Chapitre 5: Espaces de fonctions. Th´eor`eme d’Ascoli. Th´eor`eme de Stone-Weierstrass.

Chapitre 5: Espaces de fonctions.

Th´ eor` eme d’Ascoli. Th´ eor` eme de Stone-Weierstrass.

Dans ce chapitre, on se place dans des espaces topologiques particuliers qui sont des espaces de fonctions. Les principaux objectifs sont le th´eor`eme d’Ascoli et le th´eor`eme de Stone-Weierstrass. Le premier th´eor`eme permet de mieux comprendre les parties compactes d’un espace de fonctions continues tandis que le second permet de donner des parties denses dans un espace de fonctions continues. Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass permet en particulier d’approximer une fonction par des polynˆomes. Il est par cons´equent souvent utilis´e en analyse num´erique.

I. G´en´eralit´es

Pour deux espaces topologiquesE etF, on noteF^E ={f :E→F}l’ensemble des applications deE versF. On note aussi cet ensemble par Π_x∈EFx, avec la convention suivante:

Une fonctionf peut ˆetre confondue avec un ´el´ement de Πx∈EFxsi on admet que l’imagef(x) appartient `a Fx (les Fx ´etant tous des ensembles identifi´es `a F).

Le produit Π_x∈EF_x peut ˆetre fini, d´enombrable ou infini non d´enombrable.

On munit l’ensembleF^Ede la topologie produit qui en fait un espace topologique.

On rappelle que les ouverts deF^E sont les r´eunions quelconques de pav´es, o`u un pav´e est une partie intersection finie de la forme

p⁻¹_x

1(O_x1)∩...∩p⁻¹_x

n(O_xn).

Si on prend par exemple l’ouvert U = p⁻¹_x1(Ox₁)∩...∩p⁻¹_xn(Ox_n), alors une fonctionf appartient `aU ssif(x1)∈Ox₁,...,f(xn)∈Ox_n.

La proposition suivante explique la raison pour laquelle cette topologie s’appelle la topologie de la convergence simple.

Proposition Une suite (f_n)_n converge vers f pour la topologie produit si et seulement si∀x∈E, la suite (fn(x)n converge versf(x).

D´emonstration Soit x ∈ E un ´el´ement quelconque, montrons que (fn(x))n

p⁻¹_x (Ox) contient f. Puisqu’on a suppos´e que la suite (fn)n converge vers f pour la topologie produit, sin est assez grand, fn est ´el´ement de V. Or, ceci signifie quefn(x) appartient `aOx sinest assez grand.

Inversement, supposons donn´ee une suite de fonctions (fn)ntelle que∀x∈E, la suite (fn(x))n converge versf(x), montrons que la suite (fn)n converge vers f pour la topologie produit. On se donne donc un voisinage de f not´e O(f), qui contient un ouvert contenant f. Cet ouvert ´etant une r´eunion quelconque de pav´es, on peut supposer quef appartient `a l’un de ces pav´es. Si ce pav´e est not´eP, alorsP est de la forme

P =p⁻¹_x1(Ox₁)∩...∩p⁻¹_xn(Ox_n).

Pour x1, il existeN1 tel que sin≥N1, on afn(x1)∈Ox₁. On fait de mˆeme pour x2,...,xn. Si on pose N =sup{N1, ..., Nn}, nous avons garanti que pour n ≥ N, fn ∈ P. Par suite, la suite (fn)n converge vers f pour la topologie produit.

SiFest un espace m´etrique muni d’une distance not´eedF, on peut d´efinir sur F^E une autre topologie, celle de la convergence uniforme, de la fa¸con suivante:

Si f, g∈F^E, on pose

d(f, g) =sup_x∈Ed_F(f(x), g(x)),

cette valeur pouvant ˆetre ”+∞”. On peut se ramener `a des valeurs finies, en rempla¸cant la distanced_F de F par une distance d⁰ qui lui est uniform´ement

´equivalente. Par exemple, on peut poserd⁰_F =inf{dF,1}. Dor´enavant, on peut supposer que la distancedd´efinie surF^Eest finie. Ainsi,F^Eest aussi un espace m´etrique, o`u la topologie associ´ee est celle de la convergence uniforme. On peut comparer les deux topologies:

Proposition

La topologie de la convergence uniforme est plus fine que celle de la conver- gence simple.

