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b) Montrer que si z ∈C vérifie <(z)>0, alors &lt

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Texte intégral

(1)

Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES no12 Quelques jolis résultats Exercice 1 – [Cohn]

1)Soient n >2 un entier,M > 0un réel etP(X) =anXn+an−1Xn−1+· · ·+a0 un polynôme de Z[X] vérifiant an>1, an−1 >0 et|ai|6M pour 06i6n−2.

On se propose dans cette question d’établir que siαest une racine deP(X)alors

<(α)60 ou |α|< 1 +√

4M + 1

2 .

a) Prouver que si z ∈C vérifie |z|>1, alors 1

|z|2 + 1

|z|3 +· · ·+ 1

|z|n < 1

|z|2− |z|. b) Montrer que si z ∈C vérifie <(z)>0, alors

<

an+ an−1

z

>1.

c) En déduire que si z ∈C vérifie|z|>1et <(z)>0, alors

P(z) zn

> |z|2− |z| −M

|z|2− |z| .

d) Soit α∈C une racine de P(X). Montrer que si |α|>1 et <(α)>0, alors

|α|< 1 +√

4M + 1

2 .

e) En étudiant le cas |α|61 en déduire le résultat annoncé.

2) Soient b > 3 et n > 0 deux entiers naturels. On considère un polynôme P(X)∈Z[X] de degrén :P(X) =anXn+an−1Xn−1+· · ·+a0. On suppose que 06ai 6b−1 pour touti et que P(b) est un nombre premier. On se propose de démontrer que P(X)est irréductible dans Z[X], donc dans Q[X] sin >1.

a) Montrer que c’est bien le cas si n = 0 ou1.

b) On suppose dorénavant que n >2. Prouver qu’il n’existe pas d’entier k >2 tel que P(X) =kQ(X)avec Q(X)∈Z[X].

c) Supposons désormais qu’il existe Q(X), R(X) ∈ Z[X] de degrés > 1 tels que P(X) = Q(X)R(X). Démontrer, à l’aide du résultat de la question 1, que toute racine complexeα deP(X)vérifie|b−α|>1, et en observantQ(b)etR(b) montrer que ceci aboutit à une contradiction.

d) Conclure1.

1On peut démontrer que ce résultat est encore vrai pourb= 2.

(2)

3) Application immédiate. Soit p un nombre premier dont l’écriture en base 10 estanan−1. . . a0. Montrer queP(X) = anXn+an−1Xn−1+· · ·+a0 est irréductible dans Z[X] (résultat attribué à Arthur Cohn, un élève de Schur). Par exemple, comme 456727 est premier, le polynôme 4X5 + 5X4 + 6X3 + 7X2+ 2X+ 7 est irréductible dans Z[X].

Exercice 2 – [Liouville]

1)Soitx∈Rtel qu’il existe un réel α >1et une infinité de rationnels pn/qn ∈Q (n∈N, qn>0) vérifiant0<|x−pn/qn|<1/qαn. Montrer que x est irrationnel.

2) On appelle nombre de Liouville tout réel x tel qu’il existe une infinité de rationnels pn/qn ∈Q (n ∈N, qn > 0) vérifiant 0< |x−pn/qn|< 1/qnn. Montrer qu’un nombre de Liouville est irrationnel.

3)On se propose de démontrer qu’un nombre de Liouville est en fait transcendant.

Pour cela nous allons établir le lemme suivant.

Lemme.Soit α∈Run réel algébrique tel que [Q(α) :Q] =d>2. Alors il existe un réel k >0 tel que pour toutp/q ∈Q (q >0), on ait |α−p/q|>k/qd.

a) Soit Pα(X)∈ Q[X] le polynôme minimal de α sur Q. Soit n >0 un entier tel que P(X) = nPα(X) ∈ Z[X]. Montrer que pour tout p/q ∈ Q (q > 0), on a qd|P(α)−P(p/q)|>1.

b) Supposons que |α−p/q|6 1. Soit M = supx∈[α−1,α+1]|P0(x)|. Montrer que M > 0et que |α−p/q|>1/(M qd).

c) Qu’en est-il quand |α−p/q|>1? Conclure.

4) Montrer qu’un nombre de Liouville est transcendant.

5) Soient b ∈ N, b > 2, et une suite (an)n>1 d’entiers vérifiant 1 6 an 6 b −1.

Montrer que

x=

X

k=1

ak/bk!

est transcendant. Exemple (premier transcendant connu) :

X

k=1

1/10k!= 0.11000100000000000000000100000. . .

Exercice 3 – [Chevalley-Warning, Erdös-Ginzburg-Ziv] Soient p un nombre premier et q=ps (s∈N\ {0}).

1) Soit k un entier>0. Calculer P

x∈Fqxk.

2) Soient Pi(X1, X2, . . . , Xn)∈ Fq[X1, X2, . . . , Xn] (16 n, 16i 6r). Notons Z l’ensembles des zéros communs aux Pi(X1, X2, . . . , Xn) :

Z ={x∈Fnq; Pi(x) = 0, pour tout16i6r}.

(3)

Posons

P(X1, X2, . . . Xn) =

r

Y

i=1

(1−Pi(X1, X2, . . . , Xn)q−1).

Montrer que P(x) = 0 six∈Fnq \Z et que P(x) = 1 six∈Z.

3) On suppose que Pr

i=1degPi(X1, X2, . . . , Xn)< n. Montrer que X

x∈Fnq

P(x) = 0

et en déduire que p divise le cardinal deZ (théorème de Chevalley-Warning).

4) Soit P(X1, X2, . . . , Xn)∈Fq[X1, X2, . . . , Xn] sans terme constant et de degré

< n. Montrer que P(X1, X2, . . . , Xn) admet dans Fnq un zéro non trivial.

On se propose désormais d’établir le résultat suivant (théorème de Erdös-Ginzburg- Ziv).

Théorème. Soient a1, a2, . . . , a2n−1 (n > 1) des entiers. Il en existe n dont la somme est divisible par n.

5) On suppose d’abord que n est premier. Considérons P(X1, X2, . . . , X2n−1) et Q(X1, X2, . . . , X2n−1)∈Fn[X1, X2, . . . , X2n−1] définis par

P(X1, X2, . . . , X2n−1) =

2n−1

X

i=1

Xin−1, Q(X1, X2, . . . , X2n−1) =

2n−1

X

i=1

aiXin−1.

a) Montrer que P(X1, X2, . . . , X2n−1) et Q(X1, X2, . . . , X2n−1) ont dans F2n−1n

un zéro commun non trivial.

b) Soitxun tel zéro commun non trivial. Montrer que le cardinal de l’ensemble {16i62n−1; xi 6= 0} est égal à n.

c) Conclure.

6) Soit A l’ensemble des entiers n vérifiant la propriété du théorème. Montrer que A est stable par multiplication.

7) Conclure.

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