PROBL` EMES D’´ EVOLUTION

PROBL` EMES D’´ EVOLUTION

Exercice 8.2.1 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de R^N. Soit un temps final T > 0, une donn´ee initialeu₀ ∈L²(Ω), et un terme sourcef ∈L²(]0, T[;L²(Ω)). On consid`ere la solution u de l’´equation







∂u

∂t −∆u=f p.p. dans Ω×]0, T[ u= 0 p.p. sur ∂Ω×]0, T[ u(x,0) = u₀(x) p.p. dans Ω.

(8.1)

1. En supposant que la solutionude (8.1) est assez r´eguli`ere dans]0, T[×Ω, montrer que, pour tout t ∈[0, T], on a l’´egalit´e d’´energie suivante

1 2

Z

Ω

u(x, t)²dx+ Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dx ds = 1 2

Z

Ω

u₀(x)²dx +

Z t 0

Z

Ω

f(x, s)u(x, s)dx ds.

(8.2)

2. D´emontrer la propri´et´e suivante, appel´ee “lemme de Gronwall” : si z est une fonction continue de [0, T] dans R⁺ telle que

z(t)≤a+b Z t

0

z(s)ds ∀t ∈[0, T], o`u a, bsont deux constantes positives ou nulles, alors

z(t)≤ae^bt ∀t∈[0, T].

3. En appliquant le lemme de Gronwall avec z(t) = ¹₂R

Ωu(x, t)²dx, d´eduire de (8.2) que, pour tout t ∈[0, T],

1 2

Z

Ω

u(x, t)²dx+ Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dx ds ≤ e^t 2

Z

Ω

u₀(x)²dx +

Z T 0

Z

Ω

f(x, s)²dx ds

.

(8.3)

135

Correction.

1. En int´egrant le produit de l’´equation d’´evolution par u sur Ω, on obtient Z

Ω

∂u

∂tu−∆uu

dx= Z

Ω

f udx.

Par int´egration par partie et en ´echangeant l’op´erateur de d´erivation en temps et int´egrale, il vient

d dt

1 2

Z

Ω

u²dx

+ Z

Ω

|∇u|²dx= Z

Ω

f u dx.

Il suffit alors d’effectuer une int´egration en temps pour obtenir l’´egalit´e d´esir´ee.

2. Soit v(t) =a+bRt

0 z(s)ds. La fonction v est de classe C¹ et v⁰(t) =bz(t)≤bv(t).

Ainsi,

(v(t) exp(−bt))⁰ = exp(−bt)(v⁰(t)−bv(t))≤0 et v(t) exp(−bt)≤v(0) =a. Comme z(t)≤v(t), on a montr´e que

z(t)≤aexp(bt).

3. On pose

z(t) = 1 2

Z

Ω

|u(x, t)|²dx, a= 1

2 Z

Ω

|u0(x)|²dx+ Z T

0

Z

Ω

|f(x, s)|²dxds

et b = 1. D’apr`es l’´egalit´e d’´energie ´etablie pr´ec´edemment et en utilisant l’in´egalit´ef u≤(|f|²+|u|²)/2, on a pour tout 0< t < T,

z(t) ≤ z(t) + Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dxds

≤ 1 2

Z

Ω

|u₀(x)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

|f(x, s)|²+|u(x, s)|²dxds

≤ a+ Z t

0

z(s)ds.

D’apr`es le lemme de Gronwall, z(t) ≤ ae^t. En int´egrant cette in´egalit´e, on obtient

a+ Z t

0

z(s)ds≤ae^t. Cette derni`ere, combin´ee `a la pr´ec´edente, implique que

1 2

Z

Ω

|u(x, t)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dxds

≤ 1 2

Z

Ω

|u0(x)|²dx+ Z T

0

Z

Ω

|f(x, s)|²dxds

e^t.

Exercice 8.2.2 Au vu de l’estimation Z

Ω

u(x, t)²dx+ Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dxds≤C Z

Ω

u₀(x)²dx+ Z t

0

Z

Ω

f(x, s)²dxds

, (8.4) v´erifi´ee par la solutionude (8.1), o`u la constante C est ind´ependante deT, on voit que le terme e^t n’est certainement pas optimal dans la majoration (8.3). Cette estimation peut ˆetre am´elior´ee en raisonnant de la fa¸con suivante, avec une variante du lemme de Gronwall.

1. Soit a∈R⁺ et g ∈L²(]0, T[) tel queg ≥0. Montrer que, si z(t) est continue de [0, T]dans R⁺ et v´erifie

z(t)≤a+ 2 Z t

0

g(s)p

z(s)ds ∀t ∈[0, T],

alors z(t)≤

√ a+

Z t 0

g(s)ds 2

∀t ∈[0, T].

2. D´eduire de (8.2) que, pour tout t ∈[0, T], Z

Ω

u(x, t)²dx+ 2 Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dx ds ≤ Z

Ω

u₀(x)²dx 1/2

+ Z t

0

ds Z

Ω

f(x, s)²dx

1/2!2

.

(8.5)

Correction.

1. On suppose dans un premier temps queg est une fonction r´eguli`ere. Soitε un r´eel strictement positif. On pose

v(t) =ε+a+ 2 Z t

0

g(s)p

z(s)ds.

Comme g(s)p

z(s) est une fonction continue, la fonction v est d´erivable et v⁰(t) = 2g(t)p

z(t). Comme z(t)≤v(t) et que g est une fonction positive, v⁰(t)≤2g(t)p

v(t).

Enfin, v(t)>0, ainsi d’apr`es l’in´egalit´e pr´ec´edente,v⁰(t)/2p

v(t)≤g(t) et par int´egration, on obtient

pv(t)−p

v(0)≤ Z t

0

g(s)ds.

Ainsi, pour tout ε >0,

z(t)≤v(t)≤ √

a+ε+ Z t

0

g(s)ds ²

.

Il suffit de passer `a la limite lorsque ε tend vers z´ero pour obtenir l’in´egalit´e d´esir´ee.

