Le th´eor`eme de Weierstrass
1Th´eor`eme(de Weierstrass). Soienta,b ∈R. Toute fonction continuef sur[a,b]est limite uniforme de polynˆomes sur[a,b].
D´emonstration. On commence par d´emontrer ce th´eor`eme sur[0, 1]. ∀n ∈ N,∀k ∈ {0,. . .,n}, on note Rkn : x7−→Cnkxk(1−x)n−k et pour toute fonctionf continue sur[0, 1],Bn(f) =
n
X
k=0
f k
n
Rkn(x)(on remarque ici que pourf continue,Bn(f)est un polyn ˆome). Calculons explicitement
n
X
k=0
k n−x
2
Rkn(x) =
n
X
k=0
k n
2
Rkn(x)−2xk
nRkn(x) +x2Rkn(x)
= Bn(x2)−2xBn(x) +x2Bn(1) (O `uxnremplace par abus la notationx7−→xn)
On calcule s´epar´ement chacun des trois termes de cette somme. On note au pr´ealable
F(a,b) = (a+ 1−b)n. =
n
X
k=0
Cnkak(1−b)n−k.
• x2Bn(1) =x2
n
X
k=0
Cnkxk(1−x)n−k=x2(x+ 1−x)n=x2
• Bn(x) =
n
X
k=0
k
nCnkxk(1−x)n−k = x n
n
X
k=0
Cnkkxk−1(1−x)n−k =x n
n
X
k=0
Cnk(xk)0(1−x)n−k d’o `u
Bn(x) = x n
∂F
∂a(x,x) = x
nn(x+ 1−x)n−1=x.
• Bn(x2) =
n
X
k=0
k2xk−1(1−x)n−k= x n2
∂
∂a
a∂F
∂a
(x,x) = x
n2 n(x+ 1−x)n−1+xn(n−1)(x+ 1−x)n−2 d’o `u
Bn(x2) =x2+x(1−x) n .
On r´einjecte cela dans
n
X
k=0
k n−x
2
Rkn(x) =Bn(x2)−2xbn(x) +x2Bn(1) =x(1−x)
n . Ainsi, on a
X
k,|k/n−x|>η
Rkn(x)6 1 η2
n
X
k=0
k n−x
2
Rkn(x) = 1 η2
x(1−x)
n 6 1
nη2
Soit alorsε >0. Commef est continue sur[0, 1](compact) elle est born´ee et atteint ses bornes. Ainsi, il existe M tel que pour toutxdans[0, 1],|f(x)|6M. Par Heine,f est aussi uniform´ement continue sur[0, 1]id est, pour leεfix´e,∃η >0,∀x,x0,|x−x0|< η⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
On s’int´eresse `a
|Bn(f)−f(x)|=|Bn(f)−Bn(1)×f(x)|6
X
k,|k/n−x|<η
f
k n
−f(x)
Rkn(x) +
X
k,|k/n−x|>η
f
k n
−f(x)
Rkn(x)
|Bn(f)−f(x)|6ε X
k,|k/n−x|<η
Rkn(x) + 2M X
k,|k/n−x|>η
Rkn(x)6ε+2M η2n.
SiN est choisi dansNtel que 2M
η2n < ε,∀n>N,|Bn(f)(x)−f(x)|<2ε,∀n>N,∀x∈I. On a donc montr´e queBn(f)converge uniform´ement versf sur[a,b].
On se ram`ene au cas o `uI= [a,b]en consid´erant la fonctiong(x) =f(a+ (b−a)x),∀x∈[0, 1].
1. Les maths en tˆete, Xavier GOURDON, page 230
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