Montrer que Z X ω∧ω>0

GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 3

ANDREAS HÖRING

1. Soit X une surface compacte (c’est-à-dire une variété complexe compacte de dimension 2).

a) Soitω une 2-forme globale de type (2,0). Montrer que Z

X

ω∧ω>0.

b) Montrer que siω∈Γ(X,Ω^k) est unek-forme holomorphe, alorsdω= 0.

c) Soitf :X →Cune fonction différentiable qui satisfait∂∂f= 0. Montrer quef est constante.

Indication : montrer que dans un voisinage de coordonnéesf est pluriharmonique.

Déduire que si [ω] ∈ H^1,0(X) tel qu’il existe une fonction différentiable f avec ω=∂f, alorsω= 0. Montrer qu’on a une inclusion

H^1,0(X),→H^0,1(X), ω7→[ω].

d) Montrer que siω∈H^2,0(X) tel qu’il existeη∈C^∞(X,Ω^1,0_X ) avecω=∂η, alors ω= 0. Déduire qu’on a une inclusion

H^2,0(X),→H^0,2(X), ω7→[ω]

e) Montrer qu’on a des inclusions

H^1,0(X),→H¹(X,C), ω7→[ω]

et

H^2,0(X),→H²(X,C), ω7→[ω].

Pour k = 1,2, on peut donc identifier H^k,0(X) à un sous-espace de H^k(X,C) = H^k(X,R)⊗C. Montrer que

H^k,0(X)∩H^k,0(X) = 0.

Déduire que pour toute surface compacte

2h^1,06b₁62h^0,1. Donner un exemple où les inégalités sont strictes.

Indication : pour la deuxième inégalité, on peut considérer la suite exacte 0→C→OX

→d Z¹→0, oùZ¹ est le faisceau des 1-formes holomorphesd-fermées.

Date: 3rd December 2008.

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2. Soitf :X →Y une application holomorphe entre variétés complexes. Pour tout x∈X, posons T_f,x:T_X,C,x →T_Y,C,f(x) pour l’application entre les fibrés tangent complexifiés.

a) Montrer queTf,x(T_X,x^1,0)⊂T_Y,f(x)^1,0 et queTf,x(T_X,x^0,1)⊂T_Y,f(x)^0,1 . b) Montrer que l’application pull-back

f^∗:C^∞(Y,Ω^k_Y,C)→C^∞(X,Ω^k_X,C) préserve la décomposition en formes de type (p, q).

c) Montrer que pour tout p, q ∈ N, le pull-back induit des application linéaires naturelles (c’est-à-dire fonctorielles)

f^∗:H^p,q(Y)→H^p,q(X).

3. SoitD⊂Cⁿ un polydisque et soitω∈C^∞(D,Ω²_D,R) une 2-forme de type (1,1) qui estd-fermée. Montrer qu’il est une fonction différentiableϕ∈C^∞(D) telle que

ω=∂∂φ.

4. Soit X une variété complexe et soient (E, h) et (E⁰, h⁰) des fibrés vectoriels hermitiens holomorphes surX. On munitE⊗E⁰ de la métriqueh⊗h⁰.

a) Montrer que

DE⊗E⁰ =DE⊗IdE⁰+IdE⊗DE⁰.

b) Montrer que si L est un fibré en droites holomorphes et E un fibré vectoriel holomorphe de rangr, alors

c₁(E⊗L) =c₁(E) +rc₁(L).

5. (Métrique de Fubini-Study) Posons

f :Cⁿ⁺¹\0→R, f(z) = log(

n

X

j=0

|zj|²).

a) Montrer quef est plurisousharmonique.

b) Montrer quei∂∂f induit une (1,1)-formeω surPⁿ qui estd-fermée.

c) Montrer quef peut être vu comme le poids d’une métriqueh surOPⁿ(1) telle que (OPⁿ(1), h) est positif.

d) Soit maintenantX une variété complexe compacte et soitLun fibré en droites holomorphe globalement engendré, c’est-à-dire pour toutx∈Xil existe une section globale σ ∈ Γ(X, L) telle que σ(x) 6= 0. Montrer que L admet une métrique hermitienne à poidsϕtelle que la matrice

∂²ϕ

∂z_j∂z_k

16j,k6dimX

est définie semipositive.

Question bonus : montrer que si on suppose seulement Γ(X, L) 6= 0, le fibré en droitesLadmet une métrique singulière à poids plurisousharmonique.

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