CM08/P18 Introduction aux m´ethodes num´eriques d’optimisation S. Mottelet

(1)

CM08/P18

Introduction aux m ´ethodes num ´eriques d’optimisation

S. Mottelet

Universit ´e de Technologie de Compi `egne

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1 Probl `emes sans contrainte Motivations

Notions fondamentales M ´ethodes et algorithmes

2 Probl èmes avec contraintes Motivations, Exemples Elements de th éorie M éthodes et algorithmes

3 Probl `emes d’optimisation en r ´egime transitoire Motivations

Exemple Cas g ´en ´eral

(3)

(4)

1. Motivations

1.1. Formulation g én érale des probl èmes d’optimisation

Forme standard

minimiser

x∈K f(x)

K ={x ∈Rⁿ,g(x)≤0,h(x) =0}

I f:Rⁿ−→R, g:Rⁿ−→R^m, h:Rⁿ−→R^p, continues

I g(x)≤0 : contraintes d’in ´egalit ´e

I h(x) =0 : contraintes d’ ´egalit ´e

Probl `eme sans contrainte⇐⇒K =Rⁿ

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1.2. Exemples

Optimisation d’un r ´eservoir

d

L

Le volumeV étant fix é, d éterminerdetLtels que le co ût de fabrication f(d,L) =c1πdL+c2πd²

2

soit minimal, o `uc1,c2sont les co ˆuts unitaires des parties cylindrique et plane.

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1.2. Exemples

Identification de param `etres

D étermination de l’enthalpie et de l’entropie de r éaction dans un processus de sorption d’hydrog ène

I Apr ès avoir établi une pression initiale, on fait varier la temp érature par paliers{T1, . . . ,Tn}et on observe la pression obtenue à l’ équilibre {P1, . . . ,Pn}.

I D ´eterminer∆Het∆Spour ajuster le mod `ele P=Patmexp

∆H

RT +∆S R

minimiser

∆H,∆S∈R f(∆H,∆S) =

n

X

i=1

exp

∆H RTi

+∆S R

− P_i Patm

2

probl `eme de moindres carr ´es

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1.2. Exemples

Optimisation de r ´eacteurs

On consid `ere 4 r ´eacteurs de volumeVi,i =1, . . . ,4,P4

i=1Vi =20,

parfaitement m élang és et à l’ état stationnaire. L’esp èce dont la concentration est not éeCr éagit à la vitesser =−kC^αdans chaque r éacteur. D éterminer les valeurs deVi,i =1, . . . ,4 rendant minimale la concentrationC4.

minimiser

V∈K f(V) =C₄ IciK ={V ∈R⁴,V_i >0,P4

i=1V_i =20}etCest solution de 0=q(Ci−1−C_i)−kV_iC_i^α,i =1. . .4 Pr ´esence de variables non ind ´ependantes

(8)

2. Notions fondamentales

2.1. El ´ements de calcul diff ´erentiel

DansRⁿon notex =





 x₁

... x_n





,x^>= (x1, . . . ,xn) Produit scalaire, norme :x^>y =Pn

i=1x_iy_i,kxk= (x^>x)^1/2

g:Rⁿ→R^md ´efine parg(x) = (g₁(x), . . . ,g_m(x))^>estdiff ´erentiableenx s’il existe une matriceg⁰(x)de taillem×ntelle que

g(x+h) =g(x) +g⁰(x)h+khk(h)

I [g⁰(x)]ij=∂gi

∂xj

(x)

I Approximation def⁰(x)?

I Cas o `um=1,f:Rⁿ→R, on note∇f(x) =f⁰(x)^>le gradient def.