D´emonstrationIl suffit de s’assurer que siOest un ouvert pour la topologie de la convergence simple alorsOest un ouvert pour la topologie de la convergence uniforme. Supposons donc qu’on a

O=p⁻¹_x

1(O_x1)∩...∩p⁻¹_x

n(O_xn).

Soitf ∈O, on a donc f(xi)∈Ox_i pour i= 1, ..., n. Chaque Ox_i contient une boule ouverte deF centr´ee enf(xi) et de rayonri. On peut trouver une boule centr´ee enf et de rayon convenable (qui est un ouvert pour la topologie de la convergence uniforme) contenue dansO. En effet, si on poser=inf{r1, ..., rn},

alors la boule (dansF^E) de centref et de rayonrconvient. On a garanti que sig∈B(f, r), alorsg(xi)∈Ox_i pouri= 1, ..., net par suiteB(f, r)⊂O.

Th´eor`eme SoitE un espace topologique, (F, d_F) un espace m´etrique et f_n : E→F une suite de fonctions continues telles que la suite (f_n)_n converge vers une limitef pour la topologie de la convergence uniforme, alors f est continue.

D´emonstrationIl suffit d’´ecrire:

dF(f(x), f(x⁰))≤dF(f(x), fn(x)) +dF(fn(x), fn(x⁰)) +dF(fn(x⁰), f(x⁰)), puis de choisirnassez grand pour que

dF(f(x), fn(x))< ε/3,∀x∈E,

et enfin de remarquer quedF(fn(x), fn(x⁰))< ε/3 six⁰appartient `a un voisinage convenable dex.

CorollaireL’espace des fonctions continuesC(E, F) est un ferm´e deF^E pour la topologie de la convergence uniforme.

Th´eor`eme de DiniSoit (fn)n une suite de fonctions d´efinies surE, `a valeurs r´eelles et continues. On suppose queE est un espace topologique compact et que la suite (fn)n est monotone. Si la suite (fn)n converge simplement vers une fonction continue f alors (fn)n converge vers f pour la topologie de la convergence uniforme.

D´emonstrationOn suppose la suite (fn)ncroissante, sinon on peut s’y ramener en consid´erant la suite (−fn)n. Soitε >0 quelconque, on poseFn ={x, |f(x)−

f_n(x)| ≥ ε}. On souhaite montrer que les F_n sont vides `a partir d’un certain rangN, cela prouvera que si n≥N,|f(x)−f_n(x)|< ε,ceci∀x∈E.

D’apr`es les hypoth`eses, (F_n)_n est une suite d´ecroissante de ferm´es. Puisque la suite (f_n)_n converge simplement vers f, on a:

∩_n∈IN Fⁿ=∅.

E ´etant compact, d’apr`es la propri´et´e de Borel-Lebesgue, on peut en extraire une sous famille finie d’intersection vide. Cela signifie que lesFn sont vides `a partir d’un certain rang. Ce qu’il fallait montrer.

II. Familles ´equicontinues

SoitEun espace topologique, (F, d) un espace m´etrique etAune partie deF^E.

D´efinitionsSoita∈E, on dit que la familleAest ´equicontinue enasi∀ε >0 il existe un voisinageV(a)⊂E, tel que ∀x∈V(a), on ad(f(x), f(a))< εceci

∀f∈A.

On dit queAest ´equicontinue siA est ´equicontinue en touta∈A.

On dit que A est uniform´ement ´equicontinue si (E, δ) est m´etrique et si

∀ε >0, il existeη >0 tel que siδ(x, y)< η alorsd(f(x), f(y))< εceci∀f ∈A,

∀x, y∈E.

