Universit´e de Lille Master 1 Math´ematiques
M402 Analyse 20 septembre 2018
DM 1 - pour le 1er octobre 2018
Exercice
Soitf :]0; +∞[→Rcontinue telle que∀x >0, f x
n
−−−−−→
n→+∞ 0.
1. Soitε >0 fix´e. Pourk∈N∗, on pose Fk :={0} ∪ \
n≥k
n
x >0 | fx
n
≤εo
Montrer qu’il existek0 ∈N∗,a >0 etδ >0 tels que ]a−δ;a+δ[⊂Fk0. 2. En d´eduire qu’on peut trouver α >0 tel que
∀x∈]0;α[, ∃n∈N, n≥k0 |nx∈Fk0
3. Que peut-on en conclure sur le comportement def en 0+?
Probl`eme - Partie I
Le but est de montrer directement, de fa¸con constructive, la version trigo- nom´etrique du th´eor`eme de Weierstrass.
Soit f une fonction continue sur R et 2π-p´eriodique. Pour tout n ∈ N, on pose
ρn(t) =an(1 + cost)n avec 1 an
= Z π
−π
(1 + cost)ndt et
fn(x) = Z π
−π
f(t)ρn(x−t) dt
1. Montrer que an est bien d´efini et v´erifie 0< an ≤ n+ 1
2n+2. Que vaut Rπ
−πρn(t) dt?
2. Montrer que la suite de fonctions (ρn)n converge uniform´ement vers 0 sur toute partie de la forme [−π;π]\[−δ;δ] (o`u 0< δ < π).
3. Montrer que∀x∈R,fn(x)−f(x) =Rπ
−π(f(x−t)−f(x))ρn(t) dt. En d´eduire que (fn)nconverge uniform´ement surR versf.
4. V´erifier que pour tout n, fn est une fonction polynomiale trigo- nom´etrique. Conclure.
1
Probl`eme - Partie II
On cherche ici `a obtenir le th´eor`eme de Weierstrass comme cons´equence de la version trigonom´etrique.
Soit f : [−1; 1] → R une fonction continue et ε > 0. On pose pour tout θ∈R,g(θ) =f(cosθ).
1. Montrer qu’il existe une fonction polynomiale trigonom´etriqueP telle quekg−Pk∞< ε, et en d´eduire qu’il existec0, . . . , cn∈Rtels que
Sup
θ∈R
g(θ)−
n
X
k=0
ckcos(kθ)
< ε
(indication : on pourra remarquer que g(θ) =g(−θ)).
2. Justifier que pour toutk∈N, cos(kθ) est une expression polynomiale en cosθ.
3. Montrer `a l’aide des questions pr´ec´edentes que l’ensemble des fonc- tions polynomiales est dense dans C([0; 1],R) muni dek · k∞.
4. En d´eduire le mˆeme r´esultat pourC([a;b],R).
Probl`eme - Partie III
Une autre application de la version trigonom´etrique du th´eor`eme de Weiers- trass.
On fixeα >0 tel que α π ∈/ Q.
1. Soitf(t) =eilt (l∈Z) : montrer que 1
n
n−1
X
k=0
f(kα)−−−−−→
n→+∞
1 2π
Z 2π
0
f(t) dt (1)
2. En d´eduire que (1) est vraie pour toute fonction f continue et 2π- p´eriodique surR.
3. Montrer, en raisonnant par l’absurde et en appliquant la question 2.
`
a une fonction f bien choisie, que {kα [2π]| k∈ N} est dense dans [0; 2π].
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