1 – Le th´ eor` eme d’Ikehara

(1)

Th´ eor` eme tauberien et nombres premiers

Le th´ eor` eme tauberien de Karamata donne un ´ equivalent entre comportement en 0 ^` de la transform´ ee de Laplace ϕpaq d’une mesure positive µ sur R ` , et mesure des grands intervalles µpr0, 1{asq , lorsque a tend vers 0. Voir ce document. Le th´ eor` eme tauberien d’Ikehara permet entre autre de donner un ´ equivalent de µpr1{a, 1{a ` hsq pour tout h fix´ e, lorsque a tend vers 0, pr´ ecisant le th´ eor` eme de Karamata. Il demande cependant d’avoir une information quantitative sur le comportement de la transform´ ee de Laplace ϕ de µ dans le plan complexe.

On d´ eduit de l’´ enonc´ e d’Ikehara une d´ emonstration simple et auto-contenue du th´ eor` eme des nombres premiers dans la Section 2.

1 – Le th´ eor` eme d’Ikehara

Th´ eor` eme 1 . Soit f : R _` Ñ R _` une fonction croissante. S’il existe deux constantes c, ` ě 0 telles que l’int´ egrale

F pzq :“

ż ₈

0 e ^´zx f pxqdx

converge sur le demi plan ouvert Re pzq ą c (

et que la fonction Gpzq :“ F pzq ´ `

z ´ c admet une extension continue au demi plan ferm´ e Repzq ě c (

, alors e ^´cx f pxq ÝÑ

xÑ`8 `.

On d´ eduit effectivement de cet ´ enonc´ e un ´ equivalent de µpr1{a, 1{a ` hsq, pour h fix´ e, lorsque a tend vers 0. On regarde ici la transform´ ee de Laplace (complexe) de la mesure µpdxq “ f pxqdx. Notons que

Gpzq “ ż ₈

0 ` e ^´cx f pxq ´ ` ˘

e ^´pz´cqx dx “:

ż ₈

0 φpxqe ^´pz´cqx dx.

On souhaite montrer que φ tend vers 0 en `8 . On va voir que φ est essentiellement une transform´ ee de Fourier, si bien que la conclusion viendra du lemme de Riemann-Lebesgue. La chose est toute bˆ ete. Pour tout ε ą 0, on a effectivement que

Gpc ` ε ` itq “ ż ₈

0 e ^´εx φpxqe ^´itx dx

est la “transform´ ee de Fourier” de e ^´εx φpxq , si l’on oublie qu’on int` egre ici sur p0, `8q plutˆ ot que sur R tout entier. En prenant la transform´ ee de Fourier inverse en t on aurait

ż

e ^iyt Gpc ` ε ` itqdt “ ż ż ₈

0 e ^´εx φpxqe ^´itx dxdt “ ż ₈

0 e ^´εx φpxqe ^´itx δ _y pxqdx “ e ^´εy φpyq,

si l’on pouvait intervertir les deux int´ egrales, en nous servant de l’identit´ e ş

e ^itpy´xq dt “ δ _y pxq . Si l’on pouvait envoyer ε vers 0 sans pr´ ecaution on obtiendrait bien φ sous forme de transform´ ee de Fourier

φpyq “ ż

e ^iyt Gpc ` itqdt.

Reste ` a rendre quantitatif ce raisonnement qualitatif.

D´ emonstration – Donnons-nous une famille de fonctions ρ n sur R, ` a support compact, et telles que les ρ x n forment une approximation de l’unit´ e. On peut alors effectivement intervertir ci-dessous l’int´ egrale en t et l’int´ egrale en x d´ efinissant G et obtenir

ż

e ^iyt ρ n ptqGpc ` ε ` itqdt “ ż ₈

0 e ^´εx φpxqx ρ n py ´ xqdx

1

(2)

2 Puisque G est continue sur le demi plan ferm´ e Re pzq ě c (

et que ρ _n est ` a support compact, la famille de fonctions `

ρ _n p‚qGpc ` ε ` i‚q ˘

0ăεď1 converge uniform´ ement vers la fonction ρ n p‚qGpc ` i‚q et

ż

e ^iyt ρ _n ptqGpc ` ε ` itqdt ÝÑ

εÑ0

ż

e ^iyt ρ _n ptqGpc ` itqdt.