Exemples

* La famille de fonctions A ={fn, n∈ IN} avec fn : [0,1]→IR, fn(x) = sin(nx), n’est pas ´equicontinue en 0.

* La famille de fonctions B ={fn, n∈IN} avecfn : [0,1] →IR, fn(x) = sin(x/(n+ 1)) est ´equicontinue en toutx∈[0,1]. Elle est mˆeme uniform´ement

´equicontinue.

(En effet, on a|sin(x/(n+ 1))−sin(x⁰/(n+ 1))| ≤ |x−x⁰|)

Proposition

1. SiAest ´equicontinue enaalors∀f ∈A,f est continue ena.(La r´eciproque est fausse)

2. SiAest une famille finie d’applications continues alorsAest ´equicontinue.

3. Si on ajoute une fonction continue `a une famille ´equicontinue, la famille obtenue est ´equicontinue.

4. La r´eunion de deux familles ´equicontinues est une famille ´equicontinue.

Th´eor`eme SoitE un espace toplogique s´epar´e, F un espace m´etrique etF^E qu’on suppose muni de la topologie de la convergence simple. SiA ⊂F^E est

´equicontinue ena, alorsAest ´equicontinue enA.

D´emonstrationOn se donnef ∈Aet soit (fn)nune suite dansAqui converge simplement vers une fonctionf. D’apr`es l’hypoth`ese, on ad(fn(x), fn(a))≤ε six∈V(a). Par passage `a la limite, on d´eduit qued(f(x), f(a))≤εsix∈V(a) et donc queAest ´equicontinue.

CorollaireSi une suite d’applications (fn)nconverge simplement vers une fonc- tionf, si∀n∈IN,fn∈Ao`uAest une famille ´equicontinue alorsf est continue.

Nous sommes `a pr´esent en mesure d’´enoncer le th´eor`eme d’Ascoli:

Th´eor`eme d’Ascoli Soit E un espace m´etrique compact, C(E, F) l’espace des fonctions continues muni de la topologie de la convergence uniforme et A⊂ C(E, F). On a l’´equivalence:

1. A est compact.

2. ∀x∈A,{f(x), f ∈A}est compact etAest ´equicontinue.

D´emonstrationSupposons le premier point, et consid´erons, pourx∈E fix´e, l’application

φ:C(E, F)−→F f 7→φ(f) =f(x).

Cette application est continue pour la topologie de la convergence simple, et donc pour la topologie de la convergence uniforme. On en d´eduit que la partie φ(A) = {f(x), f ∈ A} est compacte dans F qui est s´epar´e, φ(A) est donc aussi ferm´ee. Cette partie contient aussi{f(x), f ∈A} qui est par cons´equent compact. Ceci d´emontre le premier point.

Montrons `a pr´esent queAest ´equicontinue. en toutx∈E.

L’espaceC(E, F) ´etant ferm´e pour la topologie de la convergence uniforme, A ´etant une partie de cet espace, son adh´erence A est aussi contenue dans C(E, F). Cet espace ´etant m´etrique, on peut donc pour toutε >0, recouvrirA par un nombre fini de boules de rayonε/3,B(f1, ε/3), ..., B(fp, ε/3), o`uf1,...,fp

sont des ´el´ements deA. Pourx∈E, on ad(fi(x), fi(y))< ε/3 siy appartient

`

a un voisinage convenableVi(x).

Si on poseV =∩i=1,...,pVi(x), et sif ∈A, alors∀y∈V(x), on ad(f(x), f(y))<

ε.En effet, il suffit d’´ecrire

d(f(x), f(y))≤d(f(x), f_i(x)) +d(f_i(x), f_i(y)) +d(f_i(y), f(y))

lorsque f ∈ B(f_i, ε/3). Ceci prouve que A est ´equicontinue en x. x ´etant quelconque,Aest donc ´equicontinue.

