Le th´eor`eme classique de Weierstrass

Pr´epa. Agr´eg ´ecrit d’Analyse, mars 2002.

Weierstrass et Stone-Weierstrass

Le th´eor`eme classique de Weierstrass

Pour d´emontrer une version du th´eor`eme de Weierstrass sur R

, consid´erons la fonc- tion r´eelle g d´efinie sur R

par

∀x ∈ R

, g(x) =

³ 4 −

X

i=1

x

´

o` u la notation u

signifie max(u, 0). Cette fonction g est r´eelle ≥ 0, continue `a sup- port compact et atteint un unique maximum au point 0. Par ailleurs elle est polyno- miale dans la boule (euclidienne) de rayon 2. Ensuite, pour tout entier n ≥ 1, posons c

= ( R

R^d

g

(x) dx)

; la formule g

(x) = c

g

(x) permet de d´efinir une suite (g

) de fonctions int´egrables qui fournira une approximation de l’identit´e par convolution (on a vu l’analogue avec les “noyaux de Rudin” b

(1 + cos x)

pour les s´eries de Fourier).

Si f est une fonction continue sur R

, `a valeurs r´eelles ou complexes, `a support dans la boule unit´e, la suite (f ∗ g

) tend uniform´ement vers f par les th´eor`emes g´en´eraux d’approximation par convolution ; on va voir de plus que f ∗ g

est polynomiale dans cette boule unit´e. On a

(f ∗ g

)(x) = Z

R^d

g

(x − y)f (y) dy = Z

kyk≤1

g

(x − y)f (y) dy.

Si kxk ≤ 1, compte tenu du fait que l’int´egration est limit´ee aux y tels que kyk ≤ 1 (`a cause du support de f ), on aura kx − yk ≤ 2 pour tous les y du domaine d’int´egration, et on aura donc x − y dans la boule de rayon 2, dans laquelle

g

(x − y) = c

³ 4 −

X

i=1

(x

− y

)

´

= X

k∈M

x

P

(y),

o` u k = (k

, . . . , k

) parcourt la famille M des multi-indices tels que 0 ≤ k

+· · ·+k

≤ 2n, o` u on a pos´e x

= Q

i=1

x

, et o` u les P

sont des polynˆomes en y. On a donc pour tout x dans la boule unit´e

(f ∗ g

)(x) = X

k∈M

x

Z

kyk≤1

P

(y) f(y) dy qui est bien un polynˆome dans les coordonn´ees (x

).

On peut bien entendu remplacer la condition que le support de f soit dans la boule unit´e par n’importe quel support compact. On a ainsi obtenu une version du th´eor`eme classique de Weierstrass.

Th´ eor` eme (Weierstrass). Pour toute fonction continue f sur R

, `a support contenu dans un compact K de R

, il existe une suite de fonctions polynomiales qui tend vers f uniform´ement sur K.

Si la fonction f est r´eelle, on peut prendre des polynˆomes `a coefficients r´eels ; si f est complexe, on doit ´evidemment prendre des coefficients complexes. On peut ensuite s’affranchir de l’hypoth`ese que f soit d´efinie sur R

, `a support compact, et traiter les fonctions d´efinies et continues sur un compact K de R

; ce pas suppl´ementaire est inutile pour notre objectif, qui est le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.

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Weierstrass complexe

Sur C

, on pourra consid´erer les d coordonn´ees complexes z

= x

+iy

, j = 1, . . . , d.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede on peut approcher toute fonction complexe continue par des fonctions polynomiales `a coefficients complexes des variables x

, y

; de plus, comme x

=

(z

+ z

) et y

=

(z

− z

), on peut remplacer les polynˆomes `a coefficients complexes en x

, y

par des fonctions polynomiales `a coefficients complexes en z

, z

, j = 1, . . . , d, de la forme

∀z = (z

, . . . , z

) ∈ C

, g(z) = X

j,k,p,q

c

z

z

o` u la somme est finie et utilise des quadruplets (j, k, p, q) tels que 1 ≤ j, k ≤ d et p, q ≥ 0.

Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass

On peut trouver une d´emonstration standard de Stone-Weierstrass dans tous les bons ouvrages (par exemple Hirsch-Lacombe). La d´emonstration suivante est un peu moins habituelle : elle consiste `a utiliser des id´ees tr`es habituelles (du type partition de l’unit´e) pour ramener le th´eor`eme de Stone-Weierstrass au th´eor`eme classique de Weierstrass.

Lemme. Soient Λ un ensemble fini dans C et (Y

)

une famille de compacts de R

telle que Y

∩ Y

= ∅ lorsque |λ − µ| ≥ δ ; il existe une fonction complexe continue g sur R

, `a support compact et telle que |g − λ| ≤ 2δ sur Y

, pour tout λ ∈ Λ.