(9)

2.1. El ´ements de calcul diff ´erentiel

Matrice hessienne

Dans le cas o ùm=1,f :Rⁿ→Restdiff érentiable deux foiss’il existe une matricen×nsym étrique not é∇²f(x)telle que

f(x+h) =f(x) +∇f(x)^>h+1

2h^>∇²f(x)h+khk²(h)

I On a[∇²f(x)]ij = ∂²f

∂xi∂xj

(x)

(10)

2.1. El ´ements de calcul diff ´erentiel

Convexit ´e

On dit queK ⊂Rⁿestconvexesi

∀x,y ∈K,∀λ∈[0,1], λx+ (1−λ)y ∈K

objet convexe objet non convexe

x y

(11)

2.1. El ´ements de calcul diff ´erentiel

Convexit ´e

On dit queg⊂Rⁿ→R^mestconvexesurK si

∀x,y ∈K, ∀λ∈[0,1],f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y) etstrictement convexesi

∀x,y ∈K,x 6=y,∀λ∈]0,1[,f(λx+ (1−λ)y)< λf(x) + (1−λ)f(y).

I Casm=1

x y x y

I K={x∈Rⁿ,g(x)≤0,h(x) =0}est convexe sigest convexe ethaffine.

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2.1. El ´ements de calcul diff ´erentiel

Convexit ´e, lien avec la matrice Hessienne

Une matrice sym étriqueAestd éfinie positivesix^>Ax >0 pour tout x 6=0,semi-d éfinie positivesix^>Ax ≥0 pour toutx 6=0. On note respectivementA>0 etA≥0.

A>0⇐⇒les valeurs propres deAsont strictement positives A≥0⇐⇒les valeurs propres deAsont positives

f ⊂Rⁿ→Rdeux fois diff ´erentiable est convexe si et seulement si

∇²f(x)≥0, strictement convexe si∇²f(x)>0.

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2.1. El ´ements de calcul diff ´erentiel

Convexit ´e, lien avec la matrice Hessienne

Exemple :f(x,y) =x²+2y²+x+y,∇²f(x,y) =

2 0

0 4

>0

-1 0 1 2

1 3

1 4

5

0 0

-1 -1 -1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

La convexit é est une notion fondamentale pour caract ériser l’existence et l’unicit é des solutions des probl èmes d’optimisation.

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2.2. Conditions d’optimalit ´e (sans contrainte)

Condition n ´ecessaire

Soitf :Rⁿ→Rdiff ´erentiable etˆx tel que∀x ∈Rⁿ,f(ˆx)≤f(x). Alors

∇f(ˆx) =0.

Cette condition n’est pas suffisante !

0 1 0.5

1 1

1.5

0 2

0 -1 -1

-2 1 -1.5

1 -1

-0.5

0 0

0 -1 -1

-1 1 -0.5

0.5 0 0.5

1

0 0.5

1

-0.5 0

-1 -1 -0.5

f(x,y) =x²+y² f(x,y) =−x²−y² f(x,y) =x²−y²

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2.2. Conditions d’optimalit ´e (sans contrainte)

Condition suffisante

Soitf :Rⁿ→Rdiff ´erentiable etˆx tel que∇f(ˆx) =0. Sif est convexe alorsxˆest un minimum global def :∀x ∈Rⁿ,f(ˆx)≤f(x).

Si de plusf est strictement convexe, alorsxˆest unique.

Dans le cas g én éral, on d éfinit la notion deminimum local.

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2.2. Conditions d’optimalit ´e (sans contrainte)

Minimum local

On dit quex^∗est unminimum localdef s’il existeδ >0 tel que

∀x tel quekx−x^∗k< δ, f(x^∗)<f(x)

Soitf deux fois diff ´erentiable. Si∇f(x^∗) =0 et∇²f(x^∗)>0 alorsx^∗est un minimum local def.

La plupart des algorithmes d’optimisation ont pour but de rechercher un minimum local def!

(17)

3. M ´ethodes pour les probl `emes sans contraintes

3.1. M ´ethode du gradient

Sif :Rⁿ−→Rest diff érentiable, un minimum localx^∗peut être trouv é avec unem éthode de descente: étant donn éx₀, pour toutk >0

1 choisir une directiond_k telle que∇f(x_k)^>d_k <0

2 choisir un pasρ_k, tel que

x_k+1=x_k +ρ_kd_k, v ´erifie (entre autres)

f(x_k+1)<f(x_k).

