Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme 10.1 du polycopi´e)

QUELQUES PREUVES MANQUANTES

KATHRYN HESS BELLWALD

1. Multiplicit´e de valeurs propres et matrices

Le r´esultat suivant a jou´e un rˆole tr`es important lors de notre ´etude du polynˆome caract´eristique et du polynˆome minimal, mais nous n’avons malheureusement pas eu le temps d’en voir la preuve. La voici, pour compl´eter le chapitre 10 du polycopi´e.

Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme 10.1 du polycopi´e). Soit V un F-espace vectoriel de di- mension n, o`u 0 < n <∞, et soit T ∈ L(V). Si B est une base de V telle que [T]_B,B soit triangulaire sup´erieure, alors

dim ker(T−λIdV)ⁿ= #

i| [T]_B,B

ii=λ pour toutλ∈F.

Preuve. Cette preuve se fait par r´ecurrence sur la dimension deV.

Si dimV = 1, alors il existeα∈F tel queT(~v) =α~v pour tout ~v ∈V. Ainsi, pour toute baseBdeV,

[T]_B,B= [α], d’o`u:

#

i| [T]_B,B

ii=λ =

(1 :λ=α

0 :λ6=α = dim ker(T−λId_V).

Supposons maintenant que le Th´eor`eme soit vrai pour toutF-espace vectoriel de dimension au plus n−1, o`u n≥2. Soit V unF-espace vectoriel de dimension n, soitT∈L(V), et soitBune base deV telle que [T]_B,Bsoit triangulaire sup´erieure.

Ecrire B = (~v1, ..., ~vn), et poser U = span(~v1, ..., ~vn−1). Puisque [T]_B,B est triangulaire sup´erieure, le sous-espaceU est invariant sous T. La dimension deU

´

etantn−1, l’hypoth`ese de r´ecurrence implique que dim ker(T|U −λId_U)ⁿ⁻¹= #

i|1≤i≤n−1 et [T]_B,B

ii =λ pour toutλ∈F.

Observer que si (T−λIdV)ⁿ(~vn+~u)6=~0 pour tout~u∈U, alors

dim ker(T−λIdV)ⁿ= dim ker(T|U−λIdU)ⁿ= dim ker(T|U−λIdU)ⁿ⁻¹. Par contre, s’il existe~u∈U tel que (T−λIdV)ⁿ(~vn+~u) =~0, alors

dim ker(T−λIdV)ⁿ= 1 + dim ker(T|U−λIdU)ⁿ= 1 + dim ker(T|U−λIdU)ⁿ⁻¹. Nous faisons ici appel au fait que dim ker(T|U−λIdU)ⁿ= dim ker(T|U−λIdU)ⁿ⁻¹, puisque dimU =n−1.

Poserα= [T]_B,B

nn. Alors

T(~v_n) =αv_n+~u,

Date: le 20 juin 2010.

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o`u ~u∈U. Par cons´equent, pour toutλ∈F,

(T−λIdV)(~vn) = (α−λ)~vn+~u, et donc pour toutk≥1,

(T−λIdV)^k(~vn)−(α−λ)^k~vn ∈U.

Il y a maintenant deux cas `a consid´erer: α6=λetα=λ.

Casα6=λ: Siα6=λ, alors

(T −λId_V)^k(~v_n+~u⁰)6=~0

pour tout k ≥ 0 et tout ~u⁰ ∈ U, car (α−λ)^k~vn 6= ~0, et ~vn est lin´eairement ind´ependant de tout vecteur deU. Par cons´equent,

dim ker(T−λId_V)ⁿ= dim ker(T|U −λId_U)ⁿ⁻¹

= #

i|1≤i≤n−1 et [T]_B,B

ii=λ

= #

i| [T]_B,B

ii =λ . Casα=λ: Siα=λ, alors (T−λIdV)(~vn)∈U et donc

(T −λId_V)ⁿ(~v_n) = (T|U −λId_U)ⁿ⁻¹(T−λId_V)(~v_n)∈Im(T|U−λId_U)ⁿ⁻¹. Or, puisque dimU =n−1,

Im(T|_U −λId_U)ⁿ⁻¹= Im(T|_U−λId_U)ⁿ, ce qui implique qu’il existe~u⁰∈U tel que

(T−λIdV)ⁿ(~vn) = (T|U−λIdU)ⁿ(~u⁰) = (T−λIdV)ⁿ(~u⁰), i.e.,

~

v−~u⁰∈ker(T−λIdV)ⁿ. Par cons´equent,

dim ker(T−λId_V)ⁿ= 1 + dim ker(T|_U−λId_U)ⁿ⁻¹

= 1 + #

i|1≤i≤n−1 et [T]_B,B

ii=λ

= #

i| [T]_B,B

ii =λ .

2. Le d´eterminant d’un op´erateur complexe

Notre but ici est de d´emontrer les deux r´esultats suivants, dont nous avons manqu´e de temps pour voir les preuves au dernier cours.

Th´eor`eme 2. Soit V un C-espace vectoriel de dimension n, o`u 0 < n < ∞. Si T ∈L(V), alors

detT = det[T]_B,B pour toute baseB deV.

