Th´ eor` eme de Girsanov

hangement de probabilit´ e - Th´ eor` eme de Girsanov

G´en´eralit´es

La formule de Cameron-Martin Les deux th´eor`emes de Girsanov

Th´eor`eme de repr´esentation pr´evisible Applications

Th´eor`eme fondamental de la finance: Probabilit´e risque neutre

G´ en´ eralit´ es

Soit (Ω,F,P) un espace probabilis´e et Z une v.a. F-mesurable positive d’esp´erance 1. On d´efinit une nouvelle probabilit´e Q sur F par

Q(A) = E(Z11_A). On a, pour toute v.a. X qui est Q-int´egrable E_Q(X) = E_P(ZX)

2

Si l’espace de probabilit´e est muni d’une filtration, et si ZT est une v.a.

F_T-mesurable positive d’esp´erance 1, on d´efinit Q sur F_T par Q(A) = E(ZT11_A).

La probabilit´e Q est ´equivalente `a P sur F_T si la v.a. ZT est strictement positive.

Pour tout t < T et tout A ∈ F_t on a

Q(A) = E_P(E_P(ZT | F_t)11_A) = E_P(Zt11_A), en posant Zt = EP(ZT | Ft) et

dQ|Ft = ZtdP|Ft .

Un processus {M_t, t ≥ 0} est une (F_t)-martingale sous Q si et seulement si le processus (ZtMt, t ≥ 0) est une (F_t)-martingale sous P.

Formule de Bayes: Soient Q et P ´equivalentes sur F_T de densit´e de

Radon-Nikod´ym L. Soit X une v.a. Q-integrable et F_T-measurable. Alors;

E_Q(X|F_t) = E_P(LTX|F_t) Lt .

4

La formule de Cameron-Martin

Dimension finie

Soient (X1, . . . , Xn) des variables gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes sur (Ω,F,P).

E

exp

n i=1

µiXi

=

n i=1

E[exp [µiXi]] = exp 1 2

_n

i=1

µ²_i

,

ce qui entraˆıne que

E

exp

n i=1

µ_iX_i − µ²_i 2

= 1.

On d´efinit une nouvelle probabilit´e Q sur (Ω,F) en posant Z(ω) = exp

n

i=1

µiXi(ω) − µ²_i 2

et dQ = ZdP, autrement dit, pour tout A ∈ F Q[A] = E_P [Z11_A] =

A

Z(ω)P(dω)

La mesure Q est une probabilit´e sur (Ω,F) ´equivalente `a P. Q(X1 ∈ dx1, . . . , Xn ∈ dxn) = e

_n

i=1(µixi−µ²_i/2)P(X1 ∈ dx1, . . . , Xn ∈ dxn)

= (2π)^−n/2 eⁿⁱ⁼¹(µixi−µ²_i/2)e^{−ni=1 x}

2i

2 dx1 · · · dxn

= (2π)^−n/2 e^{−12 ni=1(xi−µi)2} dx1 · · ·dx_n et l’on en d´eduit que sous Q,

(X1, . . . , Xn) ∼ N(µ, Id), o`u µ = (µ1, . . . , µn).

6

Cas Brownien

Soit W un MB et F^W sa filtration naturelle. Pour tout m, le processus exp mWt − m²t

2

est une F^W -martingale positive.

La mesure Q^m d´efinie sur

Ω,F_T^W

par

Q^m [A] = E_P [Z_T^m11_A] est une probabilit´e ´equivalente `a P sur F_T^W .

[Formule de Cameron-Martin] Sous Q^m, le processus W˜t = Wt − mt, t ≤ T

est un mouvement brownien.

Relation d’absolue continuit´e

Le th´eor`eme de Cameron-Martin s’´ecrit

W^(ν)[F(Xt, t ≤ T)] = W⁽⁰⁾[e^{νXT−ν2T /2}F(Xt, t ≤ T)].

E[F(Wt + νt, t ≤ T)] = E[e^{νWT−ν2T /2}F(Wt, t ≤ T)].