Le choixd_k =−∇f(x_k)donne lam ´ethode du gradientousteepest descent method

En pratique on essaye d’emp ˆecher queρ_k soit trop petit tout en assurant une d ´ecroissance suffisante.

(18)

3.1. M ´ethode du gradient

Recherche lin ´eaire

M ´ethode du gradient `a pas fixe : on choisitρ >0 une fois pour toutes et x_k₊₁=x_k −ρ∇f(x_k).

Siρest suffisamment petit et sif poss ède certaines propri ét és, alors x_k →x^∗.

f(x) =x₁²+x₂²−x1x2−x1−x2

ρ=0.2

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3.1. M ´ethode du gradient

Recherche lin ´eaire

M ´ethode du gradient `apas optimal: on choisitρ_k >0 tel que

∀ρ >0, f(x_k−ρ_k∇f(x_k))≤f(x_k−ρ∇f(x_k)) Sif poss ède certaines propri ét és, alorsx_k →x^∗.

f(x) =x₁²+x₂²−x₁x₂−x₁−x₂

(20)

3.1. M ´ethode du gradient

Limitations

La m éthode du gradient est tr ès lente lorsque∇²f(x^∗)estmal conditionn éeλ_nλ₁

Fonction de Rosenbrock :f(x) = (1−x1)²+100(x2−x₁²)²

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3.2. M ´ethodes de Newton et de quasi-Newton

M ´ethode de Newton

L’id ée de la m éthode de Newton consiste à lin éariser enxk le syst ème d’ équations non-lin éaires∇f(x) =0 :

∇f(xk+h) =∇f(xk) +∇²f(xk)h+khk(h),

puis à d éfinirxk+1=xk+ho ùhv érifie le syst ème d’ équations lin éaires

∇²f(x_k)h=−∇f(x_k).

Cette m éthode prend en compte lam étrique localegr âce à∇²f(x_k).

(22)

3.2. M ´ethodes de Newton et de quasi-Newton

M ´ethodes de quasi-Newton

x_k+1=x_k−

∇²f(x_k)⁻¹

∇f(x_k), Si∇²f(xk)>0 alors

d_k =−

∇²f(x_k)⁻¹

∇f(x_k)

est une direction de descente et le pas de la m ´ethode vaut toujoursρ=1.

En pratique on remplace∇²f(x_k)par uneapproximationH_k >0 mise à jour à partir des valeurs successives def(x_k)et de∇f(x_k), qui si la m éthode converge v érifie

lim

k→∞H_k =∇²f(x^∗)

et on ajoute une recherche du pas initialis ´ee avecρ₀=1.

x_k+1=x_k−ρ_kH_k⁻¹∇f(x_k).

(23)

4. Logiciels

MATLAB

fminunc: m ´ethode BFGS.

Exemple pour la recherche du minimum de la fonction de Rosenbrock

options = optimoptions('fminunc','SpecifyObjectiveGradient',true,...

'display','iter');

[x,fval,flag,out,g,H] = fminunc(@rosenbrock,[0;0],options);

function [f,g]=rosenbrock(x)

f=[(1-x(1))ˆ2+(10*(x(2)-x(1)ˆ2))ˆ2];

g=[-2*(1-x(1))+200*(-2*x(1))*(x(2)-x(1)ˆ2) 200*(x(2)-x(1)ˆ2)];

end

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4. Logiciels

MATLAB

>> rosen

First-order Iteration Func-count f(x) Step-size optimality

0 1 1 2

1 4 0.771191 0.0817342 5.34

2 5 0.610657 1 6.73

3 6 0.522449 1 7.11

4 8 0.261628 0.707498 1.88

(...)

