√ lim x ln x

L-O – M’SAKEN Fonction Logarithme Prof : Karmous EXERCICE N°1

Calculer les limites suivantes : 1/

lim x −ln x

x → +∞ 2/

lim x ² ln x

x → +∞ 3/

lim x ² ln x

x→0⁺ 4/

lim √ ^{x ln x}

x→0⁺

5/

lim x ( ln x )²

x→0⁺ 6/

lim √ ^{x − ln x}

x→ +∞ 7/

lim ln ( x + 1 ) x

x→ +∞ 8/

lim ln ( x+ 1) x

x→ (−1)⁺

9/

lim x ln x − x

x→ +∞ 10/

lim x ln ( x + 1 x )

x→ +∞ 11/

lim x ln ( x + 1 x )

x→0⁺ 12/

lim ln x − 1 x − e

x →e

13/

lim ln x

3

√

^x

x→ +∞ 14/

lim ln

³

√ ^x

x

x→ +∞ 15/

lim ln ( 1 + x + x ² ) 2x

x→0 16/

lim ln ( x + 2 ) x + 5

x→ +∞

EXERCICE N°2

1/ Etudier les variations de l’application g :

IR

₊^¿ _→ IR x

↦ ln x

x

_.

En déduire que

∀ x ∈ IR

₊^¿ ln x < x.

2/ On considère l’application f :

IR

₊^¿ _→ IR x

↦ 2 x ² + ln x

x

_.

a) Etudier les variations de f.

b) Etudier la position de C ^f par rapport à la droite (D) d’équation y = 2 x.

c) Déterminer le point de C ^f où la tangente est parallèle à (D).

d) Construire la courbe C ^f .

3/ Déterminer la primitive sur

IR

₊^¿ de la fonction f qui s’annule en 1.

EXERCICE N°3

A Soit la fonction f définie sur

IR

_{+ par :}

{ ^{f ( x ) = f ( x 0 ( ) = ln x 0 − 1 ) si x > 0}

1/ a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

b) Dresser le tableau de variation de f.

2/ Construire la courbe de f dans un repère orthonormé

( O , ⃗ i , ⃗ j )

_.

B Soit la fonction numérique g définie sur

IR

₊^¿ par :g ( x ) = f ( x ) – x + 1.

1/ Dresser le tableau de variation de g.

2/ a) Montrer que l’équation g ( x ) = 0 admet exactement deux solutions a et b avec a < b.

b) Vérifier que 0 < a < 1 et 6 < b < 7.

c) Déterminer le signe de g ( x ).

C Soit la fonction h définie sur ] e , + ^∞ [ par : h ( x ) =

x − 1

ln x − 1

_.

1/ a) Vérifier que : h’ ( x ) =

g ( x ) x ( ln x − 1 ) ²

_.

b) Vérifier que : h ( b ) = b.

c) Dresser le tableau de variation de h.

2/ a) Montrer que la courbe ( Γ ) de h coupe la droite D : y = x – 1 en un seul point A dont on précisera les coordonnées.

b) Etudier la position de ( Γ _{) et D.}

c) Construire ( Γ ) et D dans un autre repère orthonormé.

EXERCICE N°4

Soit f la fonction définie par :

{

^{f (x ) =−1f+x(ln0 ) =x 0si x∈ ]0 , e[ ∪ ] e ,+∞ [}

1/ Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

2/ Etudier les variations de la fonction f.

3/ a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe (C) et la droite Δ _{: y = x.}

b) Etudier la position de la courbe (C) et la droite Δ _. 4/ Construire la courbe (C).

5/ Déterminer les coordonnées des points de la courbe (C) pour lesquels la tangente est parallèle à la droite Δ' : y = -2x - 1.

6/ On considère la fonction ϕ définie par ϕ ( x ) = ln x -

x + 1 2 x + 1

_.

a) Etudier les variations de ϕ _sur

] 0 , +∞ [

_.

b) Montrer que l’équation : ln x =

x + 1

2 x + 1

admet une solution unique

α ∈ ] 1 , e [

_.

c) En déduire que la droite Δ' : y = -2x - 1 coupe la courbe (C) en un seul point I dont on précisera les coordonnées à l’aide de ^α .

EXERCICE N°5

A 1/ a) Etudier le sens de variation de la fonction g ( x ) =

x

³

− 2 ln x + 1

_.

b) En déduire que

∀ x ∈ IR

₊^¿ g ( x ) > 0.

2/ On considère la fonction f ( x ) =

ln x

x ² + x − 1

et C sa courbe dans un R.O.N

( O , ⃗ i , ⃗ j )

a) Etudier les variations de f sur son domaine de définition .

b) Montrer que la droite D : y = x – 1 est une asymptote à C et étudier la position relative de C et D.

c) Donner l’équation de la tangente T à C en I ( 1 , f(1) ).

d) Construire T , D et C .

e) On pose

Ψ ( x ) = ln | x |

x ² +| x |− 1

; x ^¿ IR*

Etudier la parité de Ψ puis déduire la construction de la courbe C ‘ de la fonction Ψ dans le même repère que C.

3/ a) On pose ϕ _{( x ) =}

1 + ln x

x

, calculer ϕ ’( x ) puis déduire la primitive F de f sur

IR

₊^¿

qui prend la valeur

−1

2

_{en 1.}

b) Déterminer la limite L de la fonction x

↦ F ( x ) − x ² 2 + x

quand x tend vers + ^∞ .

c) Montrer que l’équation

F ( x ) − x ² 2 + x

=

L

2

est équivalente à l’équation (E) : 2 ln x – x + 2 = 0 .

d) Montrer que l’équation (E) admet une unique solution

α sur [ 1 , +∞ [

et que

α ∈ ] 5 , 6 [

B On pose h ( x ) = 2 Log x + 2 et on considère la suite ( u ) définie par :

u

_n = h (n+1) – h (n) ; n ^¿ IN* , et la suite ( v ) définie par

v

₀ = 5 et n ^¿ IN v_n+1=h( v_n) _.

1/ Exprimer la somme S_n=

∑

k=1 n

u_k

en fonction de n. En déduire

lim

n→ +∞

S

_n

n

_.

2/ a) Montrer que ∀ n∈IN v_n∈

[

5,6

]

_.

b) Montrer que

∀ x ∈ [ ^{5 , 6} ]

on a

| h' ( x )| ≤ 2 5

_.

En déduire que

∀ n ∈ IN

^{| v}

ⁿ⁺¹

^{− α | ≤} 2

5 | v

_n

− α |

c) Montrer que

∀ n ∈ IN

_{on a}

| v

_n

− α | ≤ ( ² 5 )

ⁿ . En déduire

lim v_n

n→ +∞ .