Un premier th´ eor` eme de R. Steinberg

Strat´egie de d´emonstration du th´eor`eme de d´ecomposition globale

D´ ecompositions tensorielles ` a la Steinberg pour les repr´ esentations des cat´ egories additives

Aur´elien DJAMENT

CNRS, Laboratoire Paul Painlev´e, Lille

30 Avril 2021

Expos´ e virtuel pour la deuxi` eme rencontre de l’ANR AlMaRe Rapport sur un travail avec Antoine Touz´ e et Christine Vespa

https ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02103934

Strat´egie de d´emonstration du th´eor`eme de d´ecomposition globale

1 Deux th´eor`emes de Robert Steinberg

2 Repr´esentations des petites cat´egories Foncteurs (Hom-)polynomiaux Foncteurs antipolynomiaux

3 D´ecomposition globale `a la Steinberg

4 D´ecomposition tensorielle des foncteurs simples polynomiaux

5 Strat´egie de d´emonstration du th´eor`eme de d´ecomposition globale

Strat´egie de d´emonstration du th´eor`eme de d´ecomposition globale

Un premier th´ eor` eme de R. Steinberg

Th´eor`eme (R. Steinberg)

Soit n≥3 un entier. Une repr´esentation complexe de dimension finie du groupeSLn(Z)est irr´eductible si et seulement si elle est isomorphe au produit tensoriel d’une repr´esentation irr´eductible factorisant par le morphismeSL_n(Z)SL_n(Z/i)induit par la r´eduction modulo un certain entier i>0et d’une repr´esentation polynomiale (c’est-`a-dire dont l’action est donn´ee par des polynˆomes en les coefficients des matrices) irr´eductible deSL_n(Z).

De plus, deux telles repr´esentations irr´eductibles sont isomorphes si et seulement si les leurs d´ecompositions tensorielles sont isomorphes.

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Le th´ eor` eme du produit tensoriel de Steinberg

Soientpun nombre premier,q=p^r une puissance depetn∈N. On peut associer `a toute partitionp-restreinte (c’est-`a-dire dont aucune part ne se r´ep`ete plus quep−1 fois) dont les parts n’exc`edent pasn−1 une repr´esentation irr´eductible du groupe alg´ebriqueSLn en caract´eristiquep.

Les repr´esentations des groupes finisSLn(Fq) obtenues en prenant les points sur le corpsFq sontappel´ees repr´esentations ´el´ementaires.

(Une autre d´efinition, fonctorielle, des repr´esentations ´el´ementaires sera mentionn´ee plus loin.)

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Le th´ eor` eme du produit tensoriel de Steinberg (2)

Th´eor`eme (R. Steinberg)

Une repr´esentation du groupe finiSLn(Fq)sur un corps contenantFq est irr´eductible si et seulement si elle est isomorphe `a un produit tensoriel

M0⊗M₁⁽¹⁾⊗ · · · ⊗M_r−1^(r−1)

o`u les Mi sont des repr´esentations ´el´ementaires et l’exposant<sup>(i)</sup> indique la i -`eme it´eration de la torsion de Frobenius.

De plus, deux telles repr´esentations sont isomorphes si et seulement si leurs d´ecompositions sont isomorphes.

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Cat´ egories de foncteurs

SoientCune cat´egorie (essentiellement) petite etK un corps

commutatif. On noteF(C;K) la cat´egorie des foncteurs deC vers les K-espaces vectoriels. On peut y penser comme `a la cat´egorie des repr´esentations surK deC (`a laquelle on peut penser comme `a un mono¨ıde `a plusieurs objets).

La cat´egorieF(C;K) est une cat´egorie ab´elienne agr´eable : elle a assez de projectifs et d’injectifs, des (co)limites arbitraires. C’est une cat´egorie de Grothendieck.

On va s’int´eresser au cas o`u la cat´egorie source estadditive. Un cas particulier fondamental est celui de la cat´egorie P(A) des modules `a gauche projectifs de type fini sur un anneauA.

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Repr´ esentations non additives des cat´ egories additives

SoitAune cat´egorie additive (essentiellement) petite. On s’int´eresse souvent `a la cat´egorie Add(A;K) des foncteursadditifs deAvers les K-espaces vectoriels, notamment en th´eorie des repr´esentations, depuis les travaux d’Auslander. C’est ´egalement une cat´egorie ab´elienne agr´eable.

Add(A;K) est une sous-cat´egorie ´epaisse (i.e. stable par sous-quotient et extensions), stable par limites et colimites, deF(A;K). Cependant, F(A;K) est en g´en´eral beaucoup plus difficile `a comprendre que Add(A;K).

Par exemple, Add(P(A);K) est ´equivalente `a la cat´egorie des

(K,A)-bimodules, mais la structure deF(P(A);K) est encore largement inconnue lorsqueA=K est un corps fini.