16 23 1.36218e-06 1 0.00801

17 24 7.54543e-07 1 0.0304

18 25 3.43971e-09 1 0.00219

19 26 1.54256e-11 1 7.13e-05

20 27 4.67902e-15 1 1.03e-06

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the optimality tolerance.

On notera la valeur asymptotique du pasρ=1 !

(25)

(26)

1. Motivations, Exemples

1.1 Un exemple de programme lin ´eaire

CHAPTER 2: Developing Models for Optimization 7 1

EXAMPLE 2.10 LINEAR MATERIAL BALANCE MODELS In many cases in which optimization is applied, you need to determine the allocation of material flows to a set of processes in order to maximize profits. Consider the process diagram in Figure E2.10.

FIGURE E2.10

Flow diagram for a multiproduct plant.

Each product (E, F: G) requires different (stoichiometric) amounts of reactants according to the following mass balances:

Reactants Product (1-kg product)

Prepare a model of the process using the mass balance equations.

Solution. lbelve mass flow variables can be defined for this process. Let x,, x2, x,

2A+B→E,2A+B→F,3A+2B+C→G

R ´eactant

Max. dispo.

(kg/j.)

Co ˆut (euro/kg)

A 40000 1.5

B 30000 2.0

C 25000 2.5

Proc éd é Produit R éactants

Co ˆut prod.

(euro/kg)

Prix de vente (euro/kg)

1 E ²₃A,¹₃B 1.5 4

2 F ²₃A,¹₃B 0.5 3.3

3 G ¹₂A,¹₃B,¹₆C 1 3.8

But : maximiser le profit en euro/j.

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1. Motivations, Exemples

1.1. Un exemple de programme lin ´eaire

CHAPTER 2: Developing Models for Optimization 7 1

EXAMPLE 2.10 LINEAR MATERIAL BALANCE MODELS In many cases in which optimization is applied, you need to determine the allocation of material flows to a set of processes in order to maximize profits. Consider the process diagram in Figure E2.10.

FIGURE E2.10

Flow diagram for a multiproduct plant.

Each product (E, F: G) requires different (stoichiometric) amounts of reactants according to the following mass balances:

Reactants Product (1-kg product)

Prepare a model of the process using the mass balance equations.

Solution. lbelve mass flow variables can be defined for this process. Let x,, x2, x, be the mass input flows of A to each process. Similarly let x4, x5, x6, and x7 be the indi- vidual reactant flows of B and C, and define x,, x9, and x,, as the three mass product flows (E, E G). Let x,, and x12 be the total amounts of A and B used as reactants (C

Bilan de masse (x₁, . . . ,x₁₂=flux en kg/j.) :

A=x11=x1+x2+x3

B=x₁₂=x₄+x₅+x₆ C=x₇= 1

3x₁₀

x₁= ²₃x₈,x₂= ²₃x₉,x₃= ¹₂x₁₀ x4= ¹₃x8,x5= ¹₃x9,x6= ¹₆x10

Contraintes sur les r ´eactants :x₁₁≤40000,x₁₂≤30000,x₇≤25000 Demande du march ´e :x₈≥10000,x₉≥10000,x₁₀≥10000

Profit :

f(x) = (4E+3.3F +3.8G)−(1.5A+2B+2.5C)−(1.5E+0.5F+G)

=2.5x₈+2.8x₉+2.8x₁₀−1.5x₁₁−2x₁₂−2.5x₇

S. Mottelet (UTC) CM08/P18 27 / 49

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1. Motivations, Exemples

1.2. Un exemple de programme non lin ´eaire

R éacteurs parfaitement m élang és et à l’ état stationnaire. L’esp èce dont la concentration est not éeCr éagit à la vitesser=−kC^αdans chaque r éacteur.

minimiser

C,V∈R⁴ f(C,V) =C₄, sous les contraintes :

