valeur propre de f ◦g (on distinguera les cas λ= 0 etλ6= 0).
34 R´eduction d’endomorphismes : diagonalisation 138 Exercice 1122 1. Soientf etg deux endomorphisme s d’un espace vectorielEde dimension
n sur
K =R ou C, ayant chacun n valeurs propres distinctes dans K. Montrer que f ◦g =g◦f ⇐⇒f et g ont les mˆemes valeurs propres.
2. Supposons maintenant queK =Cet quef◦g =g◦f. Siuest un endomorphisme on dit qu’un espace vectorielF estu−stable si u(F)⊂F. Montrer que tout sous-espace propre def est g−stable.
Remarque : On peut montrer par r´ecurrence surn qu’il existe un vecteur propre commun
`a fet g. On admettra ce r´esultat.
3. Consid´erons f etg deux endomorphismes deR3 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement – D´eterminer une base deR3 dans laquelle les matrices de f etg sont diagonales.
Exercice 1123 Soient A ∈ M4(R) et B ∈ M3(R). Soit f l’endomorphisme associ´e `a la
1. Uniquement en examinant la matrice A, trouver deux valeurs propres et un vecteur propre de A, puis deux sous-espaces f−stables.
2. Que repr´esente la matrice B?
34.2 Diagonalisation
Exercice 1124 Soient Rn euclidien, f ∈ On(R). Montrer que f est diagonalisable si et seule-ment si f est une sym´etrie orthogonale.
Exercice 1125 Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes :
A=
Peut-on d´eterminer a, btels que B soit la matrice d’un produit scalaire ?
Exercice 1126 Montrer que si A est une matrice sym´etrique r´eelle, alorsA+iI est inversible.
Exercice 1127 Soitf un endomorphisme deC3dont la matrice par rapport `a la base canonique est :
M =
2 −1 1
−1 k 1
1 1 2
, o`uk∈C.
(a) D´eterminer, suivant les valeurs dek, la dimension du noyau de f.
(b) Montrer queM admet une valeur propre r´eelle enti`ere ind´ependante dek, et calculer toutes les valeurs propres deM.
(c) Indiquer toutes les valeurs de k pour lesquelles on obtient des valeurs propres multiples.
Pour quelles valeurs de cesk la matrice M est-elle semblable `a une matrice diagonale ? Exercice 1128 Soit A∈Mn(R) telle queA2 =−I.
1. Montrer que n est pair,n = 2p.
2. CalculerSpR(A) et montrerSpC(A) = {i,−i}.Pour quelle raisonAest elle diagonalisable surC?
3. Montrer que si{y1, . . . yk}est une base deEi,alors{y1, . . . yk}est une base deE−i.Quelle est donc la valeur dek?
4. D´emontrer que A est semblable (dans Mn(R)) `a une matrice diagonale par blocs dont chacun des blocs diagonaux est
µ0 −1
1 0
¶
. (on pourra utiliser la question 3.)
Exercice 1129 Soient M etN ∈Mn(K). On noteϕM ∈ L(Mn(K)) l’application N 7→MN − NM.
1. Soient A=
µ3 −4 2 −3
¶
et B = µ1 2
0 1
¶
. Diagonaliser A et montrer que B n’est pas diago-nalisable.
2. Montrer que si N est un vecteur propre associ´e `a une valeur propre non nulle λ de ϕM
alors N est nilpotente. (on pourra ´etablir que pour tout k∈N:MNk−NkM =kλNk.) 3. Montrer que l’identit´e n’appartient pas `a l’image de ϕM. (utiliser la trace.)
4. Soit D=
µ1 0 0 −1
¶
. Diagonaliser ϕD puis ϕA. Montrer que ϕB n’est pas diagonalisable.
5. Montrer que si M est diagonalisable, ϕM est diagonalisable.
6. Etablir la r´eciproque lorsque M a au moins une valeur propre.
Exercice 1130 SoitE unK-espace vectoriel. Une applicationp∈ L(E) est nomm´ee projecteur lorsque p2 =p.
1. Montrer que sipest un projecteur 1−pest un projecteur. Montrer que Im(p)⊕Ker(p) = E.
2. On suppose que K = R. Soient p et q deux projecteurs tels que p +q soit aussi un projecteur. Montrer que :
(a) pq=qp= 0.
(b) Im(p+q) = Im(p) + Im(q).
(c) Ker(p+q) = Ker(p)∩Ker(q).
On suppose d´esormaisE de dimension finie et K=R.
3. Montrer que tout projecteur est diagonalisable et que deux projecteurs sont semblables si et seulement si ils ont mˆeme trace.
34 R´eduction d’endomorphismes : diagonalisation 140
4. Montrer que toute matrice diagonalisable est combinaison lin´eaire de projecteurs.
Exercice 1131 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, P ∈K[X] et u∈ L(E). On note P(Sp(u)) ={P(λ);λ∈Sp(u)}.