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Une motivation historique

Soienti etndes entiers naturels,V un groupe ab´elien. L’espace d’Eilenberg-MacLaneK(V,n) (i.e. espace topologique point´e dont l’homolopie estV en degr´enet triviale ailleurs) donne lieu, en prenant l’homologie singuli`ere, `a des foncteurs V 7→Hi(K(V,n);K) qu’on peut voir comme des objets deF(Ab^tf;K) (o`u Ab^tf est la cat´egorie des groupes ab´eliens de type fini), qu’Eilenberg et MacLane ont ´etudi´es dans les ann´ees 1950.

On sait dire beaucoup de choses sur ces foncteurs, mais il est tr`es difficile d’en donner une description compl`ete, d`es lors queneti ne sont pas tr`es petits.

Ces foncteurs ne sont g´en´eralement pas additifs, mais ils poss`edent une propri´et´e fondamentale g´en´eralisant l’additivit´e, d´egag´ee par Eilenberg et MacLane : lapolynomialit´e.

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Fonctions polynomiales

On commence (suivant Eilenberg-MacLane) par d´efinir les fonctions polynomiales entre des groupes ab´eliensU etV. Pourd ∈N, on d´efinit lad-i`emed´eviationd’une fonction (ensembliste) f :U→V comme la fonctiondev_d(f) :U^d →V donn´ee par

dev_d(f)(x₁, . . . ,x_d) := X

I⊂{1,...,d}

(−1)^d−Card(I)f(x_I),

o`u

xI :=X

i∈I

xi.

On dit quef estpolynomiale de degr´e au plusd sidevd+1(f) est identiquement nulle.

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Foncteurs (Hom-)polynomiaux

SoientAetE des cat´egories additives etF:A → E un foncteur. On dit queF est Hom-polynomialsi, pour tous objetsx et y deA, la fonction

F_x,y :A(x,y)→ E(F(x),F(y)) donnant l’effet deF sur les morphismes est polynomiale.

Si toutes les fonctionsF_x,y sont polynomiales de degr´e au plus d, on dit que le foncteurF estpolynomial de degr´e au plusd. (Seule cette derni`ere notion est classique.)

Les foncteurs Hom-polynomiaux sont g´en´eralement beaucoup plus difficiles `a ´etudier que les foncteurs polynomiaux. Un foncteur Hom-polynomial de longueur finie est toujours polynomial.

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Exemple : foncteurs ´ el´ ementaires

Pour toutd∈N, lad-i`eme puissance tensorielleT<sup>d</sup> :V 7→V<sup>⊗d</sup> (o`u le produit tensoriel est pris surK) d´efinit un endofoncteur polynomial de degr´ed desK-espaces vectoriels. Le groupe sym´etriqueSd op`ere sur T^d. On appellerafoncteur ´el´ementaire(surK) tout endofoncteur des K-espaces vectoriels de la forme

Im(T^d⊗M)_Sd →(T^d⊗M)^Sd

(l’application ´etant la norme), o`uM est une repr´esentationK-lin´eaire simple deSd. Un tel foncteur est encore polynomial de degr´ed.

Exemple

Lad-i`eme puissance ext´erieure Λ^dest un foncteur ´el´ementaire de degr´ed.

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Id´ eaux d’une cat´ egorie additive

Unid´eald’une cat´egorie additiveAest un sous-foncteur de Hom_A:A^op× A →Ab.

Exemple

SiAest un anneau, les id´eaux de la cat´egorie additive P(A) s’identifient aux id´eaux bilat`eres de A(l’id´eal au sens usuel s’obtenant en ´evaluant l’id´eal au sens pr´ec´edent sur (A,A)).

SiI est un id´eal deA, on dispose d’une cat´egorie A/I ayant les mˆemes objets queA, avec pour morphismes (A/I)(x,y) :=A(x,y)/I(x,y). On dispose d’un foncteur additif canoniqueA → A/I qui est l’identit´e sur les objets.

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Id´ eaux K -cotriviaux

Une cat´egorie additive Aest diteK-trivialesi, pour tous objetsx ety de A, les conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1 le groupe ab´elienA(x,y) est fini ;

2 le produit tensoriel A(x,y)⊗_ZK est nul (i.e.A(x,y) est d’ordre inversible dans K).

La deuxi`eme condition implique que les seuls foncteurs Hom-polynomiaux deF(A;K) sont les foncteurs constants.

Un id´ealI d’une cat´egorie additiveAest ditK-cotrivial si la cat´egorie A/I estK-triviale.

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Foncteurs antipolynomiaux

D´efinition

Un foncteurF de F(A;K) est dit antipolynomials’il existe un id´eal K-cotrivialI de Atel queF se factorise par le foncteur canonique A → A/I.