V_i ≥0,C_i ≥0,i =1. . .4,

4

X

i=1

V_i =20,

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2. Elements de th ´eorie

2.1. Remarque introductive

Dans l’exemple de programme lin ´eaire, la fonctionf(x)est lin ´eaire f(x) =2.5x8+2.8x9+2.8x10−1.5x11−2x12−2.5x7

et on a

∀x ∈R¹², ∇f(x) = (0,0,0,0,0,0,0,2.5,2.8,2.8,−1.5,−2,−2.5)^>

donc la solutionxˆne peut pas v érifier∇f(ˆx) =0 ! Dans le probl ème d’optimisation à r ésoudre

minimiser

x∈K

l’ensemble admissibleK est diff ´erent deR¹²,

Les conditions d’optimalit é sont n écessairement plus compliqu ées...

(30)

2. Elements de th ´eorie

2.2. Existence d’une solution dans le cas g ´en ´eral

Sif :K ⊂Rⁿ→Rest continue et siK est ferm ´e et born ´e, alors il existe xˆ∈K tel que

∀x ∈⊂Rⁿ, f(ˆx)≤f(x).

Exemple :f(x) =x etK ={x ∈R,1≥x ≥ −1}

La solution est sur la fronti `ere deK!

Que se passe-t-il pourf(x) =x²etK ={x ∈R,1≥x ≥ −1}?

Les conditions d’optimalit é sans contraintes sont n écessairement un cas particulier des conditions d’optimalit é avec contraintes

(31)

2. Elements de th ´eorie

2.3. Probl èmes avec contraintes d’ égalit é lin éaires

Un exemple tr `es simple

minimiser

x∈K f(x) =x₁²+x₂², avecK ={x ∈R²,x₁+x₂−1=0}.

x1+x2=1⇔(1,1) x1

x2

−1 A l’optimumxˆ= (0.5,0.5)^>, il existe λ6=0 tel que

∇f(ˆx) =−

1

λ (le signe moins est arbitraire)

(32)

2. Elements de th ´eorie

Th ´eor `eme de Lagrange

Soientf :Rⁿ→Rdiff ´erentiable,Aune matricem×n,m≤n,b∈R^met K ={x ∈Rⁿ,Ax =b}. Siˆx ∈K v ´erifie

∀x ∈K,f(ˆx)≤f(x), alors il existeλˆ∈R^mtel que

∇f(ˆx) +A^>λˆ=0.

Si de plusrangA=malorsλˆest unique.

Si on d ´efinit leLagrangien

L(x, λ) =f(x) +λ^>(Ax−b),

alors lacondition n écessaire d’optimalit éci-dessus s’ écrit aussi

(33)

2. Elements de th ´eorie

Condition n ´ecessaire et suffisante pour un optimum local : S’il existeˆx ∈K etˆλ∈R^mtels que

Axˆ=b,

∇f(ˆx) +A^>λˆ=0,

∇²_xxL(ˆx,λ)ˆ >0, alorsxˆest un minimum local strict.

ici∇²_xxL(ˆx,λ) =ˆ ∇²f(ˆx)!

(34)

2. Elements de th ´eorie

2.4. Probl èmes avec contraintes d’ égalit é non-lin éaires

f :Rⁿ→R,h:Rⁿ→R^mdiff ´erentiables deux fois.

minimiser

x∈K f(x)

o `uK ={x ∈Rⁿ,h(x) =0}

Condition n ´ecessaire et suffisante pour un optimum local : S’il existeˆx ∈K etˆλ∈R^mtels que

h(ˆx) =0,

∇f(ˆx) +∇h(ˆx)ˆλ=0,

∇²_xxL(ˆx,λ)ˆ >0, alorsxˆest un minimum local strict.

> ∇h(x) = ⁰ ^>

(35)

2. Elements de th ´eorie

2.5. Probl èmes avec contraintes d’in égalit é

Il est toujours possible de transformer un probl ème avec contraintes d’ égalit é et d’in égalit é sous la forme standard

f :Rⁿ→R,h:Rⁿ→R^m minimiser

x∈K f(x)

K ={x ∈Rⁿ, h(x) =0,x ≥0}.

