V - M´ethodes num´eriques, algorithmes vectoriels

V - M´ethodes num´eriques, algorithmes vectoriels Bas´ees sur une repr´esentation en bits des ´etats de la recherche.

Dans ce cas, une approche naive est consid´er´ee, et rendue rapide grˆace `a la capacit´e des langages de programmation `a manipuler les mots machine (op´erations logiques et arithm´etiques simples) Algorithme vectoriel: Algorithme qui trouve un vecteur de sortie en appliquant un nb d’op´erations sur les vecteurs d’entr´ee,

ind´ependant de la longueur des vecteurs.

Mot machine: Vecteur binaire de 16, 32, 64 bits 0110001101001110

Op´erations unitaires sur les mots machine: x∨y,x∧y,¬x,x << a (d´eplacement ver la gauche),x >> a(d´eplacement vers la droite).

Recherche avec mismatchs - Algorithme Shift-Add:

(Baeza-Yates-Gonnet, 1992)

Recherche deP dansT avec au pluskmismatch.

Pour toute pos. j deT, vecteurEj de taillemtel queEj[i]

contient le nombre d’erreurs entreP[1..i] etT[j−i+ 1..j].

Occurrence de P finissant `a la positionj ssiE_j[m]≤k.

Phase de pr´etraitement: Pour touta∈Σ, calculer le vecteurSa:

Pour touti, 1≤i≤m, Sa[i] =







0 sia=pi

1 sinon Alors,Ej+1[i] =Ej[i−1] + Stj+1[i]

a b

a b b a c a b b a b b a a

a b d a b b a b b

5 6

T:

E[5]: 2 4 2 0 1

a b a b b a b b a a

4 2 0 1 0 +1 1 0 0 1

5 3 0 1 1 E[6]:

a b a b b a b b a

a b

b a c a

0 0 1 1 1

S

a b d a b b a b b

5 6

T:

4 2 0 1 0

5 6

T:

0

a b d a b b a b b 4 2 0 1

b

P:

b: Nombre de bits n´ecessaires pour repr´esenter chaque ´etat individuel.

SiE_j etS_a cod´es chacun sur un mot machine:

E_j+1 = (E_j << b) + S_tj+1

Valeurs possibles deEj[i]: 1,· · ·, m=⇒b=⌈log2(m+ 1)⌉

En fait, il suffit de repr´esenter les valeurs de 1 `ak+ 1

=⇒b=⌈log2(k+ 1)⌉+ 1

Un vecteur suppl´ementaireR_j pour les “retenues” des additions est n´ecessaire.

SoitM le vecteur dem.bbits: 2^b2^b · · ·2^b.

A chaque position` j dansT, les vecteursE_j+1etR_j+1sont calcul´es

`

a partir deEj etRj de la fa¸con suivante:

• E_j+1= (E_j << b) +S_tj+1;

• I =Ej+1 ∧ M;

• Ej+1=Ej+1 ∧ ¬I;

• R_j+1= (R_j << b)∨ I

Exemple:

Σ ={a, b, c, d},P =abbacetk= 1.

Alorsb=⌈log2(2)⌉+ 1 = 2. TableS:

x a b c d

Sx 10110 11001 01111 11111

Etats successifs lors de la recherche de´ P dans le texte T =abdabbabbac:

T a b d a b b a b b a c

Ej 10110 10101 10101 11100 00001 11011 00000 11001 01011 00000 01111 Rj 22220 22200 22020 20220 22200 22000 20220 02200 22000 20220 02200

* *

Complexit´e:

|Σ|=c.

O(⌈^mb_ω ⌉): temps n´ecessaire pour effectuer un nombre constant d’op´erations sur un ´etat de longueurmbrepr´esent´e sur un mot machine de longueurω.

• Calcul deS: tempsO ⌈^mb_ω ⌉(m+c)

et espace O(⌈^mb_ω ⌉c).