Si g n’est pas continue, on raisonne par densit´e. Soit g ∈ L²(]0;T[) tel que g ≥0 presque partout. Il existe une suite de fonctions r´eguli`eres gn positives, convergeant vers g dans L²(]0;T[). Pour tout n, on a pour tout t ∈[0;T],

z(t)≤a+kg_n−gk_L²_(]0;T[)kzk^1/2_L1(]0;T[)+ 2 Z t

0

g_n(s)p

z(s)ds.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede,

z(t)≤a+kg_n−gk_L²_(]0;T[)kzk^1/2_L1(]0;T[)+ 2 Z t

0

g_n(s)p z(s)ds

≤ q

a+kg_n−gk_L²_(]0;T[)kzk^1/2_L1(]0;T[) + Z t

0

g_n(s)ds 2

.

Il suffit alors de passer `a la limite lorsque n tend vers l’infini pour conclure.

2. D’apr`es l’´egalit´e d’´energie (8.2) et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, Z

Ω

u(x, t)²dx+ 2 Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dxds

≤ Z

Ω

u₀(x)²dx+ 2 Z t

0

Z

Ω

f(x, s)²dx

1/2Z

Ω

u(x, s)²dx 1/2

ds.

On applique la variante du Lemme de Gronwall `a z(t) =

Z

Ω

u(x, t)²dx+ 2 Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dxds g(s) =

Z

Ω

f(x, s)²dx 1/2

a= Z

Ω

u₀(x)²dx.

Ainsi,

Z

Ω

u(x, t)²dx+ 2 Z t

0

Z

Ω

|∇u(x, s)|²dxds

≤ Z

Ω

u₀(x)²dx 1/2

+ Z t

0

Z

Ω

f(x, s)²dx 1/2

ds

!2

.

Exercice 8.2.3 On suppose que les hypoth`eses du Th´eor`eme 8.2.7sont v´erifi´ees, que u₀ ∈ H₀¹(Ω), et que la solution u de (8.1) est assez r´eguli`ere dans ]0, T[×Ω. Montrer que, pour tout t∈[0, T], on a l’´egalit´e d’´energie suivante

1 2

Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

∂u

∂t(x, s)

2

dxds = 1 2

Z

Ω

|∇u₀(x)|²dx +

Z t 0

Z

Ω

f(x, s)∂u

∂t(x, s)dxds.

(8.6)

Correction. En multipliant l’´equation (8.1) v´erifi´ee par upar ^∂u_∂t, on obtient, suite

`

a une int´egration sur Ω que Z

Ω

−∆u(x, t)∂u

∂t(x, t)dx+ Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx= Z

Ω

f(x, t)∂u

∂t(x, t)dx.

Par int´egration par partie, il vient Z

Ω

∇u(x, t)· ∂∇u

∂t (x, t)dx+ Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx= Z

Ω

f(x, t)∂u

∂t(x, t)dx, ou encore en ´echangeant les signes d´erivation et int´egrale,

d dt

1 2

Z

Ω

|∇u|²dx

+ Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx= Z

Ω

f(x, t)∂u

∂t(x, t)dx.

Il suffit d’int´egrer cette derni`ere ´equation suivantt pour obtenir l’´egalit´e recherch´ee.

Exercice 8.2.4 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de R^N. Soit un temps final T > 0, une donn´ee initiale u0 ∈L²(Ω), et un terme source f ∈L²(]0, T[;L²(Ω)). Montrer que l’´equation de la chaleur avec condition aux limites de Neumann







∂u

∂t −∆u=f dans Ω×]0, T[

∂u

∂n = 0 sur∂Ω×]0, T[ u(x,0) =u₀(x) dans Ω

(8.7)

admet une unique solutionu∈L²(]0, T[;H¹(Ω))∩C([0, T];L²(Ω)).

Correction. On applique le Th´eor`eme 8.2.3 `a V = H¹(Ω), H = L²(Ω) et `a la forme bilin´eaire sym´etrique, continue surV

a(u, v) = Z

Ω

∇u· ∇vdx.

La forme bilin´eaire a(., .) n’est pas coercive, mais a(u, v) +hu, vi_L² ´etant coercive sur V, les conclusions du th´eor`eme restent valables d’apr`es la remarque 8.2.5. Le probl`eme (8.7) admet donc une unique solution

u∈L²(]0;T[;H¹(Ω))∩C([0, T];L²(Ω)).

Exercice 8.2.5 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de R^N. Soit A(x) une fonction de Ω dans l’ensemble des matrices sym´etriques r´eelles telles qu’il existe deux constantes β≥α >0 v´erifiant

β|ξ|² ≥A(x)ξ·ξ≥α|ξ|² ∀ξ∈R^N, p.p.x∈Ω.

Soit un temps final T > 0, une donn´ee initiale u0 ∈ L²(Ω), et un terme source f ∈ L²(]0, T[;L²(Ω)). Montrer que le probl`eme aux limites







∂u

∂t −div (A(x)∇u) = f dans Ω×]0, T[

u= 0 sur ∂Ω×]0, T[

u(x,0) =u0(x) pour x∈Ω,

(8.8) admet une unique solutionu∈L²(]0, T[;H¹(Ω))∩C([0, T];L²(Ω)).

Correction. On introduit la forme bilin´eairea(·,·) sym´etrique d´efinie pour toutu etv deH₀¹(Ω) par

a(u, v) = Z

Ω

A(x)∇u· ∇vdx.

Pour presque tout x ∈ Ω, la matrice A(x) ´etant sym´etrique, d´efinie positive, elle admet une base de vecteurs propres. Comme pour tout ξ∈R^N,

A(x)ξ·ξ≤β|ξ|²,

la plus grande valeur propre de A(x) est inf´erieure `a β et kAk<sub>2</sub> ≤ β. D’apr`es cette majoration et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, pour tout u etv ∈H₀¹(Ω), on a

a(u, v)≤β Z

Ω

∇u· ∇v dx≤βkuk_H¹_(Ω)kvk_H¹_(Ω).

La forme bilin´eaire a est donc continue surH₀¹(Ω). De plus, pour tout u∈ H₀¹(Ω), d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e,

a(u, u)≥α Z

Ω

|∇u|²dx≥αCkuk²_H1 0(Ω).