Exemple

x1≥0,x2≥0,x1+x2−1≤0 En ajoutant lavariable d’ ´ecartx3on obtient

x1≥0,x2≥0,x3≥0, x1+x2+x3−1=0

(36)

2. Elements de th ´eorie

2.5. Probl èmes avec contraintes d’in égalit é

Les contraintesx1≥0, . . . ,xn≥0 ne sont pas toutesactivesenˆx! Lagrangien

L(x, λ, µ) =f(x) +λ^>h(x)−µ^>x Conditions n ´ecessaires de Kuhn et Tucker

Sixêst solution du probl ème standard avec contraintes d’in égalit é, alors il existe(ˆλ,µ)ˆ tels que

∇f(ˆx) +∇h(ˆx)ˆλ−µˆ=0, ˆ µ≥0, ˆ

µ_ixi =0,i =1. . .n

Conditions de compl émentarit é: si une in égalit é n’est pas active, i.e.

xˆ_i >0, alorsµˆ_i =0.

Le signe deµ_i se justifie par l’absurde.

(37)

3. M ´ethodes et algorithmes

3.1. M ´ethode SQP

Cas des contraintes d’ ´egalit ´e

La m éthode SQP (Sequential Quadratic Programming) consiste à appliquer la m éthode de Newton sur le syst ème d’optimalit é (les inconnues sontx etλ) :

h(x) =0,

∇f(x) +∇h(x)λ=0,

En pratique on utilise une m ´ethode de Quasi-Newton avec une approximation d ´efinie positive du Hessien du Lagrangien.

Chaque it ération de la m éthode SQP peut être vue comme la r ésolution d’un probl ème d’optimisation d’une fonction quadratique avec contraintes d’ égalit é lin éaires .

(38)

3. M ´ethodes et algorithmes

3.2. M ´ethode de points int ´erieurs, algorithme primal

Cas g én éral o ù les contraintes sonth(x) =0 etx ≥0.

La m éthode de points int érieurs consiste à r ésoudre (par exemple avec la m éthode SQP) la suite de probl èmes

minimiser

x∈K B(x,tk) =f(x)−tk n

X

i=1

logxi

K ={x ∈Rⁿ, h(x) =0}.

o `u(t_k)est une suite v ´erifiantt_k >0 ett_k →0.

B(x,t)est une fonctionbarri `ere

L’ ´ecriture des conditions d’optimalit ´e permet de montrer que lim

k→∞

tk

x_i(t_k) = ˆµ_i.

(39)

3. M ´ethodes et algorithmes

3.2. M ´ethode de points int ´erieurs, algorithme primal-dual

Une solution pourt >0 du probl ème avec barri ère v érifie

∇f(x) +∇h(x)λ−tX⁻¹e=0, h(x) =0,

o ùX = diag(x)ete= (1, . . . ,1)^>. En introduisant une nouvelle variable dualeµtelle queXµ=teon obtient le syst ème d’ équations

∇f(x) +∇h(x)λ−µ=0, Xµ=te, h(x) =0.

Algorithme primal-dual : on consid ère une suite(tk)→0 et pour chaque valeur detk on applique la m éthode de Newton à la r ésolution en(x, λ, µ) du syst ème ci-dessus.

(40)

3. M ´ethodes et algorithmes

3.3. M ´ethodes utilis ´ees dans MATLAB

Dans MATLAB la fonctionfminconpropose (entre autres) la m éthode de points int érieurs (algorithme primal-dual) et la m éthode SQP. La fonctionlinprogest d édi ée aux programmes lin éaires et utilise par d éfaut une m éthode de points int érieurs.

La forme g én érale des probl èmes pouvant être r ésolus est la suivante : minimiser

x∈Rⁿ f(x), sous les contraintes

Ax ≤b, A_eqx =b_eq,

li ≤xi ≤ui,i =1. . .n, g(x)≤0,

h(x) =0.

