Un th´eor`eme de dynamique holomorphe d´emontr´e ` a l’aide du th´eor`eme de Montel
Malot Philippe, Universit´ e d’Avignon 25 Avril 2002
Mots-cl´es: Famille normale, point fixe.
Th´eor`eme.
SoitU un ouvert deC,f :U →U une fonction holomorphe, et z0∈U un point fixe de f tel que|f0(z0)|<1. Alors :
1) Il existe r > 0 tel que (f[n])converge uniform´ement sur D(z0, r) ⊂U vers z0.
2) SiU est connexe et born´e, alors (f[n])converge uniform´ement sur tout com- pact de U versz0. En particulier,f n’admet pas d’autre point fixe.
Remarque. La notationf[n] d´esigne la n-i`eme it´er´ee def.
Preuve.
1) Soit α un r´eel tel que |f0(z0)| < α < 1 et r > 0 tel que l’on ait `a la fois D(z0, r) ⊂ U et z ∈ D(z0, r)− {z0} ⇒ |f(z)−f(zz−z 0)
0 | < α. On a alors pour tout z ∈ D(z0, r),|f(z)−z0| = |f(z)−f(z0)| < α|z−z0| < αr donc f(D(z0, r))⊂D(z0, r) puis par une r´ecurrence imm´ediate,|f[n](z)−z0|< αnr pour toutzdeD(z0, r), d’o`u la convergence uniforme.
2) U ´etant born´e, la suite (f[n]) forme donc une famille normale d’apr`es le th´eor`eme de Montel. Il existe donc une sous-suite de (f[n]) qui converge dans H(U) vers une fonction g. Mais d’apr`es 1), g =z0 sur un D(z0, r)⊂U donc g = z0 partout sur U par connexit´e. Si maintenant on prend une autre sous- suite de (f[n]) qui converge dansH(U), elle va encore converger versgpour les mˆemes raisons que ci-dessus, d’o`u la convergence dansH(U) de (f[n]) versg.
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