 92lim xx  lim x  lim x 

(1)

ov 4 / 4

(5) Méthode de la mise en facteur du terme dominant

Exemple 1 :

La recherche de lim 2x⁴ 9x³

x 



 conduit à étudier une forme indéterminée du type «  » pour laquelle on ne sait pas conclure directement.

Dans ce type de situation, il est souvent judicieux de « factoriser le terme dominant », c’est à dire de mettre en facteur le terme qui paraît plus « grand » (dans cet exemple il s’agit du terme de plus haut degré).

Il ne s’agit pas d’une « factorisation » au sens habituel, puisque contrairement aux factorisations

« traditionnelles » cela conduit (volontairement) à l’apparition de fractions.

Pour tout nombre réel non nul x on a : 



 

 







 



 





 x x

x x x

x

x 9

9 2 2 9

2 ⁴ ³ ⁴ ₄³ ⁴

(La restriction x0 n’est pas gênante puisqu’on s’intéresse aux valeurs de x proches de )

Comme 





lim x4

x et 9 2 0 2

2

lim    



 x

x ,

par produit on obtient 



 

 





 



 x x x x

x x

2 9 lim

9 2

lim ⁴ ³ ⁴

Exemple 2 :

La recherche de ₂

3 4

1 9 lim 2

x x

x  





 nous confronte successivement à plusieurs formes indéterminées du type

«  » (au numérateur et au dénominateur) puis du type «



 » globalement.

On lève souvent toutes ces indéterminations en factorisant à la fois le terme dominant du numérateur et celui du dénominateur.

Pour tout nombre réel non nul x on a :

1 1 1

2 9 1 1

1 2 9

1 1 2 9 1

9 2

2 2 2

2 4

2 2 2

4 3 4

2 3 4





 





 



  



 

 







 



  





 



 



 





x x x x x

x x x

x x

Comme 





lim x2

x et 2

1 0 0

0 2 1 1

1 2 9 lim

2



 



 











x x

x

x ,

par produit on obtient 





 

 











 1 1 1

2 9 1 lim

9 lim 2

2 2 2

3 4

x x x x x

x x x

x x