1 Enonc´ ´ e du th´ eor` eme

D´eveloppement : M´ethode de Laplace

L´ eo Daures

Le¸cons 229, 236, 239, 253, 265

R´ef´erence : Zuily-Qu´effelec, Analyse pour l’agr´egation.

1 Enonc´ ´ e du th´ eor` eme

L’objectif de ce d´eveloppement est de montrer la proposition suivante :

Proposition 1. SoitI un intervalle deR,ϕ∈ C²(I), etg∈ C(I). On suppose de plus que :

• t7→e^−xϕ(t)g(t) est int´egrable pour toutx∈[a,+∞[.

• ϕ⁰ s’annule en exactement un pointt0, en lequel ϕ⁰⁰(t0)>0(c’est donc le minimum global de ϕ).

• g(t0)6= 0 Alors,

Z

I

e^−xϕ(t)g(t)dt ∼

x→∞

√A

xe^−xϕ(t0) avec A=g(t₀) s 2π

ϕ⁰⁰(t₀)

Ce r´esultat vient essentiellement de la croissance de l’exponentielle, puisque c’est le facteur e^−ϕ(t)x qui d´ecide o`u placer le poids dans l’int´egrale : l`a o`u e<sup>−ϕ(t)x</sup> est tr`es grand e^−ϕ(t)xg(t) le sera aussi, et l`a o`u e^−ϕ(t)xest tr`es petit,e<sup>−ϕ(t)x</sup>g(t) l’est aussi, peu importe la valeur degtant qu’elle est non nulle. Moralement, l’exponentielle vient donc accrocher le minimum deϕent0 et y placer tout le poids au fur et `a mesure que xgrandit. Siϕ(t0)>0, c’est ent0quee^−ϕ(t0)d´ecroˆıt le moins vite, et siϕ(t0)<0, c’est ent0quee^−ϕ(t)x croˆıt le plus vite ! Pas ´etonnant d`es lors que l’int´egrale ressemble asymptotiquement `a son int´egrande prise ent0 ...

On remarquera qu’en effectuant le changement de variable xu = t dans Γ(x+ 1) = R∞

0 e^−tt^xdt et en prenantϕ(u) =u−ln(u) etg= 1 on d´eduit simplement de ce r´esultat la :

Proposition 2(formule de Stirling).

n! ∼

x→∞

n e

ⁿ√ 2nπ

2 D´ emonstration

Montrons l’´equivalent annonc´e

D´emonstration. Une m´ethode classique pour obtenir des r´esultats sur une int´egrale d´ependant d’un param`etre est de sortir, par tous les moyens possibles, le param`etre de l’int´egrande. Attelons nous donc `a cette tˆache : commencons par ´ecrireϕ`a l’aide d’une formule de Taylor:

ϕ(t) =ϕ(t₀) + 0 + (t−t₀)²ψ(t)

avecψ(t) = Z 1

0

(1−u)ϕ⁰⁰(ut+ (1−u)t0)du

1

On obtient donc

Z

I

e^−xϕ(t)g(t)dt=e^−xϕ(t0) Z

I

e^{−x(t−t0)2ψ(t)}g(t)dt

Par cette op´eration tr`es simple, on n’a effectu´e qu’un petit pas dans la d´emonstration, mais on a d´ej`a isol´e le facteur pr´epond´erant de l’´equivalent : e^−xϕ(t0).

Il faut encore s’occuper de l’int´egrale restante. A la vue du facteur` e<sup>−x(t−t0)2ψ(t)</sup>, on est pris d’une irr´esistible envie de se ramener `a une int´egrale de Gauss. Il faudrait donc effectuer le changement de variable u= (t−t0)p

ψ(t). Seul probl`eme : on ne sait pas s’il s’agit vraiment d’un changement de variable, c’est-`a-dire siρ:t7→(t−t0)p

ψ(t) est unC¹-diff´eomorphisme, ni mˆeme s’il est d´efnini !

• Montrons qu’on peut d´efinirρ. En effet, on observe queψ(t₀) = ¹₂ϕ⁰⁰(t₀)>0. Donc dans un intervalle J = [t₀−δ, t₀+δ]⊂I, on est certains queψ≥0, ce qui permet de d´efinir ρsurJ.

• Montrons maintenant que ρest bienC¹. En ´ecrivantψ(t) = ^ϕ(t)−ϕ(t_(t−t ⁰⁾

0)² , on voit queψest au moins C¹ surJ\{t₀}. DoncρestC¹surJ\{t₀}. En fait, elle est mˆemeC¹surJ tout entier. En effet, surJ\{t₀}, on a d’une partρ⁰(t) = ¹

2√

ψ(t)((t−t₀)ψ⁰(t)−2ψ(t)), et d’autre part, en d´erivant le d´eveloppement de Taylor deϕ,ϕ⁰(t) = (t−t0)²ψ⁰(t)+2(t−t0)ψ(t), d’o`u, surJ\{t0},ρ⁰(t) = ^ϕ0(t)

2(t−t0)√

ψ(t) −−−→

t→t₀

q1 2ϕ⁰⁰(t0), et on peut donc prolonger continuement ρ⁰ sur toutJ.

