Sik n’est pas divisible par 10, nous dirons que l’on a la forme r´eduite (pour l’exemple pr´ec´edent, k = 375 et n= 3)

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IFP Ann´ee 2001-02

Devoir 1

A rendre dans la semaine du 25 f´` evrier 2002

Ex 1. Une loi discr`ete pathologique

Le but de cet exercice est de construire et d’´etudier une v.a. discr`ete ayant pour ensemble X(Ω) de valeurs possibles l’ensemble D des nombres d´ecimaux de [0,1[. Un nombre d´ecimal peut se repr´esenter par une suitefinie dechiffres d´ecimaux. Cette repr´esentation n’est pas unique, par exemple : 0,375 = 0,375 0 = 0,375 00 = 0,375 000 =. . .

On peut aussi l’´ecrire sous la forme k10⁻ⁿ avec k∈N etn ∈N^∗. Sik n’est pas divisible par 10, nous dirons que l’on a la forme r´eduite (pour l’exemple pr´ec´edent, k = 375 et n= 3). On notera Dⁿ l’ensemble des d´ecimaux de [0,1[ ayant le niveau de r´esolution n, c’est-`a-dire de forme r´eduitek10⁻ⁿ (on posera D0 ={0}).

Nous construisons X par la proc´edure suivante. On dispose de deux urnes. La pre- mi`ere contient des boules rouges et des vertes. On note pla proportion de boules rouges (0 < p < 1) et q celle des vertes. La deuxi`eme urne contient 10 boules num´erot´ees de 0 `a 9. On effectue des tirages avec remise dans la premi`ere urne jusqu’`a la premi`ere apparition d’une rouge. On noteN le nombre (al´eatoire) de tirages n´ecessaires. Une fois connue la valeur deN, on effectue N tirages avec remise d’une boule dans la deuxi`eme urne. En notant Y<sub>j</sub> lechiffre sorti lors du j-`eme tirage dans la deuxi`eme urne (i≤ N), on forme le nombre d´ecimal :

X(ω) = 0, Y₁(ω)Y₂(ω). . . Y_N(ω)(ω) =

N(ω)

X

j=1

Yj(ω) 10^j . 1) Quelle est la loi de N?

2) Soit n fix´e. Lorsque l’on effectue n tirages dans la deuxi`eme urne, quelle est la probabilit´e d’obtenir une suite (c<sub>1</sub>, . . . , c<sub>n</sub>) denchiffres d´ecimaux (∀i,c<sub>i</sub> ∈ {0,1, . . . ,8,9}) choisie `a l’avance ? Que vautP(Y1 =c1, Y2 =c2, . . . , Yn =cn|N =n) ?

3) Calculer P(X = 0,375) (attention, il y a une infinit´e de fa¸cons d’obtenir cette valeur !). G´en´eraliser en calculant P(X =d) pour d∈Dn.

4) V´erifier queDest d´enombrable en d´ecrivant un proc´ed´e permettant denum´eroter bijectivement les ´el´ements de D par ceux de N (on pourrait aussi remarquer que D est union d´enombrable des ensembles finis Dn).

5) Montrer qu’il n’existe pas de num´erotationcroissante des ´el´ements deX(Ω) =D (i.e. v´erifiant ∀k∈N, x_k < x_k+1).

I.F.P. 2002–03, D.M. 1 Ch. Suquet

6) Calculer X

d∈Dn

d.

7) Comme X est une variable al´eatoire discr`ete positive, d’ensemble de valeurs X(Ω) = D, son esp´erance EX existe si la s´erie X

d∈D

dP(X = d) converge et EX vaut alors la somme de cette s´erie. V´erifier que tel est bien le cas et calculer l’esp´eranceEX.

Le r´esultat d´epend de p. On v´erifiera que dans tous les cas : 9

20 <EX < 1 2.

Commenter ce r´esultat. Comment interpr´eter les cas limitesp= 1 et p= 0 ?

8) Soit F la fonction de r´epartition deX :F(x) = P(X ≤x). Montrer queF n’est constante dans aucun intervalle de [0,1[ (si petit soit-il). Ce n’est donc pas une fonction en escaliers.

9) Montrer que F n’est continue sur aucun intervalle de [0,1[ (aussi petit soit-il).

Cependant F est continue en tout r´eel non d´ecimal de [0,1[ (il y en a une infinit´e non d´enombrable).

10) D´etailler le calcul de P(X ≤ 0,375 | N = j) en distinguant les cas j < 3 et j ≥3.

11) G´en´eraliser en montrant que :

∀d∈D, P(X ≤d|N =j) = [10^jd] + 1 10^j . 12) Calculer F(k/10) pour 0 ≤k≤9 et F(l/100) pour 0 ≤l ≤99.

13) Peut-on donner une formule g´en´erale pour F(d), d∈D? Ex 2.

Soit Ω = {ω_k; k ∈ N} un ensemble d´enombrable, P(Ω) l’ensemble de toutes les parties de Ω. On consid`ere une fonction d’ensemblesµd´efinie surP(Ω) et `a valeurs dans R⁺ (en particulier µ(Ω)<+∞). On suppose que µ a les propri´et´es suivantes :

a) µest additive : pour toutes partiesdisjointes AetBde Ω,µ(A∪B) =µ(A)+µ(B).

b) µ(Ω) =P

k∈Np_k, o`u p_k =µ({ω_k}).

On se propose de montrer queµestσ-additive. Pour cela on d´efinit surP(Ω) une nouvelle fonction d’ensemblesν par :

∀A⊂Ω, ν(A) := X

ωk∈A

p_k.

1) Montrer queνest bien d´efinie etσ-additive. En d´eduire qu’elle v´erifie la propri´et´e de continuit´e croissante s´equentielle : si (A_n) est une suite croissante pour l’inclusion de parties de Ω,ν(An) converge en croissant vers ν(A), o`uA est l’union des An.

2) Montrer que pour tout A ∈P(Ω), ν(A) ≤ µ(A). Indication : on pourra utiliser (apr`es justification)

µ(A)≥µ(An) =ν(An), o`uAn :={ωk ∈A;k≤n}.

3) En d´eduire que µ=ν et conclure.

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