D´emonstration. Pour tout couple (λ, µ) ∈ Λ

tel que |λ − µ| ≥ δ on a par compacit´e, d’apr`es l’hypoth`ese du lemme,

dist(Y

, Y

) = min {d(y

, y

) : y

∈ Y

, y

∈ Y

} > 0.

Posons

α = min {dist(Y

, Y

) : λ, µ ∈ Λ, |λ − µ| ≥ δ} > 0.

Pour chaque λ ∈ Λ et tout y ∈ R

posons χ

(y) = ¡

α − d(y, Y

) ¢

. Cette fonction χ

est continue ≥ 0 sur R

, `a support compact, ´egale `a α > 0 sur Y

. Par ailleurs, si χ

(y) 6= 0, on a d(y, Y

) < α, ce qui implique que y ne peut appartenir qu’`a des Y

pour lesquels |λ − µ| < δ. Autrement dit,

(∗) ∀y ∈ Y

, |µ − λ| χ

(y) ≤ δ χ

(y).

Posons enfin pour un ε tel que 0 < ε < δ α ¡

max

|λ| ¢

∀y ∈ R

, g(y) = P

λ∈Λ

λ χ

(y) ε + P

λ∈Λ

χ

(y) .

Cette fonction g est continue sur R

, `a valeurs complexes et `a support compact. Si y ∈ Y

, on ´ecrit

g(y) − µ = −εµ + P

λ∈Λ

(λ − µ) χ

(y) ε + P

λ∈Λ

χ

(y) . En tenant compte de la remarque (∗) et de χ

(y) = α, on obtient

|g(y) − µ| ≤ δ P

λ∈Λ

χ

(y) ε + P

λ∈Λ

χ

(y) + εµ α ≤ 2δ.

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Th´ eor` eme (Stone-Weierstrass, cas complexe). On suppose que X est un espace topo- logique compact et A une famille de fonctions continues sur X qui s´epare les points de X. Pour toute fonction f complexe continue sur X et tout δ > 0, il existe un entier N, des fonctions ϕ

, . . . , ϕ

∈ A et une fonction P sur C

, polynomiale des variables z

, z

, j = 1, . . . , N tels que

∀x ∈ X, |f(x) − P(ϕ

(x), . . . , ϕ

(x))| < δ.

D´emonstration. Soit f une fonction complexe continue sur X ; on consid`ere le compact K = {(x

, x

) ∈ X × X : |f(x

) − f(x

)| ≥ δ/2}.

Pour chaque (x

, x

) ∈ K, on a x

6= x

, donc il existe une fonction ψ ∈ A telle que ψ(x

) 6= ψ(x

) ; on trouve alors un ouvert U

dans K contenant (x

, x

) et tel que ψ(u

) − ψ(u

) 6= 0 pour tout (u

, u

) ∈ U

. Par Borel-Lebesgue, on peut s´electionner une famille finie ϕ

, . . . , ϕ

dans A telle que si on pose ϕ(x) = (ϕ

(x), . . . , ϕ

(x)) ∈ C

, on ait que |f (x

) − f (x

)| ≥ δ/2 implique ϕ(x

) 6= ϕ(x

), pour tous x

, x

∈ X.

Soit Λ ⊂ C un ensemble fini tel que S

λ∈Λ

B(λ, δ/4) recouvre le compact f (X) ⊂ C ; posons pour chaque λ ∈ Λ

X

= {x ∈ X : |f(x) − λ| ≤ δ/4}.

Ces ensembles (X

) recouvrent X. Posons aussi

Y

= {ϕ(x) : |f(x) − λ| ≤ δ/4} = ϕ(X

).

Si y ∈ Y

∩ Y

, on a y = ϕ(x

) = ϕ(x

) avec x

∈ X

et x

∈ X

; cette ´egalit´e ϕ(x

) = ϕ(x

) implique que |f(x

) − f(x

)| < δ/2, et on a aussi |f(x

) − λ| < δ/4,

|f (x

) − µ| < δ/4, donc |λ − µ| < δ. Lorsque |λ − µ| ≥ δ, les ensembles Y

et Y

sont donc des compacts disjoints dans C

.

On peut par cons´equent appliquer le lemme pr´ec´edent (avec les compacts (Y

) de C

' R

) : il existe une fonction g continue `a support compact sur C

telle que

|g − λ| ≤ 2δ sur chaque Y

. Il en r´esulte que |f (x) − g(ϕ(x))| ≤ 3δ sur X. D´esignons par Y une boule ferm´ee de C

assez grande pour contenir ϕ(X). Par Weierstrass (complexe) appliqu´e `a la boule Y et `a la fonction continue g, il existe un polynˆome P en z

, z

tel que |P − g| ≤ δ sur Y. A la fin,

∀x ∈ X, ¯ ¯ f(x) − P(ϕ

(x), . . . , ϕ

(x)) ¯ ¯ ≤ 4 δ.

Remarque. Il est ´evident d’adapter l’argument au cas r´eel.

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