X+∞ k=1 (−1)k+1 (1 +x)−1)k k = X+∞ k=1 (−1)k+1 xk k =x− x2 2 + x3 3 − x4 4

7.19 1) ln(1 +x) = X+∞

k=1

(−1)^k+1 (1 +x)−1)^k

k =

X+∞

k=1

(−1)^k+1 x^k k

=x− x²

2 + x³ 3 −

x⁴

4 +. . .+ (−1)^k+1x^k k +. . .

La convergence de la série de Taylor n’a lieu qu’aux conditions suivantes (toutes équivalentes) :

1 +x∈]0 ; 2]

0<1 +x62

−1< x61 x∈]−1 ; 1]

Le domaine de convergence est ainsi]−1 ; 1].

2) ln(1−x) = ln 1 + (−x)

= X+∞

k=1

(−1)^k+1 (−x)^k

k =

X+∞

k=1

(−1)^k+1 (−1)^kx^k k

= X+∞

k=1

(−1)^k+1·(−1)^kx^k k =

X+∞

k=1

(−1)^2k+1

| {z }

=−1

x^k k =

X+∞

k=1

−x^k k

=−x− x²

2 − x³

3 − x⁴

4 −. . .− x^k

k −. . .

La convergence de la série de Taylor n’a lieu qu’aux conditions suivantes (toutes équivalentes) :

−x ∈]−1 ; 1]

−1<−x61 1> x>−1 x∈ [−1 ; 1[

Le domaine de convergence est ainsi[−1 ; 1[.

3) ln

1 +x 1−x

= ln(1 +x)−ln(1−x) = X+∞

k=1

(−1)^k+1 x^k k −

X+∞

k=1

−x^k k

=

+∞

X

k=1

(−1)^k+1x^k k −

− x^k

k

=

+∞

X

k=1

(−1)^k+1 x^k k + x^k

k

= X+∞

k=1

(−1)^k+1+ 1x^k k

Or(−1)^k+1+ 1 =

(0 si k est pair 2 si k est impair.

Il ne reste par conséquent que les termes impairs de cette série : ln

1 +x 1−x

= X+∞

k=0

2 x^2k+1 2k+ 1 =

X+∞

k=0

2

2k+ 1 x^2k+1

= 2x+ 2

3x³+ 2

5x⁵+. . .+ 2

2k+ 1x^2k+1+. . .

Analyse : développement en série d’une fonction Corrigé 7.19

Cette série de Taylor ne peut converger que si les deux séries de Taylor deln(1 +x) et de ln(1−x) sont toutes deux convergentes, c’est-à-dire si x∈]−1 ; 1]∩[−1 ; 1[ = ]−1 ; 1[

Analyse : développement en série d’une fonction Corrigé 7.19