( 1 si k = 0 X (X − 1) · · · (X − k + 1) si k ≥ 1 . On dénit aussi des endomorphismes D et ∆ de R [X ] par :

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Problème

Pour n ∈ N, on dénit dans R n [X] des familles C n et F n de polynômes par : C _n = (1, X, · · · , X ⁿ ) base canonique de R n [X ].

F n = (F 0 , F 1 , · · · , F n ) avec F k =

( 1 si k = 0 X (X − 1) · · · (X − k + 1) si k ≥ 1 . On dénit aussi des endomorphismes D et ∆ de R [X ] par :

∀P ∈ R [X], D(P) = P

(dérivé) , ∆(P ) = P b (X + 1) − P.

On ne demande pas de vérier la linéarité.

1. Premières propriétés.

a. À quel espace ∆ ◦ D et D ◦ ∆ appartiennent-ils ? Sont-ils égaux ?

b. Soit P ∈ R [X ] de degré n et de coecient dominant a . Préciser le degré et le coecient dominant de D(P ) et de ∆(P ) .

On dénit D n et ∆ n par :

∀P ∈ R n [X ], D _n (P ) = D(P ), ∆ _n (P) = ∆(P ).

On utilisera le fait que D _n ∈ L( R n [X]) et ∆ _n ∈ L( R n [X]) . c. Montrer que F n est une base de R n [X ] .

Pour tout k ∈ N et tout i ∈ J 0, k K, on dénit s(i, k) et σ(i, k) (nombres de Stirling de première et deuxième espèce) par :

F k =

k

X

i=0

s(i, k)X ⁱ (première espèce), X ^k =

k

X

i=0

σ(i, k)F i (deuxième espèce)

2. Expressions récursives.

a. Pour k ∈ N, que valent s(0, k) et s(k, k) ? Pour k ≥ 1 et i ∈ J 1, k K, exprimer s(i, k + 1) en fonction de s(i − 1, k) et s(i, k) .

b. Pour k ∈ N, que valent σ(0, k) et σ(k, k) ? Pour k ≥ 1 et i ∈ J 1, k K, exprimer σ(i, k + 1) en fonction de σ(i − 1, k) et σ(i, k) .

c. Calculer les σ(i, 4) pour i de 0 à 4 . 3. Propriétés de ∆ .

a. Pour tout k ∈ N, calculer ∆(F k ) .

b. Préciser ker ∆ et l'image de ∆ n pour n ≥ 1 .

c. Montrer que tout polynôme non nul admet un unique antécédent pour ∆ divisible par X . Préciser un tel antécédent pour X ⁴ .

4. Application à un calcul de somme. Préciser des réels a , b , c tels que

∀n ∈ N

,

n

X

i=1

i ⁴ = n(n + 1)(2n + 1)

30 (an ² + bn + c).

5. Combinaison linéaire innie d'opérateurs D ⁱ = D ◦ · · · ◦ D .

a. On rappelle que la somme d'une famille innie de vecteurs n'aucun sens en général.

Pourtant, l'expression

+∞

X

i=1

1 i! D ⁱ

désigne bien un élément de L( R [X ]) . Pourquoi ? Comment est-il déni ?

b. Pour tout réel a , préciser les coordonnées d'un polynôme P ∈ R n [X] dans la base (1, (X − a), · · · , (X − a) ⁿ ) . En déduire les coordonnées de P b (X + a) dans la base canonique C _n .

c. Montrer que

∆ =

+∞

X

i=1

1 i! D ⁱ .

6. Combinaison linéaire innie d'opérateurs ∆ ⁱ = ∆ ◦ · · · ◦ ∆ . a. Pour tous i et k dans N

, calculer ∆ ⁱ (F k ) puis ∆ ^ ⁱ (F k )(0) .

b. En utilisant a., exprimer les coordonnées d'un P ∈ R ⁿ [X ] dans F n . c. Pour tout k ∈ N, on note E k = _k! ¹ F k . Que vaut ∆(E k ) ? Montrer que

∀k ∈ N

, D(E k ) =

k

X

i=1

(−1) ⁱ⁻¹ i E _k−i .

d. Montrer que

D =

+∞

X

i=1

(−1) ⁱ⁻¹ i ∆ ⁱ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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MPSI B Année 2018-2019. DS 7 le 15/02/19 29 juin 2019

Exercice 1

Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.

Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .

On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :

∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.

À tout élément u de L(E) , on associe u ⁺ déni par u ⁺ = 1

m X

g∈G

g

◦ u ◦ g.

1. Montrer que u ⁺ est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u ⁺ ) ⁺ .

3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p ⁺ ) = F .

b. Montrer que :

∀(g, h) ∈ G ² , g

◦ p ◦ g ◦ h

◦ p ◦ h = h

◦ p ◦ h.

c. Montrer que p ⁺ est un projecteur.

d. Montrer que le noyau de p ⁺ est stable par tout élément g de G .

Exercice 2

On note E l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Lorsque P ∈ E et t ∈ R, on désigne par P(t) (au lieu de P e (t) ) la valeur en t de la fonction réelle associée à P .

Si vous utilisez des polynômes d'interpolation, il convient de les dénir soigneusement.

1. À tout réel ξ on associe la forme linéaire f ξ dénie par :

∀P ∈ E : f ξ (P) = P (ξ)

Montrer que les formes linéaires f a , f b , f c , f d sont indépendantes si et seulement si les quatre réels a , b , c , d sont distincts.

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Exercice 1 de e3a 2001 MP 2

2. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0

P(t)dt = x ₀ P(0) + x ₁ P(1) + x ₂ P (2) + x ₃ P (3)

Calculer x 0 , x 1 , x 2 , x 3 .

3. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (A, B, a, b) (à déterminer numériquement) telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0

P(t)dt = AP (a) + BP (b).

On pourra utiliser un système linéaire de 4 équations à deux inconnues.

4. Montrer l'existence d'une famille de nombres complexes (u, v, w) unique à permutation près et telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0

P(t)dt = 1

3 (P (u) + P (v) + P(w)) Préciser le polynôme dont u, v, w sont les racines.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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