1. On suppose que uest diagonalisable. Montrer que P(Sp(u)) =Sp(P(u)).
2. Montrer, dans le cas g´en´eral, P(Sp(u))⊂Sp(P(u)).
3. LorsqueK=Cmontrer queSp(P(u))⊂P(Sp(u)).Ce r´esultat est-il vrai lorsqueK=R? Exercice 1132 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) telle que f2 soit diagonalisable. Montrer que f est diagonalisable si et seulement si Ker(f) = Ker(f2).
Exercice 1133 Soit f ∈ L(R3) d´etermin´ee par sa matrice M =
1 1 1
1 1 1
−1 1 1
dans une base {e1, e2, e3} deR3.
1. Montrer que M est diagonalisable.
2. Montrer que la restriction de f a tout sous-espace stable est diagonalisable.
3. En d´eduire tous les sous-espaces de R3 stables par f.
Exercice 1134 Soit M ∈Mn(K) etϕM ∈ L(Mn(K)) l’applicationN 7→MN. Montrer queϕM est diagonalisable si et seulement si M est diagonalisable. (utiliser le polynˆome minimal.) Exercice 1135 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) diagonalisable.
Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) La famille {id, f, f2, . . . , fn−1} est libre.
(ii) Il existex∈E :{x, f(x), f2(x), . . . , fn−1(x)}engendre E.
(iii) Les valeurs propres def sont simples.
Exercice 1136 Soit ρ l’application de R4[X] dans lui-mˆeme qui `a un polynˆome P associe le reste de la division euclidienne de P par (X2 −1).
1. Montrer que ρ est lin´eaire.
2. Montrer que ρ2 =ρ. En d´eduire que ρ est diagonalisable.
3. D´eterminer (de pr´ef´erence sans calcul) une base de vecteurs propres pour ρ.
Exercice 1137 Soitf l’endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique{e1, e2, e3} est
A=
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
1. Calculer les valeurs propores de A. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? 2. Calculer (A−I)2. En d´eduire An, en utilisant la formule du binˆome de Newton.
3. Soient P(X) = (X−1)2 et Q∈R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de Q par P en fonction de Q(1) et Q0(1), o`uQ0 est le polynˆome d´eriv´e de Q.
En remarquant que P(A) = 0 (on dit alors que P est un polynˆome annulateur de A) et en utilisant le r´esultat pr´ec´edent avec un choix judicieux du polynˆome Q, retrouver An.
4. Montrer que l’image deR3par l’endomorphisme (A−I) est un sous-espace de dimension 1, dont on d´esignera une base parε2. D´eterminer ensuite un vecteurε3 tel quef(ε3) =ε2+ε3. Soit enfin ε1, un vecteur propre de f, non colin´eaire `a ε2. Ecrire ˜A, la matrice de f dans la base{ε1, ε2, ε3}, ainsi que la matrice de passageP et son inverse P−1. RetrouverAn. Exercice 1138 Soitf un automorphisme d’unC-espace vectorielEde dimension finie. Montrer quef est diagonalisable si et seulement si f2 est diagonalisable.
Exercice 1139 Les questions sont ind´ependantes. K d´esigne R ou C, E est un K-espace vec-toriel de dimension finie n, B = (e1, ..., en) est une base fix´ee de E et f un endomorphisme de E.
1. Quels sont les valeurs propres de l’endomorphisme nul de E? 2. On suppose que la matrice de f dans B estM =
3. Pourquoi un vecteur de E ne peut-il ˆetre vecteur propre relativement `a deux valeurs propres distinctes ?
4. (a) Est-il vrai que si λ est une valeur propre de f et si P est un polynˆome annulateur de f alors λ est racine de P?
(b) Est-il vrai que si λ est une racine d’un polynˆome annulateur de f alors λ est une valeur propre de f?
5. Montrer que si f2−2f+ IdE = 0 alors 1 est valeur propre def.
6. Montrer qu’il existe toujours au moins un scalaire α tel que f−αIdE est bijectif.
7. Donner un exemple d’endomorphisme f de E avec n = 2 tel que la somme de deux vecteurs propres de f n’est pas un vecteur propre de f.
8. On suppose que E = E1 ⊕E2 et que si x ∈ E s’´ecrit x1 +x2 avec x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2 alors f(x) = 2x1−3x2.
(a) Quel r´esultat assure l’existence d’un tel endomorphisme ? (b) Montrer que f est diagonalisable.
9. La matrice M =
10. Si l’ endomorphisme f admet 0 pour valeur propre et est diagonalisable, que peut-on dire de la dimension du noyau de f?
Exercice 1140 Etudier le caract`ere diagonalisable des matrices suivantes et le cas ´ech´eant, les´ diagonaliser :
34 R´eduction d’endomorphismes : diagonalisation 142 1. Montrer que f est un endomorphisme de Mn(K).
2. Montrer que T = {M ∈ Mn(K) : tr(M) = 0} et vect(A) sont des sous-espaces propres def.
3. En d´eduire que f est diagonalisable et ´ecrire la matrice r´eduite de f.
Exercice 1142 Montrer que si le polynˆome minimal d’un endomorphisme f d’un K-espace vectoriel de dimension finie admet une racine λ∈K alors λ est valeur propre de f.
