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+∞[→Rcontinue telle que∀x >0, f x n

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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Universit´e de Lille Master 1 Math´ematiques

M402 Analyse 20 septembre 2018

DM 1 - pour le 1er octobre 2018

Exercice

Soitf :]0; +∞[→Rcontinue telle que∀x >0, f x

n

−−−−−→

n→+∞ 0.

1. Soitε >0 fix´e. Pourk∈N, on pose Fk :={0} ∪ \

n≥k

n

x >0 | fx

n

≤εo

Montrer qu’il existek0 ∈N,a >0 etδ >0 tels que ]a−δ;a+δ[⊂Fk0. 2. En d´eduire qu’on peut trouver α >0 tel que

∀x∈]0;α[, ∃n∈N, n≥k0 |nx∈Fk0

3. Que peut-on en conclure sur le comportement def en 0+?

Probl`eme - Partie I

Le but est de montrer directement, de fa¸con constructive, la version trigo- nom´etrique du th´eor`eme de Weierstrass.

Soit f une fonction continue sur R et 2π-p´eriodique. Pour tout n ∈ N, on pose

ρn(t) =an(1 + cost)n avec 1 an

= Z π

−π

(1 + cost)ndt et

fn(x) = Z π

−π

f(t)ρn(x−t) dt

1. Montrer que an est bien d´efini et v´erifie 0< an ≤ n+ 1

2n+2. Que vaut Rπ

−πρn(t) dt?

2. Montrer que la suite de fonctions (ρn)n converge uniform´ement vers 0 sur toute partie de la forme [−π;π]\[−δ;δ] (o`u 0< δ < π).

3. Montrer que∀x∈R,fn(x)−f(x) =Rπ

−π(f(x−t)−f(x))ρn(t) dt. En d´eduire que (fn)nconverge uniform´ement surR versf.

4. V´erifier que pour tout n, fn est une fonction polynomiale trigo- nom´etrique. Conclure.

1

(2)

Probl`eme - Partie II

On cherche ici `a obtenir le th´eor`eme de Weierstrass comme cons´equence de la version trigonom´etrique.

Soit f : [−1; 1] → R une fonction continue et ε > 0. On pose pour tout θ∈R,g(θ) =f(cosθ).

1. Montrer qu’il existe une fonction polynomiale trigonom´etriqueP telle quekg−Pk< ε, et en d´eduire qu’il existec0, . . . , cn∈Rtels que

Sup

θ∈R

g(θ)−

n

X

k=0

ckcos(kθ)

< ε

(indication : on pourra remarquer que g(θ) =g(−θ)).

2. Justifier que pour toutk∈N, cos(kθ) est une expression polynomiale en cosθ.

3. Montrer `a l’aide des questions pr´ec´edentes que l’ensemble des fonc- tions polynomiales est dense dans C([0; 1],R) muni dek · k.

4. En d´eduire le mˆeme r´esultat pourC([a;b],R).

Probl`eme - Partie III

Une autre application de la version trigonom´etrique du th´eor`eme de Weiers- trass.

On fixeα >0 tel que α π ∈/ Q.

1. Soitf(t) =eilt (l∈Z) : montrer que 1

n

n−1

X

k=0

f(kα)−−−−−→

n→+∞

1 2π

Z

0

f(t) dt (1)

2. En d´eduire que (1) est vraie pour toute fonction f continue et 2π- p´eriodique surR.

3. Montrer, en raisonnant par l’absurde et en appliquant la question 2.

`

a une fonction f bien choisie, que {kα [2π]| k∈ N} est dense dans [0; 2π].

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