Montrer qu’il existez0 ∈ Ctel que 0 <|P(z0

U2LG35 L3 Algèbre 2014-2015 Université Paris-Diderot Feuille d’exercices numéro 7

+ Exercice 1. Montrer que tout anneau intègre fini non réduit à zéro est un corps.

+Exercice 2. Montrer que tout homomorphisme de corps est injectif et que sa source et sa cible sont des corps de même caractéristique.

Un corps commutatif K est dit « algébriquement clos » si les irréductible de K[X] sont les polynômes de degré1.

+Exercice 3. On va montrer queCest algébriquement clos en utilisant le fait que pour tout entiern≥1, tout nombre complexez a une racinen^ième.(¹)

(a)SoitP(X)∈C[X] un polynôme non constant. Montrer que|P(z)|tend vers +∞quand|z|tend vers +∞.

(b) On suppose que P(X) n’a pas de racine complexe. Montrer qu’il existez0 ∈ Ctel que 0 <|P(z0)| =

z∈infC

|P(z)|.

(c) On pose Q(X) = P(z₀+X)

P(z₀) . Montrer que Q(X) = 1−aXⁿ(1 +XR(X)) avec a6= 0 et n≥1 et où R(X)∈C[X].

(d)En utilisant une racinen^ième dea, montrer qu’il existez∈Ctel que|Q(z)|<1.

(e) Montrer que le résultat de la question précédente produit une contradiction et en déduire que C est algébriquement clos (théorème de d’Alembert-Gauss).

+ Exercice 4. Soit K un corps commutatif ayant un sous-corps isomorphe à R (qu’on notera R). On supposeK de dimension finie comme espace vectoriel surR. Soitu∈K tel que u6∈R.

(a) Montrer qu’il existe un polynômeP(X) du second degré à coefficients réels sans racine réelle tel que P(u) = 0.

(b)Montrer que le sous-espace vectorielEdeK engendré par 1 etuest un corps isomorphe àC.

(c)Soitv∈K tel quev6∈E. Montrer que le polynôme X²+ 1 a au moins trois racines distinctes dans K.

Conclure.

+ Exercice 5. (a)Montrer que sur le corpsZ/2Zil existe un unique polynôme irréductible de degré 2.

(b)Construire un corps à 4 éléments.

On poseK= (Z/2Z)[X]

X³+X+ 1 etL= (Z/2Z)[X]

X³+X²+ 1.

(c)Montrer queKet Lsont des corps à 8 éléments, et calculer le carré deX²+ 1 dans chacun d’entre eux.

(d)Montrer queK etLsont isomorphes (on pourra considérer le morphisme qui envoie X surX+ 1).

+ Exercice 6. SoitK un corps fini qu’on ne suppose pas commutatif. SoitZ ={x∈K | ∀_y∈K xy=yx}

le centre deK. Pour tout ensemble finiX, on note|X| le cardinal deX.

(a) Montrer queZ est un corps commutatif et queK est un espace vectoriel de dimension finie surZ.

On noteqle cardinal deZetdla dimension deKsurZ. Pour toutx∈K, on poseZx={y∈K|xy=yx}.

(b)Montrer que pour toutx∈K,Zxest un sous-corps deK contenantZ et que six6∈Z, la dimensiondx

deZx comme espace vectoriel surZ est un diviseur strict ded(c’est-à-dire distinct ded).

On noteK^∗le groupe des éléments inversibles deK.K^∗agissant sur lui-même par conjugaison (via (g, x)7→

gxg⁻¹), on note Sx le stabilisateur dexpour cette action. Pour tout orbite incluse dansK−Z, on choisit un élément dans cette orbite, et on note{x1, . . . , xk}l’ensemble des ces éléments.

1. Ceci se prouve facilement en utilsant le fait que l’applicationz7→e^z deCversC^∗ est surjective. Cette surjectivité se prouve elle-même élémentairement avec un peu de calcul intégral.

(c)Montrer que :

q^d−1 =q−1 +

k

X

i=1

q^d−1 q^dxi −1

On poseF(X) =X^d−1 +

k

X

i=1

X^d−1 X^dxi−1.

(d) Montrer que F(X) est un polynôme à coefficients entiers et que le polynôme cyclotomique(²) Φ_d(X) divise le polynômeF(X) dansZ[X].

(e)Montrer que|Φd(q)| ≤q−1.

(f)Montrer que pour toutn >1,|Φ_n(q)|> q−1.

(g)Montrer queK est commutatif (théorème de Wedderburn).

(h)Énoncer un perfectionnement du résultat de l’exercice 1.

2. Voir l’exercice 10 de la feuille 6.

U2LG35 L3 Algèbre 2014-2015 Université Paris-Diderot Solutions des exercices de la feuille 7

+ Exercice 1. Comme l’anneauA n’est pas réduit à 0, on a 16= 0 (car 1 = 0 entraîne x= 1x= 0x= 0).