On a donc, d’apr` es le th´ eor` eme de convergence monotone, ż

e ^iyt ρ _n ptqGpc ` itqdt “ ż ₈

0 φpxqx ρ _n py ´ xqdx,

et puisque la fonction ρ n p‚qGpc ` i‚q est int´ egrable (car continue et ` a support compact), on a

p‹q :“

ż ₈

0 φpxq x ρ n py ´ xqdx ÝÑ

yÑ`8 0,

d’apr` es le lemme de Riemann-Lebesgue. Rappelons que φpxq “ e ^´cx fpxq ´ `. On n’a jusque-l` a pas utilis´ e le fait que f est croissante. Donnons-nous maintenant δ ą 0 et notons que pour y ě 0

p‹q “ ż _y`δ

´8

φpy ` δ ´ zqx ρ _n pzqdz ě ż _δ

´δ

φpy ` δ ´ zqx ρ _n pzqdz ě ż _δ

´δ

´

e ^´cpy`2δq fpyq ´ `

¯

ρ x _n pzqdz, du fait que f est croissante, avec e ^´cpy`2δq f pyq ´ ` “ e ^´2δc φpyq ` `

e ^´2δc ` ´ ` ˘

. Puisque la limite sup´ erieure en y du terme de gauche est nulle il s’ensuit qu’on a pour tout n

0 ě e ^´2δc lim sup

`8

φ ` `

e ^´2δc ` ´ ` ˘ ż _δ

´δ

x ρ n pzqdz.

On en conclut que lim sup _`8 φ ď 0, en envoyant n vers 8 puis δ vers 0. On tire au passage le fait que φ est major´ ee, disons par une constante m. Maintenant, on a

ż ₈

0 φpxqx ρ n py ´ δ ´ xqdx “ ż _y´δ

´8

φpy ` δ ´ zqx ρ n pzqdz

ď ż _δ

´δ

φpy ´ δ ´ zqx ρ n pzqdz ` m ż _y´δ

´8

1 _|z|ąδ x ρ n pzqdz.

(1.1)

La croissance de f donne cette fois φpy ´ δ ´ zq ď e ^´cpy´2δq f pyq ´ `, lorsque |z| ď δ, et l’on conclut comme ci-dessus de l’in´ egalit´ e (1.1) que lim inf φ ě 0, du fait que les x ρ _n forment

une approximation de l’identit´ e. B

2 – Le th´ eor` eme des nombres premiers

La formule

ζpzq :“ ÿ

ně1

n ^´z

d´ efinit une fonction holomorphe sur le demi plan complexe ouvert Re pzq ą 1 (

. Notons P Ă N l’ensemble des nombres premiers. D´ eveloppant `

1 ´ p ^´z ˘ ´1

en s´ erie et utilisant l’unique factorisation des nombres entiers en termes des nombres premiers, on voit que

ζpzq “ ź

pPP

` 1 ´ p ^´z ˘ _´1

; on peut bien intervertir ś

pPP et les sommes issues du d´ eveloppement de chaque facteur ` 1 ´ p ^´z ˘ ´1

lorsque Re pzq ą 1. Ce d´ eveloppement en produit montre que la fonction ζ ne s’annule pas sur le demi plan ouvert Repzq ą 1 (

, comme |p ^´z | “ p ^´Repzq ă 1. Notons que puisque

(3)

3 pz ´ 1q ^´1 “ ş ₈

0 x ^´z dx, la formule

gpzq :“ ζ pzq ´ 1

z ´ 1 “ ÿ

ně1

ż _n`1

n

` n ^´z ´ x ^´z ˘ dx

d´ efinit une fonction holomorphe g sur le demi plan ouvert Re pzq ą 0 (

, puisque ˇ

ˇ n ^´z ´ x ^´z ˇ ˇ ď

|z|

n

^Repzq`1

, sur l’intervalle rn, n ` 1s . Les fonctions ζ et ζ ¹ sont en particulier bien d´ efinies et continues sur l’ouvert relatif Re pzq ě 1 (

zt1u du ferm´ e Re pzq ě 1 ( . Lemme 2 . ^Pour ^Re pzq ą 1, on a

´ ζ ¹ pzq ζ pzq “ z

ż ₈

0 e ^´zx f pxqdx

pour une fonction f : R _` Ñ R _` croissante.

D´ emonstration – On d´ eduit du d´ eveloppement en produit que

´ ζ ¹ pzq ζpzq “ ÿ

pPP

lnppq p ^´z 1 ´ p ^´z “ ÿ

pPP

˜

lnppq ÿ

ně1

p ^´nz

¸ .