La forme bilin´eaire a est donc coercive. D’apr`es le Th´eor`eme 8.2.3 appliqu´e `a la forme bilin´eaire a avec H = L<sup>2</sup>(Ω) et V = H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω), il existe une unique solution u∈L<sup>2</sup>(]0, T[;H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω))∩C([0, T];L<sup>2</sup>(Ω)) au probl`eme aux limites (8.8).

Exercice 8.3.1 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de R^N, et un temps final T > 0.

On consid`ere une donn´ee initiale (u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>) ∈ H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω)×L<sup>2</sup>(Ω) et un terme source f ∈ L<sup>2</sup>(]0, T[;L<sup>2</sup>(Ω)). On consid`ere la solutionu de l’´equation des ondes















∂²u

∂t² −∆u=f p.p. dans Ω×]0, T[ u= 0 p.p. sur ∂Ω×]0, T[ u(x,0) = u₀(x) p.p. dans Ω

∂u

∂t(x,0) =u₁(x) p.p. dans Ω.

(8.9)

1. En supposant que la solutionude (8.9) est assez r´eguli`ere dans]0, T[×Ω, montrer que, pour tout t ∈[0, T], on a l’´egalit´e d’´energie suivante

Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx+ Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx= Z

Ω

u₁(x)²dx+ Z

Ω

|∇u₀(x)|²dx +2

Z t 0

Z

Ω

f(x, s)∂u

∂t(x, s)dxds.

2. En d´eduire qu’il existe une constante C(T) (ind´ependante des donn´ees autre que T) telle que

Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx+ Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx≤ C(T)

Z

Ω

u1(x)²dx+ Z

Ω

|∇u0(x)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

f(x, s)²dxds

.

3. Montrer qu’il existe une constanteC (ind´ependante de toutes les donn´ees y com- pris T) telle que

Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx+ Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx≤C Z

Ω

u₁(x)²dx +

Z

Ω

|∇u₀(x)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

f(x, s)²dx 1/2

ds

!2

. Correction.

1. Supposons que u soit une solution suffisamment r´eguli`ere, de l’´equation des ondes. On a

∂u

∂t

∂²u

∂t² − ∂u

∂t∆u=f∂u

∂t.

Par int´egration sur le domaine Ω, il vient en ´echangeant les op´erateurs d’int´e- gration en espace et de d´erivation en temps (ce qui est licite pour ur´eguli`ere) que

1 2

d dt

Z

Ω

∂u

∂t

2

dx+ 1 2

d dt

Z

Ω

|∇u|²dx= Z

Ω

f∂u

∂tdx.

Par int´egration en temps, on obtient l’´egalit´e voulue.

2. En appliquant l’in´egalit´e Z t

0

Z

Ω

f(x, s)∂u

∂t(x, s)dxds≤ 1 2

Z t 0

Z

Ω

f²(x, s)dxds+ Z t

0

Z

Ω

∂u

∂t(x, s)

2

dxds

! .

`

a celle pr´ec´edemment obtenue, on obtient que Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx+ Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx

≤ Z

Ω

|u1(x)|²dx+ Z

Ω

|∇u0(x)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

f²(x, s)dxds+ Z t

0

Z

Ω

∂u

∂t

2

dxds.

D’apr`es le Lemme de Gronwall (voir Exercice 8.2.1), on en d´eduit que pour tout t≤T,

Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx+ Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx

≤e^t Z

Ω

|u₁(x)|²dx+ Z

Ω

|∇u₀(x)|²dx+ Z t

0

Z

Ω

f²(x, s)dxds

. 3. De l’´egalit´e obtenue dans la premi`ere partie de l’exercice, on d´eduit `a l’aide de

l’in´egalit´e de Schwarz que Z

Ω

∂u

∂t

2

dx+ Z

Ω

|∇u|²dx

≤ Z

Ω

|u₁|²+|∇u₀|²

dx+ 2 Z t

0

Z

Ω

f²dx

1/2 Z

Ω

∂u

∂t

2

dx

!1/2

.

D’apr`es la variante du Lemme de Gronwall (voir Exercice 8.2.2), Z

Ω

∂u

∂t(x, t)

2

dx+ Z

Ω

|∇u(x, t)|²dx

≤ Z

Ω

|u₁(x)|²+|∇u₀(x)|²dx 1/2

+ Z t

0

Z

Ω

f²(x, s)dx 1/2

ds

!2

d’o`u l’on d´eduit l’estimation recherch´ee avecC = 2 (il suffit d’utiliser l’in´egalit´e (a+b)² ≤2(a²+b²)).

Exercice 8.3.2 On suppose que les hypoth`eses du Th´eor`eme 8.3.4sont v´erifi´ees, que le terme source est nulf = 0 et que la solutionu de (8.9) est r´eguli`ere dans[0, T]×Ω.

Montrer que, pour tout entierm ≥1, on a d

dt Z

Ω

∂^mu

∂t^m

2

+

∇∂^m−1u

∂t^m−1

2!

dx= 0.

Correction. Il suffit de remarquer que la fonction ∂^m−1u/∂^m−1t est elle-mˆeme solution d’une ´equation d’onde avec conditions de Dirichlet homog`enes au bord, sans terme source.

Exercice 8.3.3 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier connexe de R^N. Soit µ > 0 et λ les coefficients de Lam´e d’un solide ´elastique tels que2µ+N λ >0. Soit une donn´ee initiale (u₀, u₁)∈H₀¹(Ω)^N×L²(Ω)^N, et un terme sourcef ∈L²(]0, T[;L²(Ω))^N. Montrer qu’il existe une unique solution u∈C([0, T];H₀¹(Ω))^N ∩C¹([0, T];L²(Ω))^N de









 ρ∂²u

∂t² −div (2µe(u) +λtr(e(u)) Id) =f dans Ω×]0, T[,

u= 0 sur ∂Ω×]0, T[,

u(t= 0) =u₀(x) dans Ω,

∂u

∂t(t= 0) =u₁(x) dans Ω.

