b) Montrer que si z ∈C vérifie <(z)>0, alors &lt

Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2013-2014

Devoir Maison 2

Exercice 1 – [Critère d’irréductibilité de Cohn]

1)Soient n >2 un entier,M > 0un réel etP(X) =a_nXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀ un polynôme de Z[X] vérifiant a_n>1, an−1 >0 et|a_i|6M pour 06i6n−2.

On se propose dans cette question d’établir que siαest une racine deP(X)alors

<(α)60 ou |α|< 1 +√

4M + 1

2 .

a) Prouver que si z ∈C vérifie |z|>1, alors 1

|z|² + 1

|z|³ +· · ·+ 1

|z|ⁿ < 1

|z|²− |z|. b) Montrer que si z ∈C vérifie <(z)>0, alors

<

a_n+ an−1

z

>1.

c) En déduire que si z ∈C vérifie|z|>1et <(z)>0, alors

P(z) zⁿ

> |z|²− |z| −M

|z|²− |z| .

d) Soit α∈C une racine de P(X). Montrer que si |α|>1 et <(α)>0, alors

|α|< 1 +√

4M + 1

2 .

e) En étudiant le cas |α|61 en déduire le résultat annoncé.

2) Soient b > 3 et n > 0 deux entiers naturels. On considère un polynôme P(X)∈Z[X] de degrén :P(X) =a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀. On suppose que 06a_i 6b−1 pour touti et que P(b) est un nombre premier. On se propose de démontrer que P(X)est irréductible dans Z[X], donc dans Q[X] sin >1.

a) Montrer que c’est bien le cas si n = 0 ou1.

b) On suppose dorénavant que n >2. Prouver qu’il n’existe pas d’entier k >2 tel que P(X) =kQ(X)avec Q(X)∈Z[X].

c) Supposons désormais qu’il existe Q(X), R(X) ∈ Z[X] de degrés > 1 tels que P(X) = Q(X)R(X). Démontrer, à l’aide du résultat de la question 1, que toute racine complexeα deP(X)vérifie|b−α|>1, et en observantQ(b)etR(b) montrer que ceci aboutit à une contradiction.

d) Conclure¹.

1On peut démontrer que ce résultat est encore vrai pourb= 2.

3) Application immédiate. Soit p un nombre premier dont l’écriture en base 10 esta_na_n−1. . . a₀. Montrer queP(X) = a_nXⁿ+a_n−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀ est irréductible dans Z[X] (résultat attribué à Arthur Cohn, un élève de Schur). Par exemple, comme 456727 est premier, le polynôme 4X⁵ + 5X⁴ + 6X³ + 7X²+ 2X+ 7 est irréductible dans Z[X].

Exercice 2– [Preuve “algébrique” du théorème de d’Alembert-Gauss] On admettra le résultat suivant qui sera prochainement vu en cours.

Théorème 1. Soit K un corps etP(X)∈K[X]de degré >1. Alors il existe un corps L vérifiant K ⊆L etP(X)est scindé dans L[X].

On se propose de démontrer le théorème de d’Alembert-Gauss.

Théorème 2. Soit P(X) ∈ C[X] de degré > 1. Alors P(X) admet une racine dans C.

Soit P(X) un tel polynôme.

1) Montrer que l’on peut supposer P(X) unitaire et P(X) ∈ R[X]. On pourra pour cela considérer le polynôme P(X)P(X) où les coefficients deP(X) sont les conjugués de ceux de P(X).

On suppose dorénavantP(X)∈R[X]unitaire. On noted= 2ⁿq(n>0,qimpair) son degré) et on va raisonner par récurrence sur n. La propriété à l’ordre n est : tout polynôme unitaire deR[X]de degréd= 2ⁿq avecq impair admet une racine dans C.

2) Prouver que la propriété est vraie à l’ordre n= 0.

3) Supposons n >1 et la propriété vraie à l’ordre n−1. Le théorème 1 indique qu’il existe un corps LvérifiantC⊆L et des élémentsx₁, x₂, . . . , x_d ∈Ltels que P(X) =Qd

i=1(X−x_i). Pour tout réelc, on pose pour i6j,y_i,j^(c) =x_i+x_j+cx_ix_j. Soit G_c(X) = Q

i6j(X−y_i,j^(c)). Quel est le degré deG_c(X)?

4) Montrer que les coefficients de G_c(X) sont des polynômes symétriques des x_i et en déduire que G_c(X)∈R[X].

5) Établir à l’aide de l’hypothèse de récurrence qu’il existe des indices i(c), j(c) tels que y_i(c),j(c) ∈C.

6) Prouver qu’il existe deux réels c, c⁰ distincts et des indices r 6 s tels que x_r+x_s+cx_rx_s etx_r+x_s+c⁰x_rx_s ∈C.

7) Montrer que x_r, x_s∈C. 8) Conclure.