GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 4

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GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 4

ANDREAS HÖRING

1 . (Éclatement d’un point)

Soit 0 ∈ U ⊂ C

ⁿ

un voisinage ouvert de 0. L’éclatement de U en 0 est l’ensemble U

^′

:= {((x

1

, . . . , x

_n

), (y

1

: . . . : y

_n

)) ∈ U × P

ⁿ⁻¹

| x

_i

y

_j

= x

_j

y

_i

∀ i, j ∈ {1, . . . , n}}.

a) Montrer que U

^′

est une sous-variété de dimension n de U × P

ⁿ⁻¹

.

b) Soit π : U

^′

→ U l’application holomorphe induite par la projection sur le premier facteur. Montrer que π

⁻¹

(0) ≃ P

ⁿ⁻¹

et que π|

U^′\π⁻¹(0)

est biholomorphe.

c) Soit X une variété complexe de dimension n et soit x

0

∈ X un point. Soit (U

i

)

i∈N

un recouvrement par des voisinages de coordonnées de X tel que x

0

∈ U

1

et x

0

6∈ U

_i

pour i 6= 1. Soit U

₁^′

l’éclatement de U

1

en x

0

. Montrer que U

₁^′

∪ ∪

i>2

U

_i

se récolle en une variété complexe X

^′

qui admet une application holomorphe π : X

^′

→ X telle que π

⁻¹

(x

0

) ≃ P

ⁿ⁻¹

et π|

_X′\π⁻¹(0)

est biholomorphe. On appelle X

^′

l’éclatement de X en x

0

, et E := π

⁻¹

(x

0

) ≃ P

ⁿ⁻¹

le diviseur exeptionnel.

d) Montrer que

K

_X′

≃ µ

^∗

K

_X

⊗ O

_X_′

(E)

^⊗n−1

. En déduire que

O

_X′

(E)|

E

≃ O

_P_n−1

(−1).

e) Supposons maintenant que X est une surface. Montrer que E

²

= −1.

2 . a) Soit X une surface projective et soit L un ﬁbré en droites holomorphe sur X tel que c

1

(L) = 0. Supposons qu’il existe une section non-nulle σ ∈ Γ(X, L).

Montrer que L est le ﬁbré trivial.

b) Soit X une surface complexe compacte et soit C ⊂ X une courbe lisse, c’est- à-dire une sous-variété de codimension un. On note g(C) le genre de C. Montrer que

2g(C) − 2 = (K

X

+ C) · C.

En déduire que si C ⊂ P

²

est une courbe lisse de degré d, alors

g(C) = 1

2 (d − 1)(d − 2).

En particulier une courbe C de genre deux n’admet pas de plongement C ֒ → P

²

.

Date: 23rd November 2009.

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3 . (Quelques propriétés des variétés kähleriennes)

a) Soit X une variété kählerienne compacte de dimension n, et soit ω une forme de Kähler sur X . Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, la classe de cohomologie

[ω

^k

] ∈ H

^k,k

(X) est non-nulle.

b) Soit i : Y ֒ → X une sous-variété d’une variété kählerienne. Montrer que Y est kählerienne, i.e. montrer que si ω est une forme de Kähler sur X , alors i

^∗

ω est une forme de Kähler sur Y .

c) Donner un exemple d’une submersion entre des variétés complexes f : X → Y telle que Y est Kähler, la ﬁbre X

y

:= f

⁻¹

(y) est Kähler pour tout y ∈ Y , mais X n’est pas Kähler.

4 . (Extensions des ﬁbrés vectoriels) Soit X une variété complexe et soit

0 → S →

^ϕ

E →

^ψ

Q → 0

une suite exacte de ﬁbrés vectoriels holomorphes. On dit que E est une extension de Q par S. Deux extensions sont équivalentes s’il existe un diagramme commutatif

0 S

IdS

E Q

IdQ

0 0 S F Q 0,

où F est également un ﬁbré vectoriel holomorphe. Le but de cet exercice est de montrer que les éléments de ˇ H

¹

(X, H om(Q, S)) sont en bĳection naturelle avec les classes d’équivalence des extensions de Q par S.

Notons d’abord que la suite exacte

0 → H om(Q, S)

^Id^Q∗

→

^⊗ϕ

H om(Q, E)

^Id^Q∗

→

^⊗ψ

H om(Q, Q) → 0 induit une suite exacte longue en cohomologie de Čech

. . . → H ˇ

⁰

(X, H om(Q, E)) → H ˇ

⁰

(X, H om(Q, Q)) →

^δ

H ˇ

¹

(X, H om(Q, S)) → . . . On note [E] := δ(Id

Q

) ∈ H ˇ

¹

(X, H om(Q, S)).

a) Montrer que [E] = 0 si et seulement si la suite exacte est scindée.

b) Soit e ∈ H ˇ

¹

(X, H om(Q, S)). Montrer qu’il existe une suite exacte 0 → S →

^ϕ

E →

^ψ

Q → 0

telle que [E] = e. Indication : pour déﬁnir le ﬁbré E, soit (U

α

)

α∈A

un recouvrement de Leray de X et soit (e

αβ

)

α,β∈A

un 1-cocycle de Čech qui représente e. On pose E|

Uα

:= S|

Uα

⊕ Q|

Uα

et pour les fonctions de transition

g

αβ

(s

β

, q

β

) = (s

β

+ e

αβ

(q

β

), q

β

).

c) Conclure.

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