Dans le mˆ eme temps, pour p P P fix´ e, ż ₈

0 e ^´zx

„ x lnppq



lnppqdx “ ż ₈

0 e ^´zx lnppq

¨

˝ ÿ

nďx{ lnppq

1 ˛

‚ dx “ lnppq ÿ

ně1

ż ₈

n lnppq

e ^´zx

“ lnppq z

ÿ

ně1

p ^´nz .

on a donc le r´ esultat de l’´ enonc´ e avec f pxq :“ ÿ

pPP

” x lnppq

ı lnppq.

B Lemme 3 . La fonction ζ ne s’annule pas sur Repzq “ 1 (

zt1u.

D´ emonstration – Pour un nombre complexe z de module 1 on a z “ z ^´1 , et donc l’identit´ e ˇ

ˇ ˇ ˇ

2 ÿ

j“0

z ^j ˇ ˇ ˇ ˇ

2 “

2 ÿ

j,j

¹

“0

z ^j´j

¹

“ ÿ

|k|ă3

` 3 ´ |k| ˘ z ^k .

Appliqu´ e ` a z “ e ^´in ^lnppqt et s ą 1 cela nous donne

ź

|k|ă3

ζ ps ` iktq ^3´|k| “ exp

¨

˚

˝ ÿ

ně1 pPP

p ^´sn n

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

2 ÿ

j“0

e ^ijnt ^lnppq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

2 ˛

‹

‚ ě 1,

c’est-` a-dire

ˇ ˇ

ˇ ζpsq ³ ζ ps ` itq ⁴ ζps ` 2itq ² ˇ ˇ ˇ ě 1.

Si l’on avait ζ p1 `itq “ 0 pour un t ‰ 0, le quotient `

ζ ps `itq ´ ζp1` itq ˘

{ps´1q aurait une limite finie, donn´ ee par g ¹ p1 ` itq ` 1{t ² . Tenant compte du fait que ζ a un pˆ ole d’ordre 1 en z “ 1, on conclurait donc de l’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente la contradiction

Op1q ě ps ´ 1q ^´1 .

B A ce stade, on a obtenu que la fonction ` ζ ¹ {ζ admet un prolongement continu au compl´ ementaire de tout voisinage ouvert du singleton t1u dans le demi plan ferm´ e Repzq ě 1 (

. Un calcul

(4)

4 direct sur Re pzq ą 1 (

nous donne ζ ¹ pzq

ζ pzq ` 1

z ´ 1 “ pz ´ 1qg ¹ pzq ` gpzq pz ´ 1qgpzq ` 1 .

Le membre de droite ´ etant holomorphe sur le demi plan ouvert Re pzq ą 0 (

, la fonction

´pζ ¹ {ζ qpzq´pz´1q ^´1 a en particulier un prolongement continu au demi espace ferm´ e Re pzq ě 1 (

, si bien que

ż ₈

0 e ^´zx f pxqdx ´ 1 z ´ 1 a aussi un prolongement continu ` a Re pzq ě 1 (

, d’apr` es le lemme 2. Le th´ eor` eme d’Ikehara, Th´ eor` eme 1, nous donne donc l’´ equivalent

fpxq „ e ^x , i.e. f pln xq „ x, (2.1) lorsque x est grand. Maintenant, si

πpxq :“ ÿ

pPP,pďx

1 d´ esigne la fonction de comptage des nombres premiers, f pln xq “ ÿ

pPP

„ ln x ln p



lnppq ď πpxq lnpxq (2.2)

et l’on a pour 1 ă y ă x

πpxq ´ πpyq ď ÿ

yăpăx

ln p

ln y ď f pln xq lnpyq , si bien que

πpxq ď y ` f pln xq ln y .

Appliquant cette in´ egalit´ e ` a y “ _lnpxq ^x

2

, on obtient avec (2.2) l’encadrement fpln xq

x ď πpxq lnpxq

x ď f pln xq x

lnpxq

lnpx{ lnpxq ² q ` 1 ln x .

L’´ equivalent (2.1) sur la fonction f pln xq donne donc le r´ esultat suivant, qui constitue le th´ eor` eme des nombres premiers.

Th´ eor` eme 4 . On a πpxq „ x{ lnpxq , lorsque x est grand.

1 – Le th´ eor` eme d’Ikehara

Th´ eor` eme tauberien et nombres premiers

On d´ eduit de l’´ enonc´ e d’Ikehara une d´ emonstration simple et auto-contenue du th´ eor` eme des nombres premiers dans la Section 2.