Inversement, montrons queAest compact. Pour cela, on se donne une suite (hn)ndansA, et on veut montrer qu’elle admet une sous suite convergente (pour la topologie de la convergence uniforme). On peut se ramener `a une suite dans A, en choisissant pour chaquen, une fonctionfn∈Atelle qued(hn, fn)<2⁻ⁿ. Si on montrer que la suite (fn)n admet une sous suite (fn_p)p convergente, alors

Tout d’abord, puisque (E, δ) est compact, on peut pour tout entiernrecou- vrirE par des boules B(xⁿ₁,2⁻ⁿ), ..., B(xⁿ_pn,2⁻ⁿ). Lorsque n parcourt IN, les centres de toutes ces boules forment une famille d´enombrableE⁰={x0, x1, ....}

qui est dense dansE. Pourx0, la suite (fn(x0))n appartient `aAx0 qui est sup- pos´e compact, cette suite admet donc une sous suite convergente (fn<sup>0</sup><sub>p</sub>(x0))p. On consid`ere `a pr´esent la suite (f_n0

p(x₁))_p qui appartient elle aussi `a un compact, elle admet une sous suite convergente que nous allons noter (f_n1

p(x1))p. On construit ainsi par r´ecurrence, pour toutl, une famille de sous suite (f_nl

p(xl))p avec (f_nl+1

p )p sous suite de (f_nl p)p.

La suite diagonale (f_n^p_p)_p converge simplement surE⁰. Si on montre qu’elle converge uniform´ement surE, alors on aura exhib´e une sous suite qui converge pour la topologie de la convergence uniforme et on aura montr´e que A est compact.

Puisque la famille A est ´equicontinue en ai, on a pour tout f, g ∈ A, d(f(x), f(ai)) < ε et d(g(x), g(ai)) < ε si δ(x, ai) < η. Par compacit´e de E, on peut recouvrirEpar un nombre fini de boulesB(ai, η) o`u lesai sont des

´el´ements de E⁰.

Pour toutx∈E, il existe un indiceitel quex∈B(ai, η), on ´ecrit alors d(f(x), g(x))≤d(f(x), f(a_i)) +d(f(a_i), g(a_i)) +d(g(a_i), g(x)).

Lesa_i ´etant en nombre fini, sif est assez proche de g pour la topologie de la convergence simple surE⁰, on aurad(f(a_i), g(a_i))< ε pour touti et par suite d(f(x), g(x))<3εpour toutx∈E.

Nous avons donc bien obtenu que lorsque f est assez proche de g pour la topologie de la convergence simple sur E⁰, f est assez proche de g pour la topologie de la convergence uniforme (surE).

Application La partie B = {fn, n ∈ IN} avec fn : [0,1] → IR, fn(x) = sin(x/(n+ 1)) est d’adh´erence compacte dansC([0,1], IR). On v´erifie ais´ement les conditions du th´eor`eme.

Enonc´ e du th´ eor` eme de Stone-Weierstrass.

Nous allons `a pr´esent ´enoncer sans d´emontrer le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.

On se place dans le cas d’un espace de fonctions d´efinies et continues sur un espace topologique compact `a valeurs dans IR. Signalons qu’il existe une ver- sion du th´eor`eme dans le cas o`u les fonctions sont `a valeurs dans l’ensemble des nombres complexes.

Th´eor`emeSoitEun espace topologique compact etA⊂ C(E, IR) une partie qui v´erifie les propri´et´es suivantes:

* Aest une alg`ebre.

* Pour tousx, y∈E,x6=y, il existef ∈Atel quef(x)6=f(y).

* Pour toutx∈E, il existef ∈Atel quef(x)6= 0,

alorsA est dense dansC(E, IR) pour la topologie de la convergence uniforme.

Applications L’alg`ebre des polynˆomes est dense dans l’espace des fonctions continues d´efinies sur [a, b] et `a valeurs dansIR.