(a) Montrer que x∈Rn, A x≥0⇒x≥0

Ann´ee universitaire 2017/2018

Site : ⊠Luminy ⊠St-Charles St-J´erˆome Cht-Gombert Aix-Montperrin Aubagne-SATIS Sujet de : ⊠1^ersemestre 2^`emesemestre Session 2 Dur´ee de l’´epreuve : 3h

Examen de : L3 Nom du diplˆome : Licence de Math´ematiques

Code du module : SMI301-102 Libell´e du module : Analyse num´erique et optimisation Calculatrices autoris´ees : NON Documents autoris´es : OUI, notes de Cours/TD/TP

Examen de juin 2018

L’examen contient 2 exercices. Le bar`eme est sur 22 points Exercice 1(Matrice `a inverse positive, bar`eme 16 points).

Notations :

On rappelle que six∈IRⁿ, la notationx≥0signifie que toutes les composantes dex(not´eesxi,i ∈ {1, . . . , n}) sont positives et la notationx >0signifie que toutes les composantes dexsont strictement positives. On noteel’´el´ement deIRⁿdont toutes les composantes sont ´egales `a1.

Soientn∈IN^⋆andA∈M_n(IR). On noteai,jle coefficient deAcorrespondant `a la ligneiet la colonnej.

1. On suppose queAv´erifie la condition suivante :

ai,j≤0pour touti, j∈ {1, . . . , n}, i6=j, ai,i+X

j6=i

ai,j>0pour touti∈ {1, . . . , n}.

(a) Montrer que

x∈Rⁿ, A x≥0⇒x≥0. (1)

[On pourra consid´ereri0tel quexi0 ≤xipour toutiet montrer quexi0 ≥0.]

(b) Montrer queAest inversible et que tous les coefficients deA⁻¹sont positifs.

(c) Montrer que

x∈Rⁿ, A x >0⇒x >0, (2)

2. On suppose maintenant queAv´erifie la condition suivante :

ai,j≤0pour touti, j∈ {1, . . . , n}, i6=j, ai,i+X

j6=i

aj,i>0pour touti∈ {1, . . . , n}.

Montrer queAv´erifie aussi (1) et (2).

3. On suppose maintenant queAv´erifie la condition suivante :

ai,j≤0pour touti, j∈ {1, . . . , n}, i6=j, ai,i+X

j6=i

aj,i= 0pour touti∈ {1, . . . , n}.

On suppose aussi queAv´erifie la propri´et´e suivante :

I, J⊂ {1, . . . , n}, I6=∅, J6=∅, I∩J =∅, I∪J ={1, . . . , n} ⇒ ∃(i, j)∈I×Jtel queai,j 6= 0. (3) (a) Montrer queAn’est pas inversible. Donner explicitement un ´el´ement non nul deKer(A^t).

(b) Soitf ∈Ker(A). On notefi,i∈ {1, . . . , n}, les composantes def. i. Montrer que, pour touti∈ {1, . . . , n},ai,i|fi| ≤P

j6=i(−ai,j)|fj|.

ii. Montrer que les composantes def ont toutes le mˆeme signe. [Utiliser (3)].

iii. Montrer quedim(Ker(A)) = 1.

On se donneα >0. On d´efinit la matriceB(par bloc) en posantB= A e

e^t 0

. (c) Montrer queBest inversible.

(d) Montrer qu’il existe un uniquex∈IRⁿtel queAx= 0ete·x=α. Montrer quex≥0. Montrer que l’unique solution du syst`eme lin´eaireBy=

0 α

esty= x

0

.

Exercice 2(Optimisation, bar`eme 6 points). Soientn∈IN\ {0},A∈M_n(IR)une matrice sym´etrique d´efinie positive,b∈IRⁿ, c∈IRetf : IRⁿ −→IRune application d´efinie pourx∈IR^N par

f(x) = 1

2x·Ax−x·b+c .

Iciu·vest le produit scalaire canonique entreu∈IRⁿetv ∈ IRⁿ. On note| · |2 : IRⁿ → IRla norme euclidienne surIRⁿ et k · k2:M_n(IR)→IRla norme matricielle induite surM_n(IR).

1. Montrer quefest de classeC³(IRⁿ,IR). Donner son gradient, sa hessienne et sa diff´erentielle3-i`eme.

2. Montrer que

(∇f(x)− ∇f(y))·(x−y)≥α|x−y|²2, ∀x, y ∈IRⁿ,

|∇f(x)− ∇f(y)|2≤M|x−y|2, ∀x, y ∈IRⁿ,

o `uα >0est la plus petite valeur propre deAetM >0son rayon spectral.

3. Montrer quefest strictement convexe et quelim|x|2→+∞f(x) = +∞. En d´eduire quefadmet un unique minimumx∈IRⁿ. Donner sa valeur.

4. En utilisant le point 2, montrer queh: x ∈IRⁿ 7→ x−ρ∇f(x) ∈ IRⁿ est strictement contractante pourρ ∈]0,_M^2α2[. En d´eduire que la suite

xn+1 =xn−ρ∇f(xn), n∈IN, converge versxpourx0∈IR^N.

5. Montrer que

xn+1−x= (Id−ρA)(xn−x), n∈IN. En d´eduire que la suite(xn)n∈INconverge versxd`es queρ∈]0,_M²[.

6. Quel est le nom de l’algorithme des questions pr´ec´edentes ?