Il y a juste à montrer que tout x6= 0 est inversible. Soit x 6= 0. L’application y 7→ xy de A vers A est injective, car comme A est intègre, xy =xy⁰ (c’est-à-dire x(y−y⁰) = 0) et x6= 0 entraînent y−y⁰ = 0.

CommeA est fini, elle est aussi surjective, et 1 appartient à son image. Il existe doncy tel quexy = 1. Il existe de mêmez tel quezx= 1, et on az=zxy=y. Ainsi,xest inversible.

+ Exercice 2. Soitf :K → L un morphisme de corps. Commef⁻¹(0) est un idéal de K, et comme f n’est pas nul (carf(1) = 1), cet idéal ne peut être que 0, etf est donc injectif. SiKest de caractéristique 0, tout entiernest non nul dansK donc non nul dansLpar injectivité de f, et doncLest de caractéristique 0. Si la caractéristique de K est un nombre premierp, pest nul dansK, donc dansL et la caractéristique deLdivisep. Ce ne peut donc être quep.

+Exercice 3. (a)Un polynôme de degré strictement positif définit une fonction qui tend vers l’infini quand son argument tend vers l’infini. Il suffit de mettre le terme du plus haut degré en facteur et de constater que l’autre facteur est la somme d’une constante non nulle et d’une espression qui tend vers zéro.

(b)Notonsf la fonctionz7→ |P(z)|. SoitDun disque de centre 0 dansCassez grand pour quef(z)>2f(0) pour tout z ∈ C−D, ce qui est possible d’après la question (a). L’image de f est la réunion de f(D) et de f(C−D), tous deux inclus dans ]0,+∞[ puisque f ne prend que des valeurs strictement positives.

CommeD est compact,f(D) est compact et contient sa borne inférieure qui est donc de la forme f(z0) et est strictement positive. Pour tout z ∈C−D, on a f(z)> 2f(0) >2f(z0). Ainsif(z0)>0 est la borne inférieure def(C), ce qui donne le résultat demandé.

(c)On a Q(0) = 1, etQ(X) est un polynôme non constant. Il existe donc un plus petit exposantn≥1 tel que le terme de degréndeQ(X) soit non nul, donc de la forme −aXⁿ aveca6= 0. En mettant ce monôme en facteur sur les termes autres que le terme constant, on a la forme annoncée.

(d) Soitb un racine n^ième de a. On a donc a=bⁿ et doncQ(X) = 1−(bX)ⁿ−aXⁿ⁺¹R(X). Soit ε >0 et posons z = ε/b. On a Q(z) = 1−εⁿ+o(εⁿ) (où o(εⁿ) est négligeable devant εⁿ). On voit donc qu’en prenantεassez petit, on a|Q(z)|<1.

(e) La fonctionz 7→ |Q(z)| atteint son minimum en 0 et ce minimum est 1, ce qui contredit le résultat de la question précédente. On en déduit queP(X) a nécessairement une racine dansC, et qu’il n’est donc pas irréductible si son degré est au moins 2.

+ Exercice 4. (a) Notons k la dimension de K sur R. Les vecteurs 1, u, u², . . . , u^k sont au nombre de k+ 1 et ne peuvent donc pas être linéairement indépendants surR. Il existe donc des réelsak, . . . , a0 tels queaku^k+· · ·+a0= 0, autrement-dit, un polynôme à coefficients réelsP(X) tel queP(u) = 0.

D’après le théorème de d’Alembert-GaussP(X) se décompose en facteurs du premier degré surC, donc en facteurs de degrés 1 et 2 sur R, puisque s’il a une racine non réelle il a aussi sa conjuguée comme racine.

Comme R[X] est intègre, u est racine de l’un de ces facteurs irréductibles sur R, qui ne peut pas être de degré 1 caru6∈R. Il est donc de degré 2 et sans racine réelle.

(b)Voir l’exercice2de la feuille 5bis.

(c)Noter que v n’existe que si la dimension de K surR est au moins 3. Pour la même raison que pouru, le sous-espace F engendré par 1 et v est un corps isomorphe à C. Il existe donc u1 ∈E et v1 ∈F tel que u²₁ =v₁² =−1. Comme v 6∈ E, les vecteurs 1, uet v sont linéairement indépendants, ce qui implique que E∩F =R. On en déduit que v16∈E. Il en résulte queu1,−u1 et v1 sont trois éléments distincts (deK!) tous racines deX²+ 1. MaisKétant un corps commutatif, ceci est impossible. Il en résulte que la dimension deK surRest au plus 2, et donc que Kest isomorphe à Rou àC.

+ Exercice 5. (a)Il n’y a que quatre polynômes de degré 2 sur Z/2Z, qui sont X²,X²+X,X²+ 1 et X²+X+ 1. Les trois premiers ne sont pas irréductibles car égaux àXX,X(X+ 1) et (X+ 1)(X+ 1). Le dernier est irréductible, car étant de degré 2, il aurait une racine s’il était réductible, or ni 0 ni 1 n’est racine de ce polynôme.

