b) Montrer que si z ∈C vérifie <(z)>0, alors &lt

Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES n^o12 Quelques jolis résultats Exercice 1 – [Cohn]

1)Soient n >2 un entier,M > 0un réel etP(X) =a_nXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀ un polynôme de Z[X] vérifiant a_n>1, an−1 >0 et|a_i|6M pour 06i6n−2.

On se propose dans cette question d’établir que siαest une racine deP(X)alors

<(α)60 ou |α|< 1 +√

4M + 1

2 .

a) Prouver que si z ∈C vérifie |z|>1, alors 1

|z|² + 1

|z|³ +· · ·+ 1

|z|ⁿ < 1

|z|²− |z|. b) Montrer que si z ∈C vérifie <(z)>0, alors

<

an+ an−1

z

>1.

c) En déduire que si z ∈C vérifie|z|>1et <(z)>0, alors

P(z) zⁿ

> |z|²− |z| −M

|z|²− |z| .

d) Soit α∈C une racine de P(X). Montrer que si |α|>1 et <(α)>0, alors

|α|< 1 +√

4M + 1

2 .

e) En étudiant le cas |α|61 en déduire le résultat annoncé.

2) Soient b > 3 et n > 0 deux entiers naturels. On considère un polynôme P(X)∈Z[X] de degrén :P(X) =a_nXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀. On suppose que 06ai 6b−1 pour touti et que P(b) est un nombre premier. On se propose de démontrer que P(X)est irréductible dans Z[X], donc dans Q[X] sin >1.

a) Montrer que c’est bien le cas si n = 0 ou1.

b) On suppose dorénavant que n >2. Prouver qu’il n’existe pas d’entier k >2 tel que P(X) =kQ(X)avec Q(X)∈Z[X].

c) Supposons désormais qu’il existe Q(X), R(X) ∈ Z[X] de degrés > 1 tels que P(X) = Q(X)R(X). Démontrer, à l’aide du résultat de la question 1, que toute racine complexeα deP(X)vérifie|b−α|>1, et en observantQ(b)etR(b) montrer que ceci aboutit à une contradiction.

d) Conclure¹.

1On peut démontrer que ce résultat est encore vrai pourb= 2.

3) Application immédiate. Soit p un nombre premier dont l’écriture en base 10 esta_na_n−1. . . a₀. Montrer queP(X) = a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀ est irréductible dans Z[X] (résultat attribué à Arthur Cohn, un élève de Schur). Par exemple, comme 456727 est premier, le polynôme 4X⁵ + 5X⁴ + 6X³ + 7X²+ 2X+ 7 est irréductible dans Z[X].

Exercice 2 – [Liouville]

1)Soitx∈Rtel qu’il existe un réel α >1et une infinité de rationnels p_n/q_n ∈Q (n∈N, q_n>0) vérifiant0<|x−p_n/q_n|<1/q^α_n. Montrer que x est irrationnel.

2) On appelle nombre de Liouville tout réel x tel qu’il existe une infinité de rationnels p_n/q_n ∈Q (n ∈N, q_n > 0) vérifiant 0< |x−p_n/q_n|< 1/q_nⁿ. Montrer qu’un nombre de Liouville est irrationnel.

3)On se propose de démontrer qu’un nombre de Liouville est en fait transcendant.

Pour cela nous allons établir le lemme suivant.

Lemme.Soit α∈Run réel algébrique tel que [Q(α) :Q] =d>2. Alors il existe un réel k >0 tel que pour toutp/q ∈Q (q >0), on ait |α−p/q|>k/q^d.

a) Soit P_α(X)∈ Q[X] le polynôme minimal de α sur Q. Soit n >0 un entier tel que P(X) = nP_α(X) ∈ Z[X]. Montrer que pour tout p/q ∈ Q (q > 0), on a q^d|P(α)−P(p/q)|>1.

b) Supposons que |α−p/q|6 1. Soit M = supx∈[α−1,α+1]|P⁰(x)|. Montrer que M > 0et que |α−p/q|>1/(M q^d).

c) Qu’en est-il quand |α−p/q|>1? Conclure.

4) Montrer qu’un nombre de Liouville est transcendant.

5) Soient b ∈ N, b > 2, et une suite (a_n)_n>1 d’entiers vérifiant 1 6 a_n 6 b −1.

Montrer que

x=

∞

X

k=1

a_k/b^k!

est transcendant. Exemple (premier transcendant connu) :

∞

X

k=1

1/10^k!= 0.11000100000000000000000100000. . .

Exercice 3 – [Chevalley-Warning, Erdös-Ginzburg-Ziv] Soient p un nombre premier et q=p^s (s∈N\ {0}).

1) Soit k un entier>0. Calculer P

x∈F^qx^k.

2) Soient P_i(X₁, X₂, . . . , X_n)∈ F_q[X₁, X₂, . . . , X_n] (16 n, 16i 6r). Notons Z l’ensembles des zéros communs aux P_i(X₁, X₂, . . . , X_n) :

Z ={x∈Fⁿq; P_i(x) = 0, pour tout16i6r}.

Posons

P(X₁, X₂, . . . X_n) =

r

Y

i=1

(1−P_i(X₁, X₂, . . . , X_n)^q−1).

Montrer que P(x) = 0 six∈Fⁿq \Z et que P(x) = 1 six∈Z.

3) On suppose que Pr

i=1degP_i(X₁, X₂, . . . , X_n)< n. Montrer que X

x∈Fⁿq

P(x) = 0

et en déduire que p divise le cardinal deZ (théorème de Chevalley-Warning).

4) Soit P(X₁, X₂, . . . , X_n)∈Fq[X₁, X₂, . . . , X_n] sans terme constant et de degré

< n. Montrer que P(X1, X2, . . . , Xn) admet dans Fⁿq un zéro non trivial.

On se propose désormais d’établir le résultat suivant (théorème de Erdös-Ginzburg- Ziv).

Théorème. Soient a₁, a₂, . . . , a_2n−1 (n > 1) des entiers. Il en existe n dont la somme est divisible par n.

5) On suppose d’abord que n est premier. Considérons P(X₁, X₂, . . . , X2n−1) et Q(X₁, X₂, . . . , X2n−1)∈Fn[X₁, X₂, . . . , X2n−1] définis par

P(X₁, X₂, . . . , X2n−1) =

2n−1

X

i=1

X_iⁿ⁻¹, Q(X₁, X₂, . . . , X2n−1) =

2n−1

X

i=1

a_iX_iⁿ⁻¹.

a) Montrer que P(X1, X2, . . . , X2n−1) et Q(X1, X2, . . . , X2n−1) ont dans F²ⁿ⁻¹n

un zéro commun non trivial.

b) Soitxun tel zéro commun non trivial. Montrer que le cardinal de l’ensemble {16i62n−1; x_i 6= 0} est égal à n.

c) Conclure.

6) Soit A l’ensemble des entiers n vérifiant la propriété du théorème. Montrer que A est stable par multiplication.

7) Conclure.