Exercice 1143 Etudier le caract`ere diagonalisable des matrices suivantes´ 1. A=
Exercice 1144 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E de rang 1.
1. Montrer que si f est diagonalisable alors tr(f)6= 0.
2. Montrer qu’il existe λ∈K tel que le polynˆome cararact´eristique de f s’´ecrive χf = (−1)nXn−1(X−λ).
3. (a) Montrer que f est diagonalisable si et seulement si tr(f)6= 0.
(b) R´eduire sans calcul la matrice A =
³ 1 1 −1
Exercice 1145 Soient les matrices A=
³ 4 0 0
(a) Montrer que Y et D commutent.
(b) En d´eduire que Y est diagonale puis d´eterminerY. 2. (a) Montrer que A est diagonalisable.
(b) En d´eduire les solutions X ∈ M3(R) de l’´equation X2 =A.
Exercice 1146 Soient E un C-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E.
1. Montrer que si f est diagonalisable alorsf2 est diagonalisable et rg(f) = rg(f2).
2. Soit µ∈C\ {0}. Montrer que ker(f2−µ2IdE) = ker(f −µIdE)⊕ker(f +µIdE).
3. On suppose rg(f) = rg(f2).
(a) Montrer que ker(f) = ker(f2).
(b) On suppose en outre que f2 est diagonalisable. Montrer que f est diagonalisable.
Exercice 1147 On consid`ere la matrice par blocs A=
µ O −In In 0
¶
∈ M2n(C).
1. Calculer A2.
2. Rechercher les ´el´ements propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
Exercice 1148 On d´esigne par E l’espace vectoriel des polynˆome s `a coefficients r´eels, et par En, le sous-espace des polynˆome s de degr´e au plus n.
1. Montrer que pour toutx dansR, ∆P(x) = (x+ 1)P0(x) + 2P(x) d´efinit une application lin´eaire de E dans E. Quel est le degr´e de ∆P lorsque P appartient `a En?
2. On consid`ere ∆2, la restriction de ∆ au sous-espace E2. D´eterminer les valeurs propres de ∆2. L’endomorphisme ∆2 est-il diagonalisable ? Est-ce que ∆2 est un isomorphisme ? 3. En utilisant la d´efinition des valeurs propres, calculer les valeurs propres et les polynˆome
s propres de ∆.
Exercice 1149 Pour tout ´el´ement non nul a= (a1, a2, . . . , an) de Rn, on consid`ere l’endomor-phisme u deRn dont la matrice dans la base canonique {eij, i, j = 1,2, . . . , n} est la matrice A= (αi,j) o`u αi,j =aiaj.
1. D´eterminer le noyau et l’image de u.
2. En d´eduire les sous-espaces propres de u. D´eterminer les valeurs propres de u. L’endo-morphismeu est-il diagonalisable ?
3. Quel est le polynˆome caract´eristique de u?
Exercice 1150 Soit B une matrice diagonalisable de Mn(R). On d´efinit son rayon spectral par
ρ(B) = max{|λ| avec λ est une valeur propre de B}. 1. Montrer que limk−→+∞Bk = 0.
2. En d´eduire que I−B est inversible et que (I−B)−1 = X+∞
k=0
Bk. Exercice 1151 (Endomorphisme diagonalisable de R2)°c
On consid`ere l’endomorphismeadeE =R2dont la matrice repr´esentativeA= [a]eedans la base canonique e est
· 7 −10 5 −8
¸
. Calculer la trace, le d´eterminant, le polynˆome caract´eristique et le spectre de a. Quel th´eor`eme du cours garantit l’existence d’une basef = (f~1, ~f2) de vecteurs propres ? Choisir ensuite f telle que [idE]ef et [idE]fe soient `a coefficients entiers. Dessinerf~1 et f~2, en prenant des unit´es d’axes assez petites. Dessiner quelques vecteurs ~xet leurs imagesa(~x)
`a l’aide de f.
Trouver deux matrices P et D carr´ees d’ordre 2 telles que D soit diagonale, P inversible et A=P DP−1. Calculer [a50]ff, [a50]ee et A50. Calculer limn∞ 312na2n.
Exercice 1152 (Endomorphisme d’un espace de matrices)°c
Soit K un corps commutatif quelconque, et soit F = Mn(K) l’espace vectoriel sur K des matrices carr´ees d’ordren `a coefficients dans K. Sii etj sont des entiers compris entre 1 etn, on note parFij l’´el´ement de F dont le coefficient (i, j) est 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Montrer que lesFij forment une base deF. Dimension deF ? SoitDdansF et diagonale.
Soient α et β dans K et soit l’endomorphisme Φ de F qui `a la matrice X fait correspondre la matrice Φ(X) =αXD+βDX.Calculer Φ(Fij). Φ est il un endomorphisme diagonalisable ? Donner son polynˆome caract´eristique en fonction des coefficients de D et de α etβ.