(8.10)

En supposant que la solution u est assez r´eguli`ere, montrer que, pour tout t ∈ [0, T], on a l’´egalit´e d’´energie suivante

ρ 2

Z

Ω

∂u

∂t

2

dx+µ Z

Ω

|e(u)|²dx+λ 2

Z

Ω

(divu)²dx= ρ 2

Z

Ω

|u₁|²dx +µ

Z

Ω

|e(u₀)|²dx+λ 2

Z

Ω

(divu₀)²dx+ Z t

0

Z

Ω

f · ∂u

∂tdxds.

En d´eduire une estimation d’´energie.

Correction. On introduit la forme bilin´eaire a(·,·) d´efinie pour tout u et v ∈ H₀¹(Ω)^N par

a(u, v) = Z

Ω

(2µe(u)·e(v) +λ(divu)(divv))dx.

La formulation variationnelle associ´ee au syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles consiste `a d´eterminer u∈C([0, T];H₀¹(Ω)^N)∩C¹([0, T];L²(Ω)^N) tel que







d²hu(t), vi_L²

dt² +a(u, v) = Z

Ω

f ·v dx u(t= 0) =u₀; du

dt(t= 0) =u₁

pour toutv ∈H₀¹(Ω)^N. La forme bilin´eaireaest continue et coercive surH₀¹(Ω)^N. La coercivit´e de la forme bilin´eaire a est ´etablie dans les preuves du Th´eor`emes 5.3.1 et 5.3.4 et d´ecoule du Lemme de Korn 5.3.3 ou de sa version simplifi´ee 5.3.2.

Les hypoth`eses du Th´eor`eme 8.3.1 sont v´erifi´ees, il existe une unique solution `a la formulation variationnelle. En appliquant la fonction testv =∂u/∂t`a la formulation variationnelle, on en d´eduit que

d dt

ρ 2

Z

Ω

∂u

∂t

2

dx+µ Z

Ω

|e(u)|²dx+ λ 2

Z

Ω

(divu)²dx

!

= Z

Ω

f ·∂u

∂t dx.

L’´egalit´e d’´energie en d´ecoule par une simple int´egration. En proc´edant comme pour l’Exercice 8.3.1 on obtient les estimations d’´energie suivantes. Tout d’abord, pour tout T il existe une constante C(T) ne d´ependant que du temps final T telle que

Z

Ω

∂u

∂t

2

dx+ Z

Ω

2µ|e(u)|²+λ(divu)²dx≤ C(T)

Z

Ω

|u₁|²dx+ Z

Ω

2µ|e(u₀)|²+λ(divu₀)²dx+ Z t

0

Z

Ω

|f|²dxds

.

De plus, il existe une constante C (ind´ependante de toutes les donn´ees y compris T) telle que

Z

Ω

∂u

∂t

2

dx+ Z

Ω

2µ|e(u)|²+λ(divu)²dx≤C Z

Ω

|u₁|²dx+

Z

Ω

2µ|e(u₀)|²+λ(divu₀)²dx+ Z t

0

Z

Ω

|f|²dx 1/2

ds 2!

.

Exercice 8.4.1 On reprend les hypoth`eses de la Proposition8.4.1. Soitf(x)∈L²(Ω) et ula solution de







∂u

∂t −∆u=f dans ]0,+∞[×Ω u(x, t) = 0 sur ]0,+∞[×∂Ω u(x,0) =u₀(x) dans Ω.

Soitv(x)∈H₀¹(Ω) la solution de

−∆v =f dans Ω v = 0 sur ∂Ω.

Montrer quelimt→+∞ku(x, t)−v(x)k_L²_(Ω)= 0.

Correction.

On pose ˜u(x, t) = u(x, t)−v(x). La fonction ˜u est solution de l’´equation de la chaleur avec conditions de Dirichlet homog`enes et condition initiale ˜u(x,0) = u0(x)−v(x). Ainsi, d’apr`es la Proposition 8.4.1,

t→+∞lim ku(x, t)−v(x)k_L²_(Ω) = 0.

Exercice 8.4.2 Soit Ω un ouvert born´e r´egulier de R^N. Soit u₀ ∈ L²(Ω) et u la solution du probl`eme







∂u

∂t −∆u= 0 dans ]0,+∞[×Ω u(x, t) = 0 sur ]0,+∞[×∂Ω u(x,0) =u₀(x) dans Ω.

(8.11)

Soitλ₁ la plus petite valeur propre du Laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet.

On note u₁ la valeur propre assoic´ee normalis´e en norme L². Montrer qu’il existe une constante positiveC telle que

ku(t)−α⁰₁e^−λ1tu₁k_L²_(Ω) ≤C e^−λ2t ∀t >1, avec α⁰₁ = Z

Ω

u₀u₁dx, (8.12) o`uλkd´esigne lak-`eme valeur propre du Laplacien avec condition aux limites de Dirichlet.

Correction.

On rappelle que la solutionu de l’´equation (8.11) est donn´ee par u(t) =

∞

X

k=1

α⁰_ke^−λktu_k,

o`u λ_k sont les valeurs propres du Laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet etuk est la famille de vecteurs propres associ´e, base orhtonormale de L²(Ω). Ainsi,

u(t)−α⁰₁e^−λ1tu₁ =

∞

X

k=2

α⁰_ke^−λktu_k. et

ku(t)−α₁⁰e^−λ1tu₁k_L²_(Ω)=e^−λ2t

∞

X

k=2

|α⁰_k|²e^{−2(λk−λ2)}

!1/2

. Commeλ_k−λ₂ ≥0, on en d´eduit que

ku(t)−α⁰₁e^−λ1tu₁k_L²_(Ω) ≤e^−λ2t

∞

X

k=2

|α⁰_k|²

!1/2

≤e^−λ2tku₀k_L²_(Ω).

Exercice 8.4.3 SoitΩun ouvert born´e r´egulier deR^N. On noteu1la premi`ere fonction propre du Laplacien dansΩavec condition de Dirichlet, λ<sub>1</sub> la valeur propre associ´ee. On rappelle que l’on peut choisiru<sub>1</sub> >0dansΩ(voir le Th´eor`eme de Krein-Rutman7.3.10) et on admettra que l’on a aussi∂u1/∂n >0sur∂Ω. Soitf = 0,u0 ∈L²(Ω)etul’unique solution (suppos´ee r´eguli`ere) de (8.1).