• Enfin, pour en faire un changement de variable, on veut queρsoit une bijection. ρ⁰(t0) = q1

2ϕ⁰⁰(t0)>0, donc sur un intervalleJ⁰ = [t₀−δ⁰, t₀+δ⁰]⊂J, on aρ⁰(t)>0 etρstrictement croissante donc injective.

On dispose maintenant du changement de variable d´esir´e sur l’intervalleJ⁰. Le reste de l’intervalle d’int´egration ne nous int´eresse pas, d´ebarassons nous-en avec une fonction plateauθ qui vaut 1 sur [t0−^δ₂⁰, t0+^δ₂⁰] et 0 en dehors deJ⁰. Elle permet d’´ecrire :

Z

I

e^−xϕ(t)g(t)dt=e^−xϕ(t0) Z

J⁰

θ(t)e^{−x(t−t0)2ψ(t)}g(t)dt

| {z }

=:F1(x)

+ Z

I

(1−θ(t))e^−xϕ(t)g(t)dt

| {z }

=:F2(x)

Nous nous occuperons deF₂ en temps voulu. Pour l’instant, observonsF₁ et profitons de pouvoir enfin effectuer le changement de variable auquel on pr´eparait le terrain depuis si longtemps ! Avecu=ρ(t), on a maintenant :

F1(x) = Z

J⁰

θ(t)e^{−x(t−t0)2ψ(t)}g(t)dt= Z

ρ(J⁰)

e^−xu2h(u)du

avech(u) =g(ρ⁻¹(u))θ(ρ⁻¹(u))(ρ⁻¹)⁰(u). Un deuxi`eme changement de variablev=xudonne une expression encore plus proche d’une int´egrale de Gauss :

F₁(x) = 1

√x Z

xρ(J⁰)

e^−v2h( v

√x)dv

Il n’y a plus qu’`a appliquer un th´eor`eme de convergence domin´ee pour conclure sur le sort deF1. h´etant continue `a support compact (carθ est `a support compact), elle admet un maximum, permettant de fournir la majoration int´egrable|1_xρ(J⁰₎(v)e^−v2h(^√v_x)| ≤ ||h||∞×e^−v2, d’o`u

Z

xρ(J⁰)

e^−v2h( v

√x)dv−−−−→

x→∞ h(0) Z

R

e^−v2dv=√ πh(0)

L’observation approfondie de l’expression deh(u), ´epaul´ee par la formule de la d´eriv´ee de l’inverse (ρ⁻¹)⁰= 1/ρ⁰◦ρ⁻¹permet de voir queh(0) =g(t0)q ₂

ϕ⁰⁰(t₀), et de s’assurer par l`a queh(0)6= 0 par hypoth`ese. On a donc un ´equivalent deF₁:

F1(x) ∼

x→∞g(t0) s 2π

xϕ⁰⁰(t₀)

2

Il ne reste plus qu’`a voir queF2 est n´egligeable devante^−xϕ(t0)F1(x). Ainsi on aura R

e^−xϕ(t)g(t)dt∼ e^−xϕ(t0)F1(x), ce qui prouvera l’´equivalent du th´eor`eme.

PourquoiF₂est elle n´egligeable ? Commen¸cons par observerϕ: l’hypoth`ese de stricte positivit´e deϕ<sup>00</sup>(t<sub>0</sub>) et l’impossibilit´e pour ϕ<sup>0</sup> de s’annuler autre part qu’en t<sub>0</sub> impliquent que ϕ est strictement d´ecroissante avant t<sub>0</sub> et strictement croissante apr`es t₀. On peut donc trouver une constante m > ϕ(t₀) telle que

∀t ∈ I\[t0− ^δ₂⁰, t0 + ^δ₂⁰], ϕ(t) ≥ m > ϕ(t0). Un dessin vaut mille mots, et toutes ces explications se comprennent mieux en observant un petit graphe.

m ϕ(t)

t0 t0+^δ₂⁰ t0−^δ₂⁰

On voit que δ⁰ avait ´et´e pr´ecis´ement d´efini tel que c’est exclusivement sur [t₀− ^δ₂⁰, t₀+^δ₂⁰] que ϕ est proche de son minimum ! Alors,

|F2(x)| ≤ Z

I\[t0−^δ₂⁰,t0+^δ₂⁰]

(1−θ(t))e^−xϕ(t)|g(t)|dt

≤e^−xm Z

I\[t0−^δ₂⁰,t₀+^δ₂⁰]

|g(t)|dt

=Ce^−xm =

x→∞oe^−xϕ(t0)

√x

Cela montre donc finalement queF1(x)e^−xϕ(t0)est asymptotiquement le seul terme qui compte, et que Z

I

e^−xϕ(t)g(t)dt ∼

x→∞F₁(x)e^−xϕ(t0) ∼

x→∞g(t₀) s 2π

xϕ⁰⁰(t0)e^−xϕ(t0)

3