Les foncteurs antipolynomiaux forment une classe de foncteurs en quelque sorte orthogonale `a celle des foncteurs (Hom-)polynomiaux.

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D´ ecomposition globale (forme g´ en´ erale)

On noteF^df(A;K) la sous-cat´egorie pleine des foncteurs deF(A;K) dont les valeurs sont desK-espaces vectoriels de dimension finie.

Th´eor`eme

Soit F un foncteur de type fini deF^df(A;K). Il existe un foncteur B de F(A × A;K), unique `a isomorphisme pr`es, v´erifiant les propri´et´es suivantes :

1 F est isomorphe `a la compos´ee de la diagonaleA → A × Aet de B ;

2 le bifoncteur B estHom-polynomial par rapport `a la premi`ere variable : pour tout objet x deA, le foncteur B(−,x)deF(A;K) estHom-polynomial ;

3 il existe un id´eal K -cotrivialI de Atel que B se factorise par le foncteur additif canonique A × A → A × A/I (en particulier, B est antipolynomial par rapport `a la deuxi`eme variable).

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D´ ecomposition globale (cas des foncteurs simples)

Th´eor`eme

Soit F un foncteur simple deF^df(A;K). Il existe un foncteur B de F(A × A;K), unique `a isomorphisme pr`es, tel que :

1 F est isomorphe `a la compos´ee de la diagonaleA → A × Aet de B ;

2 le bifoncteur B est polynomial par rapport `a la premi`ere variable ;

3 il existe un id´eal K -cotrivialI de Atel que B se factorise par le foncteur canoniqueA × A → A × A/I.

De plus, B est simple, et F et B ont le mˆeme corps d’endomorphismes.

R´eciproquement, si B est un bifoncteur simple v´erifiant les conditions 2 et 3 pr´ec´edentes, sa pr´ecomposition par la diagonale deAest un foncteur simple deF(A;K).

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Cas d’un corps assez gros

Corollaire

Supposons que K contient toutes les racines de l’unit´e. Alors un foncteur deF^df(A;K)est simple si et seulement s’il est isomorphe au produit tensoriel d’un foncteur simple antipolynomial et d’un foncteur polynomial simple. De plus, la d´ecomposition est unique `a isomorphisme pr`es.

Ce corollaire est analogue au premier th´eor`eme de Steinberg que nous avons mentionn´e ; les d´emonstrations des deux ´enonc´es pr´esentent de nombreuses similitudes. Toutefois, leurs liens ne sont pas enti`erement compris.

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Corps de d´ ecomposition d’une cat´ egorie additive

D´efinition

On dit que le corps commutatifK est uncorps de d´ecompositionde la cat´egorie additive essentiellement petiteAsi le corps d’endomorphismes de tout foncteur simple `a valeurs de dimension finie de Add(A;K) est r´eduit `aK.

SiAest un anneau, K est un corps de d´ecomposition de la cat´egorie P(A) si et seulement si c’est un corps de d´ecomposition de laK-alg`ebre A^op⊗_ZK au sens usuel de la th´eorie des repr´esentations.

Exemple

SiK est alg´ebriquement clos, c’est un corps de d´ecomposition deA.

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D´ ecomposition tensorielle des simples polynomiaux

Th´eor`eme

On suppose que K est un corps de d´ecomposition deA. Alors un foncteur polynomial deF^df(A;K)est simple si et seulement s’il est isomorphe `a un produit tensoriel

O

π

Eπ◦π

index´e par un syst`eme complet de repr´esentants des classes

d’isomorphisme de foncteurs simples `a valeurs de dimension finieπde Add(A;K), o`u les E_π sont des endofoncteurs ´el´ementaires des K -espaces vectoriels, tous isomorphes au foncteur constant en K sauf un nombre fini d’entre eux.

De plus, les foncteurs Eπ apparaissant dans cette d´ecomposition sont uniques `a isomorphisme pr`es.

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Exemple : un th´ eor` eme de N. Kuhn (1)

Soientpun nombre premier,r >0 un entier etq:=p^r. Le corps finiFq

est un corps de d´ecomposition de P(Fq), et, par la th´eorie de Galois des corps finis, un syst`eme complet de repr´esentants des (Fq,Fq)-bimodules simples est donn´e par les<sup>(i)</sup>F<sup>q</sup> pour 0≤i<r, d´esignant F<sup>q</sup> muni de la structure deFq-espace vectoriel `a gauche ´evidente, et de la structure de Fq-espace vectoriel `a droite obtenue en tordant la structure ´evidente par lai-`eme it´eration du morphisme de Frobenius x7→x^p.