Soitε >0. Montrer que l’on peut trouver une constante positive K telle que

−Ku₁(x)≤u(x, ε)≤Ku₁(x) ∀x∈Ω, (8.13) et en d´eduire qu’il existe une constante positive C telle que

max

x∈Ω

|u(x, t)| ≤Ce^−λ1t ∀t > ε. (8.14) Correction. Pour tout ε >0,u(x, ε) est une fonction de classe C^∞(Ω). Rappelons queu₁(x) est ´egalement une fonction r´eguli`ere sur Ω, qu’elle est strictement positive sur Ω et que ∂u₁/∂n >0 sur ∂Ω.

Soit

K₁ = 1 + sup

x∈∂Ω

∂u

∂n(x, ε) ∂u₁

∂n(x) . On introduit les fonctionsv₊ et v− d´efinies par

v₊(x) =K₁u₁(x)−u(x, ε) v−(x) =K₁u₁(x) +u(x, ε)

On v´erifie sans mal que∂v±/∂n >0 sur ∂Ω. Il existe donc un voisinage ω de∂Ω tel que pour tout x∈ω,

v_±(x)≥0.

Il existe un compact A⊂Ω tel queA∪ω = Ω. On pose K₂ = max

x∈A |u(x, ε)/u₁(x)|

etK = max(K₁, K₂). On v´erifie sans peine que

−Ku₁(x)≤u(x, ε)≤Ku₁(x).

La fonction ˜u(x, t) =Ke^{−λ1(t−ε)}u₁ est une solution de l’´equation de la chaleur (8.1) surt > ε avecf = 0 et eu(x, ε) =Ku₁(x) comme condition initiale. Enfin, comme

−˜u(x, ε)≤u(x, ε)≤u(x, ε),˜

on d´eduit du principe du maximum de la Proposition8.4.2 que

−˜u(x, t)≤u(x, t)≤u(x, t)˜

pour toutt≥ε. On a donc montr´e que, pour tout x∈Ω et tout t≥ε,

|u(x, t)| ≤

Ke^λ1εmax

x∈Ω u1(x)

e^−λ1t.

Exercice 8.4.4 SoitΩun ouvert born´e r´egulier deR^N. Soitu0 ∈L^∞(Ω),f ∈L^∞(Ω×

R⁺∗), et u ∈ C([0, T];L²(Ω))∩L²(]0, T[;H₀¹(Ω)) l’unique solution de (8.1). Montrer que

kuk_L∞(Ω×R⁺∗)≤ ku₀k_L^∞_(Ω)+ D²

2Nkfk_L∞(Ω×R⁺∗), (8.15) o`uD= sup<sub>x,y∈Ω</sub>|x−y|est le diam`etre deΩ. On pourra utilement introduire la fonction ψ ∈H₀¹(Ω) telle que−∆ψ = 1 dans Ω.

Correction. Remarquons tout d’abord qu’il suffit de montrer que pour tout (t, x)∈ R⁺∗ ×Ω,

u(x, t)≤ ku0k_L^∞_(Ω)+ D²

2Nkfk_L∞(Ω×R⁺∗).

En appliquant ce r´esultat `a −u au lieu de u et en combinant les deux estimations obtenues, on prouve l’estimation souhait´ee.

Introduisons la fonctionu₊ solution de







∂u+

∂t −∆u₊ =kfk_L∞(Ω×R⁺∗) dans ]0;T[×Ω u₊(x, t) = 0 sur ]0;T[×∂Ω u+(x,0) =ku0k_L^∞_(Ω) dans Ω.

D’apr`es le principe du maximum, u ≤ u<sub>+</sub>. Il suffit donc de prouver le r´esultat pour u = u<sub>+</sub>. Dans un premier temps, on consid`ere le cas f = 0. Il s’agit de prouver que pour presque tout (t, x)∈]0, T[×Ω, on a |u(x, t)| ≤ ku₀k_L^∞_(Ω). D’apr`es le principe du maximum de la Proposition 8.4.2, on a d´ej`au ≥0. Reste `a prouver queu≤ ku<sub>0</sub>k<sub>L</sub><sup>∞</sup><sub>(Ω)</sub>. A cet effet, on proc`ede comme lors de la preuve de la Proposition 8.4.2. On introduit la fonctionue= max(u−ku₀k_L^∞,0). En vertu du Lemme5.2.24, eu∈L²(]0, T[;H₀¹(Ω)) et

Z

Ω

∇u· ∇eudx= Z

Ω

|∇u|e²dx.

De mˆeme, si u est suffisamment r´eguli`ere (ce que nous admettrons par la suite), Z

Ω

∂u

∂teudx= 1 2

d dt

Z

Ω

|eu|²dx

.

Remarque 8.4.1 D’apr`es la Proposition 8.4.6, pour tout δ > 0, la fonction u appartient `a H¹(]δ, T[;L²(Ω)). Elle est donc assez r´eguli`ere pour que le Lemme de troncature 5.2.24 s’applique de sorte `a justifier l’´equation pr´ec´edente.

Par cons´equent, en multipliant l’´equation v´erifi´ee par u par eu, on obtient par int´e- gration sur Ω, puis par int´egration par partie que

1 2

d dt

Z

Ω

|eu|²dx

+ Z

Ω

|∇u|e²dx = 0.

En int´egrant cette ´equation en temps, il vient 1

2 Z

Ω

|eu|²dx−1 2

Z

Ω

|eu(t= 0)|²dx+ Z T

0

Z

Ω

|∇eu|²dxdt= 0.

Commeeu(t= 0) = 0, on en d´eduit que eu= 0, c’est `a dire u≤ ku0kL<sup>∞</sup>. On se place dor´enavant dans le cas g´en´eral (f non n´ecessairement nul). Soit ψ la solution du probl`eme aux limites ψ ∈H₀¹(Ω), −∆ψ = 1. On pose v = u₊− kfk_L∞(Ω×R⁺∗)ψ. La fonctionv est solution du probl`eme







∂v

∂t −∆v = 0 dans ]0;T]

v(x, t) = 0 sur]0;T[×∂Ω

v(x,0) =ku₀k_L^∞_(Ω)− kfk_L∞(Ω×R⁺∗)ψ dans Ω.