• Phase de recherche: temps dans le pire des cas et en moyenne enO(⌈^mb_ω ⌉n)

Lorsquemb≤ω, complexit´e totale en temps enO(n+m+c)et complexit´e en espace enO(c)

Lorsque le nombre de mots machine utilis´e n’est pas trop grand, Shift-Add reste efficace en pratique.

Algorithme Shift-Or pour la recherche exacte:

Pour touti, 1≤i≤m, Ej[i] =







0 siP[1 :i] =T[j−i+ 1 :j]

1 sinon

Alors: E_j+1= (E_j << b) ∨ S_tj+1

Sim≤w (32 ou 63), complexit´eO(n) en tempsetO(1) en espace.

Algorithme Shift-And pour la recherche avec erreurs:

Utilis´e dans le programmeagrepde UNIX.

Phase de pr´etraitement: Pour touta∈Σ, calculerC_a: inverse (voir Hirschberg) du vecteur caract´eristique deadansP.

Exemple: SiP=abbac, alorsCa= 01001,C_b= 00110,Cc= 10000 et C_d= 00000.

Phase de recherche: Utilisek+ 1 vecteursE_j⁰, E¹_j,· · ·E^k_j:

Pour touti, E_j^d[i] =







1 siP[1 :i] =T[j−i+ 1 :j] `aderreurs pr`es 0 sinon

Exemple:SiT=abcbcabbaetP=abbac, alorsE¹

5= 00001 etE²

5= 10111

Initialisation: Pour toutd,E^d₀= 0^m−d1^d

Pour queP[1..i] s’aligne avecT[j−i+ 2..j+ 1] `aderreurs pr`es, 4 cas possibles:

j−i+2

i 1 i−1

j+1

m j

T:

P:

• P[1..i−1] s’aligne avecT[j−i+ 2..j] avec au plusderreurs, et Pi=Tj+1−→E_j+1^d =E_j^d << 1 ∧ CTj+1

• P[1..i−1] s’aligne avecT[j−i+ 2..j] avec au plusd−1 erreurs (cas d’un match ou d’un mismatch)−→E_j+1^d =E_j^d−1 << 1

• Suppression dePi: P[1..i−1] s’aligne avecT[j−i+ 2..j+ 1]

avec au plusd−1 erreurs−→E_j+1^d =E_j+1^d−1 << 1

• Insertion deTj+1: P[1..i] s’aligne avecT[j−i+ 2..j] avec au plusd−1 erreurs−→E_j+1^d =E_j^d−1

Et donc, pour toutd >0:

E_j+1^d = E^d_j << 1

∧ Ctj+1

∨ E^d−_j ¹ << 1

∨ E_j+1^d−1 << 1

∨ E_j^d−1

= E^d_j << 1

∧ CTj+1

∨

E^d−_j ¹ ∨ E_j+1^d−1

<< 1

∨ E_j^d−1

Pour d= 0:

E_j+1⁰ = E_j⁰ << 1

∧ C_Tj+1

Complexit´e: La phase de recherche prend un temps enO(⌈^m_ω⌉kn) Lorsquem≤ω, temps total de Shift-And enO(kn+m+c)et complexit´e en espace enO(c).

Exemple:

On rechercheannualdans le texteannealing`ak= 2 erreurs pr`es.

Au d´epart: E⁰= 000000,E¹= 000001,E²= 000011.

E₆ ⁰ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 : 1

E₆ ¹

E₆ ²: 1 0 0 1 1 1

P:

a n n u a l a n n u a n n u a a n n a a n T: a n n e a l i n g

6 7

:

P:

a n n u a n n u a a n n a a n

T: ^{6 7}

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

a n n e a l i n g

n n u l a

a 0

0 0 0 0 0 S_i E⁰

7=(000000 << 1) & 000000 = 000000 E¹

7=((100011 << 1) & 000000) | (000000 << 1) | (000000 << 1)

| 000000 = 000001

E²

7=((100111 << 1) & 000000) | (100011 << 1) | (000001 << 1)