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TD5. Suites de fonctions holomorphes, int´ egrales ` a param` etre.

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Academic year: 2022

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Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de Math´ematiques L3 LM367 – Analyse complexe 1

TD5. Suites de fonctions holomorphes, int´ egrales ` a param` etre.

Exercice 1.

(a) Soit Log la d´etermination principale du logarithme. Montrer qu’il existe une fonction g holomorphe sur le disque D(0,1) telle que

∀z∈D(0,1), Log(1 +z) =z+z2g(z).

(b) En d´eduire que la suite de fonctionsfn d´efinie par fn(z) =

1 + z n

n

converge uniform´ement sur tout compact deCvers l’exponentielle.

Exercice 2. Soitf une fonction holomorphe sur le disque unit´eD(0,1) telle quef(0) = 0.

(a) Montrer que la s´erie X

n≥1

f(zn) converge uniform´ement sur tout compact de D(0,1) vers une fonction holomorphe g.

(b) Calculer le d´eveloppement en s´erie enti`ere deg, en 0, en fonction de celui def.

Exercice 3. Soitf une fonction continue `a support compact sur R. On s’int´eresse `a sa transform´ee de Fourier ˆf, d´efinie pourz∈C, par

fˆ(z) = 1

√2π Z +∞

−∞

f(x)eixzdx.

Montrer que ˆf est une fonction enti`ere.

Exercice 4. Soit Ω un ouvert deC. On s’int´eresse `a l’espace de Hardy H(Ω) =

f ∈ O(Ω)/ Z

|f|2<+∞

,

muni de la normeL2 :kfkL2(Ω)= Z

|f|2 12

.

(a) SoitK un compact dans Ω. Montrer qu’il existe une constantecK telle que

∀f ∈ H(Ω), sup

K

|f| ≤cKkfkL2(Ω). (b) Montrer que (H(Ω),k.kL2(Ω)) est complet.

1

(2)

2

Exercice 5. On s’int´eresse `a la fonction zeta de Riemann : ζ(z) =

X

n=1

1 nz.

(a) Montrer queζest bien d´efinie et holomorphe sur{z∈C/Re(z)>1}.

(b) NotonsE(t) la partie enti`ere d’un r´eelt. Montrer que l’int´egrale `a param`etre G(z) =

Z +∞

1

t−E(t) tz+1 dt

d´efinit une fonction holomorphe sur{z∈C/Re(z)>0}.

(c) Pourn∈N et Re(z)>0, on poseIn(z) = Z n+1

n

dt

tz. Montrer que Z n+1

n

t−E(t)

tz+1 dt=In(z)−nIn(z+ 1).

(d) Montrer que si Re(z)>1, on a ζ(z) = 1

z−1 + 1−zG(z).

(e) En d´eduire queζse prolonge en une fonction holomorphe sur{z∈C\{1}/Re(z)>0}.

Exercice 6. On s’int´eresse `a la fonction Gamma d’Euler : Γ(z) =

Z +∞

0

tz−1e−tdt.

(a) Montrer que Γ est bien d´efinie et holomorphe sur{z∈C/Re(z)>0}.

(b) Montrer que si Re(z) >0, Γ(z+ 1) = zΓ(z). En d´eduire que Γ se prolonge en une fonction holomorphe sur {z∈C/Re(z)>−1 etz6= 0}.

(c) En d´eduire par r´ecurrence que Γ se prolonge en une fonction holomorphe sur l’ouvert C\(−N).

Exercice 7. Soient Ω un ouvert connexe deCet f une fonction holomorphe sur Ω telle que f(Ω) est un compact inclus dans Ω. On veut montrer que la suite des it´er´ees de f converge vers une fonction constante.

(a) V´erifier que, pour toutn∈N,fn:=f◦ · · · ◦f

| {z }

nfois

est bien d´efinie et holomorphe sur Ω.

(b) Montrer que L:= \

n∈N

fn(Ω) est compact.

(c) Montrer qu’il existe une sous-suite (fnk) de (fn) qui converge uniform´ement sur tout compact de Ω vers une fonction g∈ O(Ω).

(d) Montrer qu’alorsg(Ω) =L.

(e) En d´eduire queL={a} pour un certaina∈C.

(f) En d´eduire que la suite (fn) converge uniform´ement sur tout compact vers la fonction constante `a a.

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