Commeψ ≥0, pour tout x∈Ω on av(x,0)≤ ku₀k_L^∞_(Ω). Ainsi, pour toutt, v(x, t)≤ ku₀k_L^∞_(Ω). (8.16) On a donc obtenu que u₊ ≤ ku₀k_L^∞ +kfk_L^∞ψ. Il reste `a majorer ψ afin d’obtenir l’estimation souhait´ee. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que l’origine de R^N appartient au bord de Ω. Comme

−∆|x|²/(2N) = 1 =−∆ψ dans Ω et

|x|²/(2N)≥0 =ψ(x) sur ∂Ω,

le principe du maximum implique que|x|²/2N ≥ψ(x). Or|x| est major´e sur Ω par de diam`etre de Ω, ainsi kψk<sub>L</sub><sup>∞</sup><sub>(Ω)</sub> ≤D<sup>2</sup>/2N,ce qui ach`eve la preuve.

Exercice 8.4.5 (difficile) D´emontrer rigoureusement la Proposition8.4.5suivante : SoitΩ un ouvert born´e r´egulier de classe C^∞ de R^N, et soit un temps final T >0. Soit u₀ ∈L²(Ω), et u l’unique solution dansC([0, T];L²(Ω))∩L²(]0, T[;H₀¹(Ω)) de







∂u

∂t −∆u= 0 dans ]0, T[×Ω u(x, t) = 0 sur]0, T[×∂Ω u(x,0) =u0(x) dans Ω.

(8.17)

Alors, pour toutε >0, u est de classeC^∞ enx et t dans Ω×[ε, T].

Pour cela on introduira, pour tout entier m≥0, l’espace

W^2m(Ω) ={v ∈H^2m(Ω), v = ∆v =· · ·∆^m−1v = 0 sur ∂Ω}, (8.18) que l’on munit de la norme kvk²_W2m(Ω) =R

Ω|(∆)^mv|²dx, dont on montrera qu’elle est

´equivalente `a la norme deH<sup>2m</sup>(Ω). On reprendra la d´emonstration du Th´eor`eme8.2.3en montrant que la suite(w_k)des sommes partielles est de Cauchy dansC^`([ε, T], W^2m(Ω)).

Correction.

La d´emonstration se fait par r´ecurrence surm. Pourm= 1, en posantf = ∆v, le Th´eor`eme 5.2.26de r´egularit´e nous dit exactement que, si f ∈L<sup>2</sup>(Ω) et v ∈H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) alors v ∈H<sup>2</sup>(Ω), c’est `a dire que

kvk_H²_(Ω) ≤Ck∆vk_L²_(Ω) pour tout v ∈H₀¹(Ω).

L’in´egalit´e inverse est ´evidente, d’o`u l’´equivalence des normes dans le cas m = 1. Supposons que kvk<sub>W</sub><sup>2(m−1)</sup><sub>(Ω)</sub> est une norme ´equivalente `a kvk_H^2(m−1) pour les fonctions de W^2(m−1)(Ω). Le Th´eor`eme de r´egularit´e5.2.26 nous dit aussi que

kvk_H^2m_(Ω) ≤Ck∆vk_H2(m−1)(Ω) pour toutv ∈H₀¹(Ω), c’est `a dire, en utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence pour v ∈W^2m(Ω),

kvk_H^2m_(Ω) ≤Ck∆vk_W^2(m−1)_(Ω) =Ck∆^m−1(∆v)k_L²_(Ω) =Ckvk_W^2m_(Ω),

ce qui prouve quekvk_W^2m_(Ω)est une norme ´equivalente `akvk_H^2m_(Ω)pour les fonctions deW^2m(Ω) (l’in´egalit´e inverse est ´evidente).

On se propose de montrer que u ∈ C<sup>`</sup>([ε, T], W<sup>2m</sup>(Ω)). A cet effet, il suffit de prouver que la suite w<sub>k</sub> des sommes partielles introduites dans la preuve du Th´eor`eme 8.2.3 est de Cauchy pour la normeC<sup>`</sup>([ε, T], W<sup>2m</sup>(Ω)). Notons que toute fonction propre u<sub>i</sub> appartient `a W^2m(Ω) pour tout m (car ∆^mu_i = λ^m_i u_i = 0 sur

∂Ω). On rappelle que

w^k(t) =

k

X

j=1

α^j₀e^−λjtu_j. Ainsi, soitl etk deux entiers naturels non nuls,

∂^`(w^k−w^l)

∂t^` (t)

2

W^2m(Ω)

= Z

Ω

l

X

j=k

α^j₀(−λj)^`e^−λjt(∆)^muj

2

dx.

Comme u_j est une base de vecteur propres orthonormale du Laplacien, (∆)^mu_j = (−λ_j)^mu_j et

∂^`(w^k−w^l)

∂t^` (t)

2

W^2m(Ω)

=

l

X

j=k

α^j₀(−λ_j)^m+`e^−λjt2 .

Or pour toutε >0, pour tout m et `, il existe une constant C(ε, m, `) telle que

|(−λ_j)<sup>m+`</sup>e<sup>−λjt</sup>|<sup>2</sup> ≤C(ε, m, `) pour toutt≥ε et tout indice j. Ainsi, pour toutt ≥ε, on a

∂^`(w^k−w^l)

∂t^` (t) W^2m

≤C(ε, m, `)

l

X

j=k

|α^j₀|²,

o`u le second membre tend vers z´ero lorsque k et l tendent vers l’infini. La suite w<sup>k</sup> est donc de Cauchy dansC<sup>`</sup>([ε, T];W^2m(Ω)). Elle est donc convergente dans cet espace et u∈C^`([ε, T];W^2m(Ω)).

Exercice 8.4.6 Pour u0 ∈L²(R^N) et t >0, on pose S(t)u₀ = 1

(4πt)^N/2 Z

R^N

u₀(y)e^−|x−y|

2 4t dy.

