• Aucun résultat trouvé

Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme 10.1 du polycopi´e)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme 10.1 du polycopi´e)"

Copied!
4
0
0

Texte intégral

(1)

QUELQUES PREUVES MANQUANTES

KATHRYN HESS BELLWALD

1. Multiplicit´e de valeurs propres et matrices

Le r´esultat suivant a jou´e un rˆole tr`es important lors de notre ´etude du polynˆome caract´eristique et du polynˆome minimal, mais nous n’avons malheureusement pas eu le temps d’en voir la preuve. La voici, pour compl´eter le chapitre 10 du polycopi´e.

Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme 10.1 du polycopi´e). Soit V un F-espace vectoriel de di- mension n, o`u 0 < n <∞, et soit T ∈ L(V). Si B est une base de V telle que [T]B,B soit triangulaire sup´erieure, alors

dim ker(T−λIdV)n= #

i| [T]B,B

ii=λ pour toutλ∈F.

Preuve. Cette preuve se fait par r´ecurrence sur la dimension deV.

Si dimV = 1, alors il existeα∈F tel queT(~v) =α~v pour tout ~v ∈V. Ainsi, pour toute baseBdeV,

[T]B,B= [α], d’o`u:

#

i| [T]B,B

ii=λ =

(1 :λ=α

0 :λ6=α = dim ker(T−λIdV).

Supposons maintenant que le Th´eor`eme soit vrai pour toutF-espace vectoriel de dimension au plus n−1, o`u n≥2. Soit V unF-espace vectoriel de dimension n, soitT∈L(V), et soitBune base deV telle que [T]B,Bsoit triangulaire sup´erieure.

Ecrire B = (~v1, ..., ~vn), et poser U = span(~v1, ..., ~vn−1). Puisque [T]B,B est triangulaire sup´erieure, le sous-espaceU est invariant sous T. La dimension deU

´

etantn−1, l’hypoth`ese de r´ecurrence implique que dim ker(T|U −λIdU)n−1= #

i|1≤i≤n−1 et [T]B,B

ii =λ pour toutλ∈F.

Observer que si (T−λIdV)n(~vn+~u)6=~0 pour tout~u∈U, alors

dim ker(T−λIdV)n= dim ker(T|U−λIdU)n= dim ker(T|U−λIdU)n−1. Par contre, s’il existe~u∈U tel que (T−λIdV)n(~vn+~u) =~0, alors

dim ker(T−λIdV)n= 1 + dim ker(T|U−λIdU)n= 1 + dim ker(T|U−λIdU)n−1. Nous faisons ici appel au fait que dim ker(T|U−λIdU)n= dim ker(T|U−λIdU)n−1, puisque dimU =n−1.

Poserα= [T]B,B

nn. Alors

T(~vn) =αvn+~u,

Date: le 20 juin 2010.

1

(2)

2 KATHRYN HESS BELLWALD

o`u ~u∈U. Par cons´equent, pour toutλ∈F,

(T−λIdV)(~vn) = (α−λ)~vn+~u, et donc pour toutk≥1,

(T−λIdV)k(~vn)−(α−λ)k~vn ∈U.

Il y a maintenant deux cas `a consid´erer: α6=λetα=λ.

Casα6=λ: Siα6=λ, alors

(T −λIdV)k(~vn+~u0)6=~0

pour tout k ≥ 0 et tout ~u0 ∈ U, car (α−λ)k~vn 6= ~0, et ~vn est lin´eairement ind´ependant de tout vecteur deU. Par cons´equent,

dim ker(T−λIdV)n= dim ker(T|U −λIdU)n−1

= #

i|1≤i≤n−1 et [T]B,B

ii

= #

i| [T]B,B

ii =λ . Casα=λ: Siα=λ, alors (T−λIdV)(~vn)∈U et donc

(T −λIdV)n(~vn) = (T|U −λIdU)n−1(T−λIdV)(~vn)∈Im(T|U−λIdU)n−1. Or, puisque dimU =n−1,

Im(T|U −λIdU)n−1= Im(T|U−λIdU)n, ce qui implique qu’il existe~u0∈U tel que

(T−λIdV)n(~vn) = (T|U−λIdU)n(~u0) = (T−λIdV)n(~u0), i.e.,

~

v−~u0∈ker(T−λIdV)n. Par cons´equent,

dim ker(T−λIdV)n= 1 + dim ker(T|U−λIdU)n−1

= 1 + #

i|1≤i≤n−1 et [T]B,B

ii

= #

i| [T]B,B

ii =λ .

2. Le d´eterminant d’un op´erateur complexe

Notre but ici est de d´emontrer les deux r´esultats suivants, dont nous avons manqu´e de temps pour voir les preuves au dernier cours.

Th´eor`eme 2. Soit V un C-espace vectoriel de dimension n, o`u 0 < n < ∞. Si T ∈L(V), alors

detT = det[T]B,B pour toute baseB deV.

Th´eor`eme 3. Quelques soientA, B∈Mat(n, n;C), det(AB) = det(BA).

Remarque 4. L’organisation de ces preuves n’est pas identique `a celle esquiss´ee au dernier cours. Entre temps je me suis rendu compte qu’il y avait une meilleure fa¸con de le faire...

(3)

QUELQUES PREUVES MANQUANTES 3

2.1. Quelques rappels. On commence par rappeler les ´el´ements cl´e de la mati`ere vue au dernier cours.

D´efinition 5. SoitV unC-espace vectoriel de dimension n, o`u 0< n <∞. Soit T ∈L(V). Led´eterminant deT est

detT = (−1)ncT(0), o`u cT(x) est le polynˆome caract´eristique deT.

