Colle PC Semaine 7 2012-2013
Réduction + Analyse (révision)
EXERCICE 1 :
Quelle est la nature de la suiteun=
2 sin 1
n
+3 4cosn
n
?
EXERCICE 2 :
Pourn>1, on considère le polynômePn(X) =Xn+Xn−1+. . .+X−1.
1. Démontrer quePn possède une seule racine dansR+ , que l’on noteun. 2. Démontrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire qu’elle converge.
3. Démontrer que, pour toutn>1,un> 1 2. 4. Démontrer que (un) converge vers 1
2.
EXERCICE 3 :
Pour toutn∈N∗, on pose :
Hn=
n
X
k=1
1 k 1. Démontrer que, pour toutn>1,H2n−Hn>1
2
2. Quel est le sens de variation de (Hn) ? En déduire que lim
n→+∞Hn= +∞
My Maths Space 1 sur 2
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Corrections
EXERCICE 1 :
Pour toutn∈N,|cosn|61.
n→+∞lim sin 1
n
= 0 donc pour toutǫ >0, il existenǫ>0, tel que pour toutn>nǫ, on a
sin 1
n
6ǫ. En particulier pourǫ= 1
16, il existen0∈Ntel que :
∀n>n0,
sin 1
n
6 1
16 Ainsi, pour toutn>n0,
2 sin 1
n
+3 4cosn
62× 1
16+3
4 ×1 = 7
8. C’est à dire que l’on a :
∀n>n0,|un|6 7
8 n
On obtient donc, grâce au théorème de comparaison : lim
n→+∞un= 0
EXERCICE 2 :
My Maths Space 2 sur 2