8

Th´ eor` eme de Girsanov

Soit W un MB et F^W sa filtration naturelle. Soit θ un bon processus local v´erifiant la condition de Novikov. Par les r´esultats du chapitre pr´ec´edent, on sait que l’unique solution de l’EDS

Z_t^θ = 1 +

_t

0 θsZ_s^θdWs

s’´ecrit

Z_t^θ = exp

t

0 θsdWs − 1 2

_t

0 θ_s²ds

et que Z^θ est une F^W-martingale. On d´efinit la mesure Q^θ = Z_T^θP

sur (Ω,F_T^W ), qui est une probabilit´e ´equivalente `a P sur F_T^W.

[Th´eor`eme de Girsanov] Sous la mesure Q^θ, le processus Wt = Wt −

_t

0 θs ds, t ≤ T est un mouvement brownien.

10

Applications

Calcul d’esp´erances 1)Calcul de

E

B_t exp

_T

0 θ_sdB_s − 1 2

_T

0 θ_s²ds

pour t < T et θ fonction d´eterministe. On effectue un changement de probabilit´e

Lt = exp

t

0 θsdBs − 1 2

_t

0 θ_s²ds

et on calcule

E_P [BtLT] = E_P [BtLt] = E_Q [Bt] = E_Q B˜t + _t

0 θsds

= EQ

t

0 θs ds

=

_t

0 θs ds.

On en d´eduit que

E

Bt exp

_T

0 θsdBs − 1 2

_T

0 θ_s²ds

=

_t

0 θs ds

12

2) Calcul de

I = E exp− αB_t² + β² 2

_t

0 B_s²ds

o`u B est un brownien issu de a. On pose x = a² et on effectue le changement de probabilit´e

dP^β

dP = L^β_t = exp −β _t

0 Bs dBs − β² 2

_t

0 B_s²ds

.

En utilisant la formule d’int´egration par parties, L^β_t = exp− β

2 (B_t² − x − t) + β² 2

_t

0 B_s²ds

Sous P^β,

Bt = a + Wt − β

_t

0 Bs ds avec W P^β-Brownien.

Sous P^β,

Bt = a + Wt − β

_t

0 Bs ds avec W P^β-Brownien.

Donc B est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck sous P^β, et Bt une v.a. gaussienne d’esp´erance ae^−βt et de variance _2β¹ (1 − e^−2βt).

On en d´eduit que

I = E^β L⁻¹_t exp − αB_t² + β² 2

_t

0 B_s²ds

= E^β exp −αB_t² + β

2 (B_t² − x − t)

.

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Apr`es quelques calculs simples et longs, on obtient

I = (coshβt + 2αsinh βt/β)^−1/2 exp −xβ(1 + 2αcothβt/β) 2(cothβt + 2α/β)

. En faisant a = α = 0 et β = √

2λ, cette formule donne la transform´ee de Laplace de la norme L² du Brownien :

E exp −λ _t

0 B_s² ds

=

cosh√ 2λt

_−1/2 .

Temps de passage du Brownien drift´e

On consid`ere W un mouvement Brownien standard issu de 0 et T_b^µ = inf {t > 0, Wt + µt = b} ,

premier temps de passage au seuil b du Brownien drift´e W_t^µ = Wt + µt, pour µ ∈ R. On d´efinit

dP^µ = exp

µWt − µ²t/2 dP sur F_t^W.

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Ceci permet de calculer la densit´e de T_b^µ en ´ecrivant P[T_b^µ ≤ t] = W^(µ) [T_b ≤ t] = E

exp

µW_t − µ²t/2

11_{Tb≤t}

= E

exp

µWTb∧t − µ²(Tb ∧ t)/2

11_{Tb≤t}

= E

exp

µWTb − µ²Tb/2

11_{Tb≤t}

= e^µb E

exp −

µ²Tb/2

11_{Tb≤t}

= e^µb _t

0 e^−µ2s/2

|b|√e^−b2/2s 2πs³

ds

=

_t

0

√|b|

2πs³ exp− (b − µs)² 2s

ds,

Ceci entraˆıne par d´erivation que

P[T_b^µ ∈ dt] = √|b|

2πt³ exp − (b − µt)² 2t

dt.