Th´eor`eme 3. Quelques soientA, B∈Mat(n, n;C), det(AB) = det(BA).

Remarque 4. L’organisation de ces preuves n’est pas identique `a celle esquiss´ee au dernier cours. Entre temps je me suis rendu compte qu’il y avait une meilleure fa¸con de le faire...

QUELQUES PREUVES MANQUANTES 3

2.1. Quelques rappels. On commence par rappeler les ´el´ements cl´e de la mati`ere vue au dernier cours.

D´efinition 5. SoitV unC-espace vectoriel de dimension n, o`u 0< n <∞. Soit T ∈L(V). Led´eterminant deT est

detT = (−1)ⁿcT(0), o`u c_T(x) est le polynˆome caract´eristique deT.

Remarque 6. La d´efinition du polynˆome caract´eristique implique que detT =λ^m₁¹· · ·λ^m_k^k,

o`u SpecT ={λ<sub>1</sub>, ..., λ<sub>k</sub>}(o`ui6=j⇒λ_i6=λ_j), etm_i= dim ker(T−λ_iId_V)ⁿ est la multiplicit´e deλ_i, pour touti.

Proposition 7. SoitV un C-espace vectoriel de dimension n, o`u0 < n <∞, et soitT ∈L(V). SiBest une base deV telle que[T]_B,Bsoit triangulaire sup´erieure, alorsdetT = det[T]_B,B.

Th´eor`eme 8. Soit V un C-espace vectoriel de dimension n, o`u 0 < n < ∞.

Quelques soientS, T ∈L(V),

det(S◦T) = det(T ◦S).

La d´efinition du d´eterminant d’une matrice, en termes de permutations, se trouve dans la section 6.4 du polycopi´e.

2.2. Les preuves manquantes. Nous avons d’abord besoin d’un petit r´esultat technique concernant le d´eterminant d’une matrice.

Lemme 9. SoitA∈Mat(n, n;C). SiE∈Mat(n, n;C)est une matrice ´el´ementaire, alorsdet(E⁻¹AE) = detA.

Preuve. Ce lemme est une cons´equence facile des parties (7), (8) et (9) de la Propo-

sition 6.8 du polycopi´e.

Corollaire 10. Soit A ∈ Mat(n, n;C). Si P ∈ Mat(n, n;C) est une matrice in- versible, alorsdet(P⁻¹AP) = detA.

Preuve. Par la Proposition 6.5 du polycopi´e, toute matrice inversible est ´egale `a un produit de matrices ´el´ementaires. Ainsi, pour d´emontrer ce corollaire, il suffit de faire un argument par r´ecurrence bas´e sur le Lemme 9.

Nous pouvons maintenant d´emontrer le Th´eor`eme 2.

Preuve du Th´eor`eme 2. SoitBune base quelconque deV, et soitB<sup>0</sup> une base par rapport `a laquelle [T]_B⁰,B⁰ soit triangulaire sup´erieure. (Une telle base B⁰ existe toujours puisqueT est un op´erateur complexe.)

SoitP= [Id_V]_B⁰_,Bla matrice de passage de la baseB`a la baseB⁰. Alors det[T]_B,B= det P⁻¹[T]_B⁰,B⁰P⁽¹⁾

= det[T]_B⁰,B⁰

(2)= detT,

o`u l’´egalit´e (1) suit du Corollaire 10, et l’´egalit´e (2) suit de la Proposition 7.

La preuve du Th´eor`eme 3 d´ecoule aussi du Corollaire 10, par l’interm´ediaire de l’application lin´eaire naturellement associ´ee `a une matrice.

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Rappel 11. Si A ∈ Mat(n, n;C), alors TA ∈ L(Cⁿ) est l’op´erateur lin´eaire d´efini par TA(~v) = A~v pour tout~v ∈ Cⁿ. Il est ´evident que TAB = TA◦TB, quelques soient A, B ∈ Mat(n, n;C). Par ailleurs, si B est la base standard de Cⁿ, alors [T_A]_B,B=A.

Proposition 12. Si A∈Mat(n, n;C), alors detA= detT_A.

Preuve. Puisque A est une matrice complexe, il existe une matrice inversible P telle queP⁻¹AP soit triangulaire sup´erieure. Ainsi

detA⁽¹⁾= det(P⁻¹AP)⁽²⁾= detT_P−1AP

(3)= det(T_P−1◦TA◦TP)⁽¹⁾= detTA, o`u l’´egalit´e (1) est une cons´equence du Corollaire 10, l’´egalit´e (2) suit de le Propo- sition 7 et du Rappel 11, l’´egalit´e (3) suit du Rappel 11 et l’´egalit´e (4) suit du

Th´eor`eme 8.

Nous sommes enfin prˆets `a d´emontrer le Th´eor`eme 3.

Preuve du Th´eor`eme 3. La suite d’´egalit´es suivante permet de conclure:

det(AB)⁽¹⁾= detTAB

(2)= det(TA◦TB)⁽³⁾= det(TB◦TA)⁽²⁾= detTBA

(1)= detBA, o`u les ´egalit´es (1) suivent de la Proposition 12, les ´egalit´es (2) suivent du Rappel

11, et l’egalit´e (3) suit du Th´eor`eme 8.