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1 Biblioth` eque math

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PTSI - Travaux Pratiques d’informatique

Biblioth`eques Python

Nous utiliserons dans ce TP le langage de programmation Python au moyen de l’environnement de d´eveloppement IDLE.

Les biblioth` eques Python regroupent des fonctions utiles que l’on peut utiliser sans avoir `a les red´efinir.

1 Biblioth` eque math

Une fois charg´ee, la biblioth`eque math permet d’utiliser les principales constantes et fonctions math´e- matiques.

>>>from math import*

>>>e,pi,sqrt(2)

(2.718281828459045,3.14159265389793,1.4142135623730951) Exercice 1. Calculer une valeur approch´ee de e

2 ln 5

et de cos

π9

cos

9

cos

9

.

2 Biblioth` eque fractions

La biblioth`eque fractions permet le calcul avec des fractions.

>>>from fractions import*

>>>Fraction(1,3)-Fraction(1,4) Fraction(1,12)

Exercice 2. Calculer la valeur exacte de 1 2 +

2+11

2+ 12

.

3 Biblioth` eque cmath

La biblioth`eque cmath permet le calcul avec des nombres complexes.

>>>from cmath import*

>>>z=complex(3,4)

>>>z.real,z.imag,abs(z),phase(z) (3.0,4.0,5.0,0.9272952180016122)

Exercice 3. Calculer une valeur approch´ee de Im(e

).

Certaines fonctions pouvant ˆetre d´efinies dans plusieurs biblioth`eques, il est prudent de pr´eciser la d´efinition que l’on souhaite utiliser.

>>>import math,cmath

>>>math.sqrt(4),cmath.sqrt(4) (2.0,(2+0j))

Exercice 4. Comparer les r´esultats fournis par les biblioth`eques math et cmath pour le calcul de cos(π).

www.emmanuelmorand.net 1/3 PTSI1516TpInfo02

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PTSI - Travaux Pratiques d’informatique Biblioth`eques Python

4 Biblioth` eque random

La biblioth`eque random permet de g´en´erer des nombres pseudo-al´eatoires.

>>>from random import*

>>>random()

0.30346339068560835

>>>randint(1,6) 2

Exercice 5. Simuler une suite de 10 lancers au jeu de Pile ou Face avec une pi`ece ´equilibr´ee.

5 Biblioth` eque sympy

La biblioth`eque sympy permet le calcul formel.

>>> from sympy import*

>>> x=symbols(’x’)

>>> y=symbols(’y’)

>>> expand((x+y)**3)

x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3

>>> factor(x**3-y**3) (x - y)*(x**2 + x*y + y**2)

>>> simplify(x**2/(1+x)-1/(1+x)) x - 1

Exercice 6. Factoriser (ac − bd)

2

+ (ad + bc)

2

.

>>> f=exp(x)/(2*x**2+1)

>>> plot(f,(x,-5,5))

<sympy.plotting.plot.Plot object at 0x0000000009D20588>

>>> limit(f,x,-oo) 0

>>> limit(f,x,+oo) oo

>>> df=diff(f,x)

>>> factor(df)

(2*x**2 - 4*x + 1)*exp(x)/(2*x**2 + 1)**2

>>> solve(2*x**2-4*x+1>0,x)

And(Or(re(x) < -sqrt(2)/2 + 1, re(x) > sqrt(2)/2 + 1), im(x) == 0)

Exercice 7. Etudier les variations de la fonction ´ g : x 7→ xe

x2

.

www.emmanuelmorand.net 2/3 PTSI1516TpInfo02

(3)

PTSI - Travaux Pratiques d’informatique Biblioth`eques Python

R´ eponses

1)

>>> exp(2*log(5)) 24.999999999999996

>>> cos(pi/9)*cos(2*pi/9)*cos(4*pi/9) 0.12500000000000006

2)

>>> Fraction(1,2+Fraction(1,2+Fraction(1,2+Fraction(1,2)))) Fraction(12, 29)

3)

>>> exp(complex(0,1)*pi).imag 1.2246467991473532e-16

4)

>>> math.cos(math.pi),cmath.cos(cmath.pi) (-1.0, (-1-0j))

5)

>>> randint(0,1),randint(0,1),randint(0,1),randint(0,1),randint(0,1), randint(0,1),randint(0,1),randint(0,1),randint(0,1),randint(0,1) (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

6) (ac − bd)

2

+ (ad + bc)

2

= (a

2

+ b

2

)(c

2

+ d

2

)

>>> a,b,c,d=symbols(’a’),symbols(’b’),symbols(’c’),symbols(’d’)

>>> factor((a*c-b*d)**2+(a*d+b*c)**2) (a**2 + b**2)*(c**2 + d**2)

7)

x −∞ −

22 22

+∞

0

12

q

2 e

variations de g ց ր ց

12

q

2

e

0

>>> g=x*exp(-x**2)

>>> limit(g,x,-oo) 0

>>> limit(g,x,+oo) 0

>>> dg=diff(g,x)

>>> factor(dg)

-(2*x**2 - 1)*exp(-x**2)

>>> solve(-(2*x**2 - 1)>0,x)

And(-sqrt(2)/2 < re(x), im(x) == 0, re(x) < sqrt(2)/2)

>>> g.subs(x,-sqrt(2)/2) -sqrt(2)*exp(-1/2)/2

>>> g.subs(x,sqrt(2)/2) sqrt(2)*exp(-1/2)/2

www.emmanuelmorand.net 3/3 PTSI1516TpInfo02

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