V´erifier que S(t)est un op´erateur lin´eaire continu deL²(R^N) dans L²(R^N). En posant S(0) = Id(l’identit´e deL²(R^N)), v´erifier que(S(t))t≥0 est un semi-groupe d’op´erateurs qui d´ependent continˆument de t, c’est-`a-dire qu’ils v´erifient S(t+t<sup>0</sup>) =S(t)S(t<sup>0</sup>) pour t, t<sup>0</sup> ≥0. Soit f ∈C<sup>1</sup>(R<sup>+</sup>;L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>)). Montrer que le probl`eme

_∂u

∂t −∆u=f dans ]0,+∞[×R^N

u(x,0) =u₀(x) dans R^N. (8.19)

admet une unique solutionu∈C(R⁺;L²(R^N))∩C¹(R⁺∗;L²(R^N)), donn´ee par u(t) =S(t)u₀+

Z t 0

S(t−s)f(s)ds, (8.20)

c’est-`a-dire u(x, t) =

Z

R^N

u₀(y)e^−|x−y|

2

4t dy

(4πt)^N/2 + Z t

0

Z

R^N

f(y, s)e⁻

|x−y|2

4(t−s) dy ds

(4π(t−s))^N/2. Correction.

Par mesure de commodit´e, on notera indiff´erement la transform´ee de Fourier d’une fontion v par ˆv ouF(v). La lin´earit´e de l’op´erateur S(t) est ´evidente.

Continuit´e de l’op´erateur. Montrons que pour tout r´eelt positif ou nul,S(t) est continu deL²(R^N) dansL²(R^N). La normeL²(R^N) deS(t)u₀ ´etant ´egale `a la norme L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>) de sa transform´ee de Fourier, il suffit de v´erifier la continuit´e de L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>) dans L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>) de l’application qui `a u₀ associe F(S(t)u₀)). Notons tout d’abord que S(t)u₀ est ´egale au produit de convolution de u est d’un Gaussienne

S(t)u₀ = 1

(4πt)^N/2u₀∗e^−|x|2/4t.

Or la transform´ee de Fourier d’un produit de convolution est ´egale (`a un coeffi- cient pr`es, du `a la d´efinition de la transform´ee de Fourier choisie) au produit des transform´ees de Fourier. Plus pr´ecis´ement, on a pour toutes fonctions v et w de L²(R^N)

F(v∗w) = (2π)^N/2vˆw.ˆ

Enfin la transform´ee de Fourier d’une Gaussienne est une Gaussienne : pour tout r´eel a, on a

F(e^−a|x|2)(ξ) = (2a)^−N/2e^−|ξ|2/4a. On d´eduit de ces deux propri´et´es que

F(S(t)u0)(ξ) = ˆu0e^−|ξ|2t

Ainsi, pour toutu0 ∈L²(R^N),

kS(t)u₀k_L²_(R^N₎ =kˆu₀e^−|ξ|2tk_L²_(R^N₎ ≤ kˆu₀k_L²_(R^N₎=ku₀k_L²_(R^N₎

etS(t) est un op´erateur continu de L²(R^N) dans L²(R^N) de norme inf´erieure `a 1.

Propri´et´e de semi-groupe. Montrons que S(t) est un semi-groupe. Pour tout r´eels t ett⁰ positifs, on a

F(S(t+t⁰)u₀) = ˆu₀e^−|ξ|2te^−|ξ|2t0 =F(S(t)u₀)e^−|ξ|2t0 =F(S(t⁰)(S(t)u₀)) en appliquant la transform´ee de Fourier inverse, on obtient que

S(t+t⁰)(u₀) = S(t⁰)(S(t)u₀).

Ainsi, S(t+t⁰) = S(t⁰)S(t).

Cas homog`ene. On consid`ere tout d’abord le cas homog`ene, c’est `a dire f = 0.

Montrons queu(·) =S(·)u₀ ∈C(R⁺, L²(R^N)). Soittett⁰ r´eels positifs ou nuls, on a ku(t⁰)−u(t)k_L2(R^N) =k(S(t⁰)−S(t))u₀k_L2(R^N)

≤ ku₀−S(|t−t⁰|)u₀k_L2(R^N) =k(1−e^{−|·|2|t−t0|})ˆu₀(·)k_L2(R^N). Or |(1−e^{−|ξ|2|t−t0|})ˆu₀| est born´e uniform´ement par rapport `at ett<sup>0</sup> par 2|ˆu<sub>0</sub>|. Ainsi, par application du Th´eor`eme de convergence domin´e de Lebesegue, on en d´eduit la continuit´e de l’applicationu de R⁺ `a valeurs dans L²(R^N).

Montrons queu(·) =S(·)u₀ ∈C¹(R⁺∗, L²(R^N)). Notons qu’il est ´equivalent d’´etablir la d´erivabilit´e de la transform´ee de Fourier de u. On rappelle que

F(S(t)u₀) = e^−t|ξ|2uˆ₀, d’o`u on d´eduit formellement que

d

dt(F(S(t)u₀)) =−|ξ|²e^−t|ξ|2uˆ₀ =−|ξ|²F(S(t)u₀).

En appliquant la transform´ee de Fourier inverse `a cette expression, il vient d

dt(S(t)u₀) = ∆(S(t)u₀),

d’o`u on d´eduit queS(t)u<sub>0</sub>est solution de l’´equation de la chaleur avec second membre nul. Reste `a ´etablir rigoureusement queF(S(t)u0) est d´erivable deR⁺∗ `a valeurs dans L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>). Notons tout d’abord que|ξ|<sup>2</sup>e<sup>−|ξ|2t</sup>uˆ<sub>0</sub>apparient effectivement `aL²(R^N). Afin de prouver qu’il s’agit de la d´eriv´ee dee^−|ξ|2tuˆ₀, il reste `a ´etablir que pour toutt >0,

k(δt)⁻¹(e^{−|ξ|2(t+δt)}−e^−|ξ|2t+δt|ξ|²e^−|ξ|2t)k_L2(R^N) =o(δt).

A cet effet, on peut utiliser la formule de Taylor avec reste int´egrale suivante e^{−|ξ|(t+δt)}=e^−|ξ|t−δt|ξ|²e^−|ξ|2t+ (δt)²

Z 1 0

|ξ|⁴e^{−|ξ|2(t+sδt)}ds.

