MPSI B 2008-2009 Corrigé du DM 14 29 juin 2019
1. Une primitive de ln x est x ln x − x . Une primitive de ln(x + K) est (x + k) ln(x + K) − x
2. Le calcul de I n se fait en utilisant les primitives de la question précédente : I n =
Z n 0
(ln(x + n + 1) − ln(x + 1)) dx
= [(x + n + 1) ln(x + n + 1) − x − (x + 1) ln(x + 1) + x] x=n x=0
= (2n + 1) ln(2n + 1) − 2(n + 1) ln(n + 1) 3. Calcul du développement de I n . On se ramène à des développements en 0 en factorisant
par n dans les ln .
ln(2n + 1) = ln n + ln 2 + ln
1 + 1 2n
= ln n + ln 2 + 1 2n − 1
8n 2 + o( 1 n 2 ) ln(n + 1) = ln n + ln
1 + 1
n
= ln n + ln 2 + 1 n − 1
2n 2 + o( 1 n 2 )
On multiplie ensuite respectivement par (2n + 1) et (n + 1) , le reste devient un o( n 1 ) et on obtient après calculs :
I n = (2 ln 2)n − ln n + (ln 2 − 1) − 3 4 1 n + o( 1
n ) 4. a. On utilise les propriétés élémentaires de la fonction inverse :
∀x ≥ i, ∀y ≥ j : 1
x + y + 1 ≤ 1 i + j + 1 puis on intégre sur des segments de longueur 1
Z j+1 j
1
x + y + 1 dy ≤ 1 i + j + 1
Z i+1 i
Z j+1 j
1 x + y + 1 dy
dx ≤ 1 i + j + 1
b. Le raisonnement est analogue de l'autre coté sur [i − 1, i] × [j − 1, j] .
c. En découpant en intervalles de longueur 1 , l'intégrale I n devient par relation de Chasles une somme double.
I n =
n−1
X
i=0
n−1
X
j=0
Z i+1 i
Z j+1 j
1 x + y + 1 dy
dx
Pour majorer, on utilise a., S n apparait naturellement comme majorant I n ≤
n−1
X
i=0
n−1
X
j=0
1 i + j + 1
Pour minorer on utilise b., le terme de droite de l'inégalité est formé par une partie des termes de S n+1 .
I n ≥
n
X
i=1
n
X
j=1
1 i + j + 1
= S n+1 −
n
X
i=1
1 i + 0 + 1 −
n
X
j=0
1 0 + j + 1
≥ S n+1 − 2
n
X
k=0
1 k + 1 + 1 On en déduit
I n−1 ≥ S n − 2
n
X
k=1
1
k + 1, S n ≤ I n−1 + 2
n
X
k=1
1 k − 1
5. D'après la question 3., les suites ( I nn) et ( In−1n ) convergent vers 2 ln 2 . On obtiendra donc l'équivalence demandée par un simple théorème d'encadrement à condition de démontrer d'abord que la somme des k 1 est négligeable devant n . Cela se fait classi- quement par comparaison avec une intégrale.
n ) convergent vers 2 ln 2 . On obtiendra donc l'équivalence demandée par un simple théorème d'encadrement à condition de démontrer d'abord que la somme des k 1 est négligeable devant n . Cela se fait classi- quement par comparaison avec une intégrale.
1 + 1
2 + · · · + 1 n ≤ 1 +
Z n 1
dx
x = 1 + ln n 6. On peut écrire
n−1
X
k=0
x k
! 2
=
n−1
X
i=0
x i
!
n−1
X
j=0
x j
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M0814CMPSI B 2008-2009 Corrigé du DM 14 29 juin 2019
et tout développer pour obtenir une somme double puis intégrer en utilisant la linéarité.
Les intégrales élémentaires se calculent et on obtient : J n = S n On en déduit
J n ∼ 2n ln 2 ou encore
Z 1 0
1 − x n
1 − x dx ∼ 2n ln 2
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