(41)

(42)

1. Motivations

Probl `eme de commande optimale

minimiser

u∈C(0,T), θ∈R^p J(X(tf)) sous les contraintes

d

dtX(t) =f(X(t),u(t), θ),t ∈[0,tf] contraintes suru

contraintes surθ contraintes surX

L’ évaluation deJn écessite de r ésoudre une équation diff érentielle L’une des deux inconnues du probl ème est une fonction

(43)

1. Motivations

Hypoth `ese de travail : la fonctiont7→u(t)appartient `a un espace de dimension finie

u(t) =

N

X

k=1

u_kφ_k(t),

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

u(t)

u1

u2

u3

u5

u4

(44)

1. Motivations

minimiser

θ∈R^p J(X(tf)) sous les contraintes

d

dtX(t) =f(X(t), θ),t∈[0,t_f] contraintes surθ

Quandpest grand le calcul approch é des d ériv ées deJ est tr ès co ûteux Le calcul des d ériv ées exactes est n écessaire !

(45)

2. Exemple

2.1 R éacteur batch avec deux r éactions parall èles

A−→^k¹ B, A−→^k² C, k₁=k₁₀exp

−E1

RT

, k₂=k₂₀exp

−E2

RT

,

Cin ´etique sur[0,t_f]:

d

dtA=−(k₁+k2)A, A(0) =A0, (1)

d

dtB=k1A, B(0) =0, (2)

o `u on a not ´eA,Bles concentrations respectives.

But : maximiser la concentrationB(t_f)en agissant sur T

(46)

2. Exemple

2.1 R éacteur batch avec deux r éactions parall èles

En posant

A(t) =A₀a(t), B=A₀b(t), β= E₂

E₁, α=k₂₀ k₁₀^β , on peut ´ecrire (1)-(2) sous la forme ´equivalente

d

dta=−f(k₁)a, a(0) =1, (3)

d

dtb=k₁a, b(0) =0, (4)

o `u on a not ´ef(k₁) =k₁+αk₁^β.

Optimiser par rapport `aT ⇐⇒Optimiser par rapport `ak₁

(47)

2. Exemple

2.2 R éacteur batch isotherme avec deux r éactions parall èles

Probl `eme d’optimisation (cas isotherme) minimiser

k1∈R⁺ J(k₁) =−b(t_f) sous les contraintes

d

dta=−f(k1)a, a(0) =1, (5)

d

dtb=k1a, b(0) =0, (6)

I Calcul deJ⁰(k1):il suffit de d ´eriver (5)-(6) par rapport `ak1

Attention,a(t)etb(t)sont des fonctions dek1!

(48)

2. Exemple

2.2 R éacteur batch isotherme avec deux r éactions parall èles

Lesfonctions de sensibilit ´e

Sa(t) = ∂a(t)

∂k1

, Sb(t) =∂b(t)

∂k1

sont obtenues en r ésolvant simultan ément les équations obtenues apr ès d érivation

d

dta=−f(k1)a, a(0) =1, (7)

d

dtb=k₁a, b(0) =0, (8)

d

dtS_a=−f(k₁)S_a−f⁰(k₁)a, S_a(0) =0, (9)

d

dtS_b=k1Sa+a, S_b(0) =0. (10) et au final,

J⁰(k1) =−∂b(tf)

∂k1

=−S_b(tf).

(49)

3. Cas g ´en ´eral

Matrice de sensibilit ´e

X(t)∈Rⁿetθ∈R^p(param `etres)

La matricen×pde sensibilit ´eS(t), d ´efinie par [S(t)]_i,j = ∂Xi(t)

∂θ_j ,

est obtenue par r ésolution du syst ème den+np équations diff érentielles : dX

dt =f(X, θ), dS

dt = ∂f

∂X(X, θ)S+∂f

∂θ(X, θ).

Elle permet de calculer le gradient par rapport `aθde toute fonction

économique calcul ée à partir deX.