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Exemple : un th´ eor` eme de N. Kuhn (2)

Le th´eor`eme pr´ec´edent nous dit donc que les simples deF(P(Fq);Fq) sont exactement lesE<sub>0</sub>⊗E<sub>1</sub><sup>(1)</sup>⊗ · · · ⊗E<sub>r−1</sub><sup>(r−1)</sup>, o`u les E_i sont des foncteurs

´el´ementaires et l’exposant⁽ⁱ⁾ indique la pr´ecomposition par lai-`eme it´eration du foncteur de torsion de Frobenius (i.e. la tensorisation par

(i)Fq).

Ce r´esultat est un analogue du th´eor`eme du produit tensoriel de Steinberg. Il avait ´et´e d´ej`a obtenu par Kuhn (`a l’aide de m´ethodes diff´erentes).

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Exemples d’applications : produits tensoriels (1)

L’´enonc´e suivant se d´eduit facilement de notre th´eor`eme de

d´ecomposition `a la Steinberg polynomial. Aucune hypoth`ese sur le corps K n’est n´ecessaire.

Corollaire

La classe des foncteurs polynomiaux de longueur finie deF^df(A;K)est stable par produit tensoriel.

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Exemples d’applications : produits tensoriels (2)

L’´enonc´e ci-dessous utilise nosdeuxth´eor`emes de d´ecomposition `a la Steinberg. Pour ´eviter un ´enonc´e technique, nous nous limitons `a une cat´egorie source de la forme P(A), o`uAest un anneau. L`a encore, le corps commutatifK peut ˆetre quelconque.

Corollaire

La classe des foncteurs de longueur finie deF^df(P(A);K)est stable par produit tensoriel.

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Th´ eor` eme global : rˆ ole des unipotents

SoitF un foncteur de type fini deF^df(A;K).

Six ety sont des objets deA, on noteu[f] l’automorphisme dex⊕y dont les composantesx→x ety →y sont les identit´es,f :x→y et 0 :y →x (la lettre uabr`ege le motunipotent).

Un sous-produit de la d´emonstration de notre premier th´eor`eme est le suivant :

Proposition

Le foncteur F estHom-polynomial (resp. antipolynomial) si et seulement si F(u[f])est un automorphisme unipotent (resp. absolument

semi-simple) pour tout morphisme f deA.

La d´ecomposition de Jordan multiplicative des F(u[f]) permettra d’obtenir notre d´ecomposition `a la Steinberg.

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Th´ eor` eme global : l’id´ eal K -cotrivial

Six ety sont des objets deA, on noteI(x,y) l’ensemble des morphismesf ∈ A(x,y) tels que, pour tout objett deA, l’automorphismeF(u[f]⊕t) deF(x⊕y⊕t) soit unipotent.

L’´etape clef de la d´emonstration du th´eor`eme consiste `a ´etablir le r´esultat suivant.

Lemme

I est un id´eal K -cotrivial deA

L’intervention du ’⊕t’ dans la d´efinition pr´ec´edente est cruciale pour montrer queI est un id´eal deA. En revanche, une fois le lemme acquis, seule l’unipotence deF(u[f]) sera utilis´ee.

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Suite de la d´ emonstration

´Ecrivons la d´ecomposition de Jordan multiplicative

F(u[f]) =U(f).D(f) =D(f).U(f), o`uU(f) est unipotent etD(f) absolument semi-simple.

Cela permet d’obtenir un diagramme commutatif A(x,y) //

fU7→FUU(u[fUUU])UUUUUUUU**

UU UU

U A(x,y)×(A/I)(x,y)

(f,¯g)7→D(f).U(g)

HomK(F(x⊕y),F(x⊕y))

(la fl`eche sup´erieure ´etant le morphisme de groupes ab´eliens canonique, et ¯g d´esignant la classe deg ∈ A(x,y) dans (A/I)(x,y)).

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La factorisation de F

On post-compose ensuite ces fonctions avec l’application lin´eaire

Hom_K(F(x⊕y),F(x⊕y))−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→^{HomK(F(x,→x⊕y),F(x⊕yy))} Hom_K(F(x),F(y)) qui pr´ecompos´ee parf 7→F(u[f]) donne la fonction

Fx,y :A(x,y)−−−−−→^f7→F(f) HomK(F(x),F(y)) ; c’est ce qui fournit la factorisation deF.

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De l’unipotence ` a la polynomialit´ e

Pour d´emontrer la propri´et´e Hom-polynomiale par rapport `a la premi`ere variable de la factorisation obtenue, on utilise le lemme ´el´ementaire suivant :

Lemme

Soient M un groupe ab´elien, V un K -espace vectoriel de dimension finie d etρ:M→E :=EndK(V)une fonction telle que

ρ(u+v) =ρ(u).ρ(v)pour tout(u,v)∈M². On suppose queρprend ses valeurs dans les automorphismes unipotents de V . Alorsρd´efinit une fonction polynomiale de degr´e au plus d−1 de M vers le groupe additif sous-jacent `a E .