Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no10 Extensions de corps Exercice 1 – Soient L/K une extension et x∈L.
1)Montrer que xest algébrique sur K si et seulement six2 est algébrique sur K.
2) Montrer que si x est algébrique sur K et si [K(x) : K] est impair, alors K(x2) = K(x).
3) Est-ce encore vrai si [K(x) :K]est pair ?
4) Montrer que si xest transcendant sur K, alors K(x2)(K(x).
Exercice 2 – 1) Que vaut [Q(√
2,√
3) : Q]? Donner une base de Q(√ 2,√
3) vu comme Q- espace vectoriel.
2) Quel est le polynôme minimal de√ 2 +√
3sur Q? 3) En déduire que Q(√
2,√
3) =Q(√ 2 +√
3).
4) Quels sont les automorphismes de corps de Q(√ 2 +√
3)?
5)Montrer qu’ils constituent un groupe pour la loi◦, isomorphe à Z/2Z×Z/2Z. Exercice 3 –
1) Rappeler pourquoi Z[√
2] ={a+b√
2 ; a, b∈Z} est factoriel.
2) Montrer que 3 est un élément irréductible deZ[√ 2].
3) Soit α∈C une racine de X3+ 3X+ 3. Montrer que [Q(√
2, α) :Q] = 6.
Exercice 4– Soient pun nombre premier et ζp ∈Cune racinep-ième de l’unité différente de 1. Que vaut [Q(ζp) :Q]?
Exercice 5 – Soient une extensionL/K et un polynôme P(X)∈K[X] de degré n, irréductible sur K. Montrer que si[L:K] etn sont premiers entre eux, P(X) est irréductible sur L.
Exercice 6– SoientKun corps de caractéristique différente de2etP(X)∈K[X]
unitaire de degré 2. Soit L/K une extension de degré 2.
1) Montrer qu’il existe a, b∈K tels que P(X) = (X−a)2−b.
2) Montrer qu’il existe x∈L\ {0}tel que x2 ∈K etL=K(x).
3) Soit y∈L tel que y2 ∈K et L=K(y). Montrer que y/x∈K.
4) Soient p etq deux nombres premiers distincts. Que vaut[Q(√ p,√
q) :Q]? 5) Soit z ∈ Q(√
p,√
q) tel que z2 ∈ Q. Montrer que l’un des quatre éléments suivants appartient à Q: z, z/√
p, z/√
q, z/√ pq.
6) En déduire la liste des extensions de Q incluses dansQ(√ p,√
q).
7) Quelles sont les extensions de Qincluses dans Q(√ 2 +√
3)?
Exercice 7 – [Théorème de l’élément primitif] Soit K un corps de caractéristique nulle.
1) Soient P(X) ∈ K[X] irréductible et L un corps de décomposition de P(X).
Montrer que P(X)n’a que des racines simples dans L.
2) Soit L/K une extension finie. On suppose que L =K(x, y) et on note P(X) et Q(X) les polynômes minimaux de x et y sur K, de degrés respectifs m et n.
Soit M le corps de décomposition de P(X)Q(X) surK. Dans M on a
P(X) = (X−x)
m
Y
i=2
(X−xi) et Q(X) = (X−y)
n
Y
j=2
(X−yj).
Montrer qu’il existe t ∈ K \ {0} tel que pour tout i > 2 et tout j > 2, z = x+ty6=xi+tyj. On pose alors N =K(z) etR(X) =P(z−tX).
3) Montrer que R(X)∈N[X]et que pgcd(R(X), Q(X)) = X−y.
4) En déduire que y∈N et que L=N.
5) Montrer par récurrence que toute extension finie de K est simple (ou mono- gène).
6) En s’inspirant de la méthode précédemment utilisée trouver α ∈ C tel que Q(√
2,√
3, i) = Q(α).