(b)Il résulte immédiatement de la question précédente que (Z/2Z)[X]

X²+X+ 1 est un corps. Il a quatre éléments

qui sont (les classes de) 0, 1,X etX+ 1.

(c)Les deux polynômesX³+X²+1 etX³+X+1 sont irréductibles pour la même raison que pourX²+X+1.

KetLsont donc des corps. Ils ont 8 éléments qui sont toutes les combinaisons linéaires de 1,X etX², mais leurs multiplications sont différentes. En effet, dansK, (X²+ 1)²=X⁴+ 1 =XX³+ 1 =X(X+ 1) + 1 = X²+X+1, alors que dansL, (X²+1)²=XX³+1 =X(X²+1)+1 =X³+X+1 =X²+1+X+1 =X²+X.

(d)On a un unique morphisme d’anneaux (Z/2Z)[X]→LenvoyantX sur (la classe de)X+ 1, et envoyant doncX³+X + 1 sur (X + 1)³+ (X+ 1) + 1 =X³+X²+ 1. Il en résulte que l’idéal deK engendré par X³+X+ 1 est inclus dans le noyau de ce morphisme, et qu’on a donc un morphisme d’anneaux (donc de corps)K→L. Ce dernier est injectif d’après l’exercice2, et est donc un isomorphisme (dont l’inverse n’est autre que le morphismeL→Kqui envoieX surX+ 1 !).

+ Exercice 6. (a)On a clairement 0∈Z. Six, x⁰∈Z alors (x+x⁰)y=xy+x⁰y=yx+yx⁰ =y(x+x⁰) pour tout y ∈ K, donc x+x⁰ ∈ Z. De même, si x ∈ Z alors −x ∈ Z. Par ailleurs, pour x, x⁰ ∈ Z, xx⁰y =xyx⁰ =yxx⁰ pour touty ∈K, doncxx⁰ ∈Z. On a 1∈ Z, et enfin, si 06=x∈ Z, de xy =yx on déduityx⁻¹=x⁻¹y en multipliant de chaque coté par x⁻¹.Z est donc un corps, bien sûr commutatif. La dimension deKsurZ est finie parce queK est fini.

(b)Il est immédiat queZ⊂Z_x. La vérification du fait queZ_xest un sous-corps deKest triviale. Ainsi,K est un espace vectoriel surZ_x. Soitx₁, . . . , x_pune base deK commeZ_x-espace vectoriel. Alors tout élément de u ∈ K s’écrit de manière unique u= a₁x₁+· · ·+a_px_p, et chaque a_i ∈ Z_x s’écrit de manière unique commeai=bⁱ₁yⁱ₁+· · ·+bⁱ_d

xy_dⁱ

x ∈Z où lesbⁱ_j dont dansZ. Ainsius’écrit de manière unique sous la forme d’une combinaison linéaire des vecteursy_jⁱx_i qui sont au nombre depd_x. Comme la dimension deK surZ estd, on ad=pd_x. Par ailleurs, commex6∈Z, on ap >1 (sinonZ_x=K etxest dans le centre de K),d_x est un diviseur strict ded.

(c)L’orbite d’un élément deZest évidemment réduite à cet élément. Par ailleurs, le nombre d’éléments dans l’orbite d’unxi (1≤i≤k) est le quotient |K^∗|

|S_xi|, c’est-à-dire q^d−1

q^dxi−1, puisque Sxn’est autre queZx− {0}.

La formule des classes donne donc le résultat.

(d)Le polynômeX^d−1 est le produit des Φ_s(X) oùsparcourt les diviseurs ded(Feuille 6, exercice 10(b)).

Commed_xi divised,X^dxi−1 diviseX^d−1 (feuille 6, exercice 8(a)), et donc queF(X) est un polynôme à coefficients entiers. De plus, le quotient X^d−1

X^dxi−1 est divisible par Φ_d(X), card_x est un diviseur strict ded.

(e)L’entier q(cardinal deZ) est au moins 2, car tout corps a au moins deux éléments (0 et 1). On a donc 0< q−1. Par ailleurs,F(q) =q−1 d’après la question(c), et comme on vient de le voirF(q) = Φ(q)Q(q), oùQ(X) est un polynôme à coefficients entiers. Comme 1≤q−1 =|F(q)|=|Φd(q)||Q(q)|, on a|Q(q)| ≥1.

Il en résulte que|Φd(q)| ≤q−1.

(f)Siζest une racine de l’unité distincte de 1, on a|q−ζ|> q−1, puisque 1 est l’unique point du cercle des complexes de module 1 le plus proche de l’entier naturelq≥2. Comme|Φ_n(q)|est, pourn >1, un produit de telles expressions|q−ζ| (ζ6= 1), et commeq−1≥1, on voit que|φ_n(q)|> q−1.

(g) Des deux questions précédentes il résulte quedne peut être que 1, donc que K =Z, donc que K est commutatif.

(h)Tout anneau fini intègre non réduit à zéro est un corps commutatif.