Questions de Cours (6 pts) (a) Enoncer le Th´eor`eme de Rolle et citer un r´esultat du cours utilisant ce th´eor`eme dans sa d´emonstration

MATH4 L1. Maths LPI. Cours 2016-2017. Semestre 2 UNIVERSITE DU LITTORAL ULCO

Mabel Cuesta et Jean Fromentin, LMPA

Examen du 29 mai 2017

Documents et calculatrices non autoris´es. Dur´ee 3h.

Exercice 1. Questions de Cours (6 pts)

(a) Enoncer le Th´eor`eme de Rolle et citer un r´esultat du cours utilisant ce th´eor`eme dans sa d´emonstration.

(b) Enoncer le Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass et citer un r´esultat du cours utili- sant ce th´eor`eme dans sa d´emonstration.

(c) Rappeler la d´efinition de base et de dimension d’un espace vectoriel surR. Exercice 2. (8 pts)

Calculer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞xE

1

x

o`uE(x) est la partie enti`ere dex.

2. lim

x→0

x 2 + sin(¹_x) 3. lim

x→0

tan(x²) xsin(x)(1−cos(x)) 4. lim

x→+∞(x+ 1)e^2/(x+1)−xe^2/x.

Exercice 3. (4 pts)En utilisant la d´efinition de limite, montrer que

n→+∞lim 2n+ 1 3n−2 = 2

3.

Exercice 4. (6 pts)DansR⁴on consid`ere les sous-espaces vectoriels

E1= Vect{(2,1,1,1),(2,2,1,0)}, E2= Vect{(1,2,−1,0),(2,1,2,1),(2,−2,0,1)}

1. D´eterminer la dimension et une base deE1puis deE2. 2. D´eterminer la dimension et une base deE1+E2.

3. Les sous-espacesE1et E2sont ils suppl´ementaires ? Justifiez vos r´eponses.

Exercice 5. (6 pts)

1. Montrer que pour pour toutx >0 on a 1

x+ 1 ≤ln(x+ 1)−lnx≤ 1 x.

2. On poseH_n:= 1 + ¹₂+¹₃+· · ·+_n¹.En d´eduire que ln(n+ 1)≤Hn ≤1 + ln(n) pour toutn∈N∗.

3. D´eterminer la limite deHn.

1

Exercice 6. (5 pts)Soitx0 ∈ R, h∈]0,+∞[ et g : ]x0−h, x0+h[→ Rune fonction de classeC¹. Supposons que la d´eriv´ee seconde deg par la droite enx0, d´efinie par

g₊⁰⁰(x₀) := lim

x→x⁺₀

g⁰(x)−g⁰(x₀) x−x0

,

existe dansR. Montrer qu’il existeh⁰>0 tel que pour toutx∈[x0, x0+h⁰] on a le r´esultat suivant :

(i) g₊⁰⁰(x0)>0⇒g(x)≥g(x0) +g⁰(x0)(x−x0), (ii) g₊⁰⁰(x0)<0⇒g(x)≤g(x0) +g⁰(x0)(x−x0).

Exercice 7. (10 pts)Consid´erons la fonction f(x) =

ax²+bx+ 1 six≤0, e^x+ sinx+c six >0.

1. Pour quelles valeurs dea, b, c∈Rla fonctionf est-elle de classe C¹(R) ? 2. Pour quelles valeurs dea, b, c∈Rla fonctionf est-elle de classe C²(R) ?

3. Pour les valeurs dea, b, c∈Rtrouv´ees dans la question 1, d´eterminer la droite tangente enx₀= 0 `a la courbe d’´equationy=f(x).

4. Pour les valeurs de a, b, c∈ Rtrouv´ees dans la question 2, pr´eciser pourxvoisin de x₀= 0 la position de la courbey=f(x) par rapport `a cette tangente.

5. Pour les valeurs de b, c∈ R trouv´ees dans la question 1 et a= −1, pr´eciser pour x voisin dex₀= 0 la position de la courbey=f(x) par rapport `a la tangente enx₀= 0.

On pourra utiliser les r´esultats de la l’exercice 6.

La note sera compt´ee sur 40 points

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