On en d´eduit que d`es que δt >−t/2, on a δt⁻¹(e^{−|ξ|(t+δt)}−e^−|ξ|t+δt|ξ|²e^−|ξ|2t) = δt

Z 1 0

|ξ|⁴e^{−|ξ|2(t+sδt)}ds≤δt Z 1

0

|ξ|⁴e^−|ξ|2t/2ds.

Or, pourt fix´e, on a

sup

ξ

|ξ|⁴e^−|ξ|2t/2 =C_t<∞.

Il s’en suit que

k(δt)⁻¹(e^{−|ξ|2(t+δt)}−e^−|ξ|2t+δt|ξ|²e^−|ξ|2t)k_L²_(R^N₎ ≤C_tku₀k_L²_(R^N₎δt, ce qui conclut la preuve de la d´erivabilit´e de u dans le cas f = 0.

Cas non homog`ene. D’apr`es les r´esultats pr´ec´edents, on a ´etabli que dans le cas f = 0, la fonction u d´efinie par (8.19) ´etait solution de (8.20). D’apr`es la lin´earit´e de la d´efinition (8.19) deuet de l’´equation (8.20), il suffit de consid´erer le casf 6= 0 etu₀ = 0 pour conclure. Dans ce cas, on a

u(t) = Z t

0

S(t−s)f(s)ds.

Par un simple changement de variable, on en d´eduit que u(t) =

Z t 0

S(s)f(t−s)ds.

Enfin, l’op´erateurS(s) ´etant uniform´ement continu deL²(R^N) `a valeurs dansL<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>) etf appartenant `aC¹(R⁺, L²(R^N)), on en d´eduit que u est d´erivable par rapport `a t dans L²(R^N) et que

du dt =

Z t 0

S(s)f⁰(t−s)ds+S(t)f(0).

Il en d´ecoule que dˆu dt(ξ) =

Z t 0

e^{−(t−s)|ξ|2}fˆ⁰(s, ξ)ds+e^−t|ξ|2f(0, ξ).ˆ

En effectuant une int´egration par partie sur le premier terme du membre de droite de cette ´equation, il vient

duˆ

dt(ξ) = h

e^{−(t−s)|ξ|2}f(s, ξ)ˆ it 0

− |ξ|² Z t

0

e^{−(t−s)|ξ|2}fˆ(s, ξ)ds+e^−t|ξ|2fˆ(0, ξ)

= fˆ(t, ξ)− |ξ|² Z t

0

e^{−(t−s)|ξ|2}fˆ(s, ξ)ds

= fˆ(t, ξ)− |ξ|²u.ˆ

Par transformation de Fourier inverse, on en d´eduit que du

dt = ∆u+f, et on a ´evidemment u(t = 0) = 0.

Exercice 8.4.7 (´egalit´e d’´energie) Soit u la solution de l’´equation de la chaleur (8.19) avecf = 0. Montrer que, pour tout T >0,

1 2

Z

R^N

u(x, T)²dx+ Z T

0

Z

R^N

|∇u(x, t)|²dx dt= 1 2

Z

R^N

u₀(x)²dx.

Correction. On rappelle que la transform´ee de Fourier de ∇u est iξˆu. Comme la transform´ee de Fourier est une isom´etrie deL²(R^N) et ˆu= ˆu₀e^−|ξ|2t, on a

1

2ku(T)k²_L2(R^N)+ Z T

0

k∇u(t)k²_L2(R^N)dt

=1

2kˆu(T)k²_L2(R^N)+ Z T

0

kξˆu(t)k²_L2(R^N)dt

=1 2

Z

R^N

|u₀(T, ξ)|²e^−2|ξ|2T dξ+ Z

R^N

Z T 0

|ξ|²|u₀(t, ξ)|²e^−2|ξ|2tdtdξ

=1 2

Z

R^N

|u₀(T, ξ)|²e^−2|ξ|2T dξ−1 2

Z

R^N

Z T 0

∂

∂t

|u₀(t, ξ)|²e^−2|ξ|2t dtdξ

=1 2

Z

R^N

|u0(ξ)|²dξ= 1

2ku0k²_L2(R^N).

Exercice 8.4.8 (principe du maximum) Soitula solution de l’´equation de la cha- leur (8.19) avecf = 0. Montrer que, si u₀ ∈L^∞(R^N), alors u(t)∈L^∞(R^N) et

ku(t)k_L^∞_(R^N₎ ≤ ku₀k_L^∞_(R^N₎ ∀t >0.

Montrer que, si u₀ ≥0presque partout dans R^N, alors u≥0 dans R^N ×R⁺∗. Correction. On majore la formule explicite pouru

ku(t)k_L^∞ ≤ ku₀k∞

(4πt)^N/2 Z

R^N

e^−y2/4tdy=ku₀k∞.

Enfin, d’apr`es l’expression de explicite de u en fonction de u₀, il est ´evident que si u₀ ≥0 presque partout,u≥0 presque partout.

Exercice 8.4.9 (effet r´egularisant) Soit u la solution de l’´equation de la chaleur (8.19) avecf = 0. Montrer que u∈C^∞(R^N ×R⁺∗).

Correction.

D’apr`es l’expression de la transform´ee de Fourier de u, ˆ

u(ξ, t) = ˆu₀(ξ)e^−|ξ|2t,

pour tout multi-indice α et pour tout t > 0, la fonction (ξ, t) 7→ |ξ|^αu(ξ, t) estˆ continue en temps `a valeurs dans L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>). Ainsi, par transformation de Fourier inverse,∂<sup>α</sup>uest un ´el´ement de C(R<sup>+</sup>∗, L<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>)). En d’autres termes, pour tout entier m, u appartient `a C(R⁺∗, H^m(R^N)). D’apr`es les injections de Sobolev, on en d´eduit queu(t)∈C(R⁺∗, C^∞(R^N)). En effectuant une analyse similaire sur ^∂_∂tⁿn^u, on en d´eduit queu∈C^∞(R⁺∗, C^∞(R^N)) =C^∞(R^N ×R⁺∗).