1 – Le th´ eor` eme d’Ikehara

Th´ eor` eme 1 . Soit f : R ` Ñ R ` une fonction croissante. S’il existe deux constantes c, ` ě 0 telles que l’int´ egrale

F pzq :“

ż 8

0

e ´zx f pxqdx

converge sur le demi plan ouvert Re pzq ą c (

et que la fonction Gpzq :“ F pzq ´ `

z ´ c admet une extension continue au demi plan ferm´ e Repzq ě c (

, alors e ´cx f pxq ÝÑ

xÑ`8 `.

On d´ eduit effectivement de cet ´ enonc´ e un ´ equivalent de µpr1{a, 1{a ` hsq, pour h fix´ e, lorsque a tend vers 0. On regarde ici la transform´ ee de Laplace (complexe) de la mesure µpdxq “ f pxqdx. Notons que

Gpzq “ ż 8

0

` e ´cx f pxq ´ ` ˘

e ´pz´cqx dx “:

ż 8

0

φpxqe ´pz´cqx dx.

On souhaite montrer que φ tend vers 0 en `8 . On va voir que φ est essentiellement une transform´ ee de Fourier, si bien que la conclusion viendra du lemme de Riemann-Lebesgue. La chose est toute bˆ ete. Pour tout ε ą 0, on a effectivement que

Gpc ` ε ` itq “ ż 8

0

e ´εx φpxqe ´itx dx

est la “transform´ ee de Fourier” de e ´εx φpxq , si l’on oublie qu’on int` egre ici sur p0, `8q plutˆ ot que sur R tout entier. En prenant la transform´ ee de Fourier inverse en t on aurait

ż

e iyt Gpc ` ε ` itqdt “ ż ż 8

0

e ´εx φpxqe ´itx dxdt “ ż 8

0

e ´εx φpxqe ´itx δ y pxqdx “ e ´εy φpyq,

si l’on pouvait intervertir les deux int´ egrales, en nous servant de l’identit´ e ş

e itpy´xq dt “ δ y pxq . Si l’on pouvait envoyer ε vers 0 sans pr´ ecaution on obtiendrait bien φ sous forme de transform´ ee de Fourier

φpyq “ ż

e iyt Gpc ` itqdt.

Reste ` a rendre quantitatif ce raisonnement qualitatif.

D´ emonstration – Donnons-nous une famille de fonctions ρ n sur R, ` a support compact, et telles que les ρ x n forment une approximation de l’unit´ e. On peut alors effectivement intervertir ci-dessous l’int´ egrale en t et l’int´ egrale en x d´ efinissant G et obtenir

ż

e iyt ρ n ptqGpc ` ε ` itqdt “ ż 8

0

e ´εx φpxqx ρ n py ´ xqdx

1

2

Puisque G est continue sur le demi plan ferm´ e Re pzq ě c (

et que ρ n est ` a support compact, la famille de fonctions `

ρ n p‚qGpc ` ε ` i‚q ˘

0ăεď1 converge uniform´ ement vers la fonction ρ n p‚qGpc ` i‚q et

ż

e iyt ρ n ptqGpc ` ε ` itqdt ÝÑ

εÑ0

ż

e iyt ρ n ptqGpc ` itqdt.

On a donc, d’apr` es le th´ eor` eme de convergence monotone, ż

e iyt ρ n ptqGpc ` itqdt “ ż 8

0

φpxqx ρ n py ´ xqdx,

et puisque la fonction ρ n p‚qGpc ` i‚q est int´ egrable (car continue et ` a support compact), on a

p‹q :“

ż 8

0

φpxq x ρ n py ´ xqdx ÝÑ

yÑ`8 0,

d’apr` es le lemme de Riemann-Lebesgue. Rappelons que φpxq “ e ´cx fpxq ´ `. On n’a jusque-l` a pas utilis´ e le fait que f est croissante. Donnons-nous maintenant δ ą 0 et notons que pour y ě 0

p‹q “ ż y`δ

´8

φpy ` δ ´ zqx ρ n pzqdz ě ż δ

´δ

φpy ` δ ´ zqx ρ n pzqdz ě ż δ

´δ

´

e ´cpy`2δq fpyq ´ `

¯

ρ x n pzqdz, du fait que f est croissante, avec e ´cpy`2δq f pyq ´ ` “ e ´2δc φpyq ` `

e ´2δc ` ´ ` ˘

. Puisque la limite sup´ erieure en y du terme de gauche est nulle il s’ensuit qu’on a pour tout n

0 ě e ´2δc lim sup

`8

φ ` `

Th´ eor` eme 1 . Soit f : R _` Ñ R _` une fonction croissante. S’il existe deux constantes c, ` ě 0 telles que l’int´ egrale

ż ₈

e ^´zx f pxqdx

, alors e ^´cx f pxq ÝÑ

Gpzq “ ż ₈

` e ^´cx f pxq ´ ` ˘

e ^´pz´cqx dx “:

ż ₈

φpxqe ^´pz´cqx dx.

