(a) Montrer que pour toutn∈N∗, n X k=1 k(k+ 1

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Universit´e de Cergy-Pontoise Date: janvier 2017

Examen L1-S1-PCST

Dur´ee: 3h , les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Exercice 1.

(a) Montrer que pour toutn∈N^∗,

n

X

k=1

k(k+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)

3 .

(b) Calculer les limites suivantes:

(i) limx→+∞ 3x⁴−2x³+1

4x⁴+x²+10x. (ii) limx→+∞x² e^x. (iii) limx→0 3sin(x)−xcos(x)−2x

x⁵ .

(c) Exprimercos(3θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ).

Exercice 2.

On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) = 3xe^x2−2x³.

(i) Justifier rapidement quef est continue et d´erivable.

(ii) Calculer f⁰(x) et v´erifier que f⁰(x)>0,∀x∈R. (iii) Montrer quef est une bijection deRdans R.

(iv) Soitf⁻¹ la fonction r´eciproque def, calculerf⁻¹(0) et (f⁻¹)⁰(0).

Exercice 3.

On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) = 1

2x−1

3sin(x−1) +1 2.

Soit (un)n∈N la suite d´efinie par u0= 2 et pour toutn∈N,un+1 =f(un).

(i) Montrer que pour toutx∈R,|f⁰(x)|≤ ⁵₆.

(ii) Calculerf(1), puis `a l’aide du th´eor`eme des acroissements finis, montrer que∀n∈N,

|un+1−1|≤ 5

6 |un−1|. (iii) Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N,

|u_n−1|≤(5

6)ⁿ|u₀−1|.

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En d´eduire que limn→+∞un= 1.

Exercice 4.

Soity(x) une fonction d´erivable.

(i) Pour tout C ∈ R, v´erifier que y(x) = Ce^−2x est solution de l’´equation diff´erentielley⁰+ 2y = 0.

(ii) A l’aide de la m´ethode de variation de la constante, d´eterminer toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle

y⁰+ 2y= 3x.

Exercice 5.

(i) D´eterminer toutes les solutions dans C, sous forme exponentielle, de l’´equation:

z⁵−1 = 0.

Soitω =e^2iπ5 .

(ii) A l’aide de l’identit´ez⁵−1 = (z−1)(1 +z+z²+z³+z⁴), montrer que 1 +ω+ω²+ω³+ω⁴= 0.

(iii) V´erifier que

ω+ω⁴ = 2cos(2π

5 ) et ω²+ω³ = 2cos(4π 5 ).

En d´eduire que 1 + 2cos(^2π₅ ) + 2cos(^4π₅ ) = 0.

(iv) En d´eduire, `a l’aide de la formule cos(2θ) = 2cos²(θ)−1, que cos(^2π₅ ) est solution de l’´equation

4x²+ 2x−1 = 0.

Puis calculer la valeur exacte de cos(^2π₅ ).