Remarque 6. La d´efinition du polynˆome caract´eristique implique que detT =λm11· · ·λmkk,

o`u SpecT ={λ1, ..., λk}(o`ui6=j⇒λi6=λj), etmi= dim ker(T−λiIdV)n est la multiplicit´e deλi, pour touti.

Proposition 7. SoitV un C-espace vectoriel de dimension n, o`u0 < n <∞, et soitT ∈L(V). SiBest une base deV telle que[T]B,Bsoit triangulaire sup´erieure, alorsdetT = det[T]B,B.

Th´eor`eme 8. Soit V un C-espace vectoriel de dimension n, o`u 0 < n < ∞.

Quelques soientS, T ∈L(V),

det(S◦T) = det(T ◦S).

La d´efinition du d´eterminant d’une matrice, en termes de permutations, se trouve dans la section 6.4 du polycopi´e.

2.2. Les preuves manquantes. Nous avons d’abord besoin d’un petit r´esultat technique concernant le d´eterminant d’une matrice.

Lemme 9. SoitA∈Mat(n, n;C). SiE∈Mat(n, n;C)est une matrice ´el´ementaire, alorsdet(E−1AE) = detA.

Preuve. Ce lemme est une cons´equence facile des parties (7), (8) et (9) de la Propo-

sition 6.8 du polycopi´e.

Corollaire 10. Soit A ∈ Mat(n, n;C). Si P ∈ Mat(n, n;C) est une matrice in- versible, alorsdet(P−1AP) = detA.

Preuve. Par la Proposition 6.5 du polycopi´e, toute matrice inversible est ´egale `a un produit de matrices ´el´ementaires. Ainsi, pour d´emontrer ce corollaire, il suffit de faire un argument par r´ecurrence bas´e sur le Lemme 9.

Nous pouvons maintenant d´emontrer le Th´eor`eme 2.

Preuve du Th´eor`eme 2. SoitBune base quelconque deV, et soitB0 une base par rapport `a laquelle [T]B0,B0 soit triangulaire sup´erieure. (Une telle base B0 existe toujours puisqueT est un op´erateur complexe.)

SoitP= [IdV]B0,Bla matrice de passage de la baseB`a la baseB0. Alors det[T]B,B= det P−1[T]B0,B0P(1)

= det[T]B0,B0

(2)= detT,

o`u l’´egalit´e (1) suit du Corollaire 10, et l’´egalit´e (2) suit de la Proposition 7.

La preuve du Th´eor`eme 3 d´ecoule aussi du Corollaire 10, par l’interm´ediaire de l’application lin´eaire naturellement associ´ee `a une matrice.

(4)

4 KATHRYN HESS BELLWALD

Rappel 11. Si A ∈ Mat(n, n;C), alors TA ∈ L(Cn) est l’op´erateur lin´eaire d´efini par TA(~v) = A~v pour tout~v ∈ Cn. Il est ´evident que TAB = TA◦TB, quelques soient A, B ∈ Mat(n, n;C). Par ailleurs, si B est la base standard de Cn, alors [TA]B,B=A.

Proposition 12. Si A∈Mat(n, n;C), alors detA= detTA.

Preuve. Puisque A est une matrice complexe, il existe une matrice inversible P telle queP−1AP soit triangulaire sup´erieure. Ainsi

detA(1)= det(P−1AP)(2)= detTP−1AP

(3)= det(TP−1◦TA◦TP)(1)= detTA, o`u l’´egalit´e (1) est une cons´equence du Corollaire 10, l’´egalit´e (2) suit de le Propo- sition 7 et du Rappel 11, l’´egalit´e (3) suit du Rappel 11 et l’´egalit´e (4) suit du

Th´eor`eme 8.

Nous sommes enfin prˆets `a d´emontrer le Th´eor`eme 3.

Preuve du Th´eor`eme 3. La suite d’´egalit´es suivante permet de conclure:

det(AB)(1)= detTAB

(2)= det(TA◦TB)(3)= det(TB◦TA)(2)= detTBA

(1)= detBA, o`u les ´egalit´es (1) suivent de la Proposition 12, les ´egalit´es (2) suivent du Rappel

11, et l’egalit´e (3) suit du Th´eor`eme 8.

Références

Documents relatifs

Si M est un num´ eraire, on peut ´ evaluer la valeur V t d’une strat´ egie en terme de ce num´ eraire, soit V t /M

On consid`ere un triangle quelconque ABC et deux points M et N situ´es respectivement sur les cˆ ot´es [AB] et [AC] tels que (M N)//(BC).. Prouver que le rapport des aires des

La diff´ erence entre le th´ eor` eme et sa r´ eciproque tient aux conclusions et aux hypoth` eses : Pour montrer que deux droites sont parall` eles, on utilise le th´ eor` eme de

Th`emes d’analyse pour l’agr´egation, St´ephane GONNORD &amp; Nicolas TOSEL, page

Une m´ ethode classique pour obtenir des r´ esultats sur une int´ egrale d´ ependant d’un param` etre est de sortir, par tous les moyens possibles, le param` etre de

C’est une consid´ eration qui d´ epend encore de la base, c’est ` a dire de la matrice de changement de base P , mais on peut la ramener ` a une consid´ eration ind´ ependante de

Comme f est continue sur [0, 1] (compact) elle est born´ee et atteint

[r]