Enfin, soit par calcul direct avec la densit´e, soit en utilisant une nouvelle fois la formule de Cameron-Martin, on peut calculer la transform´ee de Laplace de T_b^µ :

E[exp−λT_b^µ] = exp

µb − |b|

µ² + 2λ

.

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W^(ν)

exp

−λ²

2 Ty(X)

= E

exp

νWTy − ν² + λ²

2 Ty(W)

,

o`u W^(ν)(·) est l’esp´erance sous W^(ν). Le membre de droite est e^νyE exp

−1

2(ν² + λ²)Ty(W)

= e^νy exp

−|y|

ν² + λ²

.

Donc

W^(ν)

exp −λ²

2 Ty(X)

= e^νy exp

−|y|

ν² + λ²

.

En particulier, en posant λ = 0 dans le cas νy < 0 on obtient W^(ν)(T_y < ∞) = e^2νy ,

ce qui montre que la probabilit´e qu’un MB drift´e, de drift strictement positif a une probabilit´e strictement plus petite que 1 d’atteindre un niveau n´egatif Dans le cas νy ≥ 0, on a W^(ν)(T_y < ∞) = 1.

Th´ eor` eme de repr´ esentation pr´ evisible

Soit B un mouvement brownien et F sa filtration naturelle, soit Ft = σ(Bs, s ≤ t).

Repr´esentation pr´evisible

Soit M une (F_t)-martingale, telle que sup_t≤T E[M_t²] < ∞. Il existe un unique processus pr´evisible H v´erifiant E( _T

0 H_s² ds) < ∞, tel que

∀t ∈ [0, T], Mt = M0 +

_t

0 Hs dBs .

Si M est une (F_t)-martingale locale, il existe un unique processus pr´evisible H tel que

∀t M_t = M0 + _t

0 Hs dBs

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Ce r´esultat est important en finance pour exhiber un portefeuille de couverture.

Toutes les (F_t^B)-martingales locales sont continues.

Th´ eor` eme fondamental de la finance: Probabilit´ e risque neutre

Une opportunit´e d’arbitrage est une strat´egie d’investissement qui permet, `a partir d’une mise de fonds initiale nulle, d’obtenir une richesse terminale positive, non nulle.

Dans le cas d’un march´e o`u sont n´egoci´es un actif sans risque, c’est-`a-dire d’un actif dont le prix suit la dynamique

dS_t⁰ = S_t⁰rtdt et un actif risqu´e de dynamique

dS_t = S_t(µ_tdt + σ_tdB_t)

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Une strat´egie (ou portefeuille) d’investissement est un couple (π⁰, π) de processus adapt´es. La richesse associ´ee est X_t = π_t⁰S_t⁰ + π_tS_t.

La strat´egie est dite auto-finan¸cante si dXt = π_t⁰dS_t⁰ + πtdSt. Il en r´esulte que

dX_t = rX_tdt + π_t(dS_t − rS_tdt). Si l’on note X_t^a = RtXt et S_t^a = RtSt, on voit que

dX_t^a = πtdS_t^a .

Dans un mod`ele de prix d’actifs financiers, on doit veiller `a ce que le mocd`ele ne pr´esente pas d’opportunit´es d’arbitrage. Dans un march´e

comportant un actif sans risque, c’est-`a-dire d’un actif dont le prix suit la dynamique

dS_t⁰ = S_t⁰rtdt

le th´eor`eme fondamental montre que le march´e est sans arbitrage si et seulement si il existe une probabilit´e Q ´equivalente `a la

probabilit´e historique -celle sous laquelle on ´ecrit les dynamiques des prix- telle que les processus des prix actualis´es (soit S_tⁱ/S_t⁰) sont des

martingales. Cette probabilit´e est qualifi´ee de risque-neutre. La valeur actualis´ee de tout portefeuille autofinan¸cant est alors une martingale

(locale) sous toute probabilit´e risque neutre.

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Si elle est unique, la valeur d’un actif financier H, pay´e `a la date T, est calcul´ee comme l’esp´erance sous la probabilit´e risque neutre du payoff actualis´e, soit V<sub>t</sub> = E<sub>Q</sub>(HR<sub>T</sub>|F<sub>t</sub>), o`u R_T = _T

0 r_sds.