Gpc ` ε ` itq “ ż ₈

e ^´εx φpxqe ^´itx dx

est la “transform´ ee de Fourier” de e ^´εx φpxq , si l’on oublie qu’on int` egre ici sur p0, `8q plutˆ ot que sur R tout entier. En prenant la transform´ ee de Fourier inverse en t on aurait

e ^iyt Gpc ` ε ` itqdt “ ż ż ₈

e ^´εx φpxqe ^´itx dxdt “ ż ₈

e ^´εx φpxqe ^´itx δ _y pxqdx “ e ^´εy φpyq,

e ^itpy´xq dt “ δ _y pxq . Si l’on pouvait envoyer ε vers 0 sans pr´ ecaution on obtiendrait bien φ sous forme de transform´ ee de Fourier

e ^iyt Gpc ` itqdt.

e ^iyt ρ n ptqGpc ` ε ` itqdt “ ż ₈

e ^´εx φpxqx ρ n py ´ xqdx

et que ρ _n est ` a support compact, la famille de fonctions `

ρ _n p‚qGpc ` ε ` i‚q ˘

e ^iyt ρ _n ptqGpc ` ε ` itqdt ÝÑ

e ^iyt ρ _n ptqGpc ` itqdt.

e ^iyt ρ _n ptqGpc ` itqdt “ ż ₈

φpxqx ρ _n py ´ xqdx,

ż ₈

d’apr` es le lemme de Riemann-Lebesgue. Rappelons que φpxq “ e ^´cx fpxq ´ `. On n’a jusque-l` a pas utilis´ e le fait que f est croissante. Donnons-nous maintenant δ ą 0 et notons que pour y ě 0

p‹q “ ż _y`δ

φpy ` δ ´ zqx ρ _n pzqdz ě ż _δ

φpy ` δ ´ zqx ρ _n pzqdz ě ż _δ

e ^´cpy`2δq fpyq ´ `

ρ x _n pzqdz, du fait que f est croissante, avec e ^´cpy`2δq f pyq ´ ` “ e ^´2δc φpyq ` `

e ^´2δc ` ´ ` ˘

0 ě e ^´2δc lim sup

e ^´2δc ` ´ ` ˘ ż _δ

On en conclut que lim sup _`8 φ ď 0, en envoyant n vers 8 puis δ vers 0. On tire au passage le fait que φ est major´ ee, disons par une constante m. Maintenant, on a

ż ₈

φpxqx ρ n py ´ δ ´ xqdx “ ż _y´δ

ď ż _δ

φpy ´ δ ´ zqx ρ n pzqdz ` m ż _y´δ

1 _|z|ąδ x ρ n pzqdz.

La croissance de f donne cette fois φpy ´ δ ´ zq ď e ^´cpy´2δq f pyq ´ `, lorsque |z| ď δ, et l’on conclut comme ci-dessus de l’in´ egalit´ e (1.1) que lim inf φ ě 0, du fait que les x ρ _n forment

n ^´z

1 ´ p ^´z ˘ ´1

` 1 ´ p ^´z ˘ _´1

pPP et les sommes issues du d´ eveloppement de chaque facteur ` 1 ´ p ^´z ˘ ´1

, comme |p ^´z | “ p ^´Repzq ă 1. Notons que puisque

pz ´ 1q ^´1 “ ş ₈

0 x ^´z dx, la formule

ż _n`1

` n ^´z ´ x ^´z ˘ dx

ˇ n ^´z ´ x ^´z ˇ ˇ ď

, sur l’intervalle rn, n ` 1s . Les fonctions ζ et ζ ¹ sont en particulier bien d´ efinies et continues sur l’ouvert relatif Re pzq ě 1 (

zt1u du ferm´ e Re pzq ě 1 ( . Lemme 2 . ^Pour ^Re pzq ą 1, on a

´ ζ ¹ pzq ζ pzq “ z

ż ₈

e ^´zx f pxqdx

pour une fonction f : R _` Ñ R _` croissante.

´ ζ ¹ pzq ζpzq “ ÿ

lnppq p ^´z 1 ´ p ^´z “ ÿ

p ^´nz

Dans le mˆ eme temps, pour p P P fix´ e, ż ₈

e ^´zx