On parle alors de march´e complet. On montre alors que le th´eor`eme de repr´esentation pr´evible s’applique et qu’il existe π tel que dV_t^a = πtdS_t^a.

Si la probabilit´e risque neutre n’est pas unique, on parle de march´e

incomplet. Pour une probabilit´e Q, il n’existe pas, en g´en´eral de π tel que E_Q(HR_T|F_t) = x + _t

0 π_sdS_s^a.

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Changement de num´eraire

Il est parfois tr`es utile d’exprimer les prix en valeur relative par rapport `a un autre processus de prix.

Un num´eraire est un actif financier de prix strictement positif.

Si M est un num´eraire, on peut ´evaluer la valeur Vt d’une strat´egie en terme de ce num´eraire, soit Vt/Mt.

Supposons qu’il y a d actifs risqu´es dans le march´e, dont les prix

(S_t⁽ⁱ⁾; i = 1,· · ·, d, t ≥ 0) sont des processus d’Itˆo, et tels que S⁽¹⁾ est strictement positif.

Soit Vt = _d

i=1 π_tⁱS_t⁽ⁱ⁾ le valeur du portefeuille πt = (π_tⁱ, i = 1,· · ·, d).

Si (πt, t ≥ 0) est auto-financant, i.e. si dVt = _d

i=1 π_tⁱdS_t⁽ⁱ⁾, et si l’on choisit S_t⁽¹⁾ comme num´eraire, alors

dV_t¹ =

d i=2

π_tⁱdS_t^(i,1) o`u V_t¹ = Vt/S_t⁽¹⁾, S_t^(i,1) = S_t⁽ⁱ⁾/S_t⁽¹⁾ .

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On associe `a un num´eraire M le changement de probabilit´e suivant: Soit Q la probabilit´e risque neutre, telle que le processus (M_tR_t, t ≥ 0) est une Q-martingale. Soit Q^M d´efini par Q^M|Ft = (M_tR_t)Q|Ft.

Soit(Xt, t ≥ 0) le prix d’un actif financier et M un num´eraire. Le prix de X, dans le num´eraire M, soit (X_t/M_t,0 ≤ t ≤ T) est une Q^M-martingale.

Le calcul du terme E_Q(S_Te^−rT11_ST≥a) qui apparait dans la formule de Black et Scholes est imm´ediat: il suffit d’utiliser que, sous Q le processus Mt = Ste^−rt/S0 est une martingale strictement positive d’esp´erance 1, et de poser dQ = MtdQ

E_Q(S_Te^−rT11_ST≥a) = E_Q(S011_ST≥a)

= S0Q(ST ≥ a) . Il reste `a exprimer la dynamique de S sous Q.

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Un changement de num´eraire est ´egalement tr`es efficace pour calculer le prix d’une option d’´echange, qui est

E((S_T¹ − S_T² )⁺)

Probabilit´e forward-neutre

La valeur `a la date t d’un flux d´eterministe F re¸cu `a la date T est F P(t, T) = F E_Q[exp−

_T

t

r(u)du|F_t]. Si ce flux est al´eatoire, la valeur `a la date t de ce flux est

E_Q[F exp−

_T

t

r(u)du|F_t].

Par hypoth`ese A.O.A, le processus R(t)P(t, T) est une Q-martingale, son esp´erance est constante, ´egale `a P(0, T). Pour tout T, le processus

ζ_t^T := R(t)P(t, T) P(0, T) est une Q-martingale positive d’esp´erance 1.

Soit Q_T la mesure de probabilit´e d´efinie sur (Ω,F_T) par Q_T(A) = EQ(ζ_t^T1_A)

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pour tout A ∈ F_t. Lorsque T est fix´e, on notera ζt = ζ_t^T. La probabilit´e QT d´efinie sur FT, par dQT

dQ = ζ_t^T est appel´ee probabilit´e forward-neutre de maturit´e T.

Avec cette notation

EQT (F |Ft) = EQ(F ζT

ζ_t |Ft). Lorsque r est d´eterministe, Q_T = Q.

La mesure Q_T est la martingale mesure associ´ee au choix du z´ero-coupon de maturit´e T comme num´eraire.