Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IFP Année 2001-02 Corrigé du Devoir n

(1)

IFP Ann´ ee 2001-02

Corrig´ e du Devoir n ^o 1 4 mars 2002

Ex 1. Une loi discr` ete pathologique

Le but de cet exercice est de construire et d’´ etudier une v.a. discr` ete ayant pour ensemble X(Ω) de valeurs possibles l’ensemble D des nombres d´ ecimaux de [0, 1[. Un nombre d´ ecimal peut se repr´ esenter par une suite finie de chiffres d´ ecimaux. Cette repr´ esentation n’est pas unique, par exemple : 0,375 = 0,375 0 = 0,375 00 = 0,375 000 = . . .

On peut aussi l’´ ecrire sous la forme k10 ⁻ⁿ avec k ∈ N et n ∈ N ^∗ . Si k n’est pas divisible par 10, nous dirons que l’on a la forme r´ eduite (pour l’exemple pr´ ec´ edent, k = 375 et n = 3). On notera D n l’ensemble des d´ ecimaux de [0, 1[ ayant le niveau de r´ esolution n, c’est-` a-dire de forme r´ eduite k10 ⁻ⁿ (on posera D 0 = {0}).

Nous construisons X par la proc´ edure suivante. On dispose de deux urnes. La pre- mi` ere contient des boules rouges et des vertes. On note p la proportion de boules rouges (0 < p < 1) et q celle des vertes. La deuxi` eme urne contient 10 boules num´ erot´ ees de 0 ` a 9. On effectue des tirages avec remise dans la premi` ere urne jusqu’` a la premi` ere apparition d’une rouge. On note N le nombre (al´ eatoire) de tirages n´ ecessaires. Une fois connue la valeur de N , on effectue N tirages avec remise d’une boule dans la deuxi` eme urne. En notant Y _j le chiffre sorti lors du j-` eme tirage dans la deuxi` eme urne (i ≤ N ), on forme le nombre d´ ecimal :

X(ω) = 0, Y ₁ (ω)Y ₂ (ω) . . . Y _N(ω) (ω) =

N(ω)

X

j=1

Y _j (ω) 10 ^j .

1) N est le temps d’attente du premier succ` es dans une suite d’´ epreuves r´ ep´ et´ ees ind´ ependantes ¹ avec ` a chaque ´ epreuve mˆ eme probabilit´ e de succ` es p. On sait [ICP, 3.3.5]

que N suit la loi g´ eom´ etrique de param` etre p qui est caract´ eris´ ee par : N (Ω) = N ^∗ , ∀k ∈ N ^∗ , P(N = k) = q ^k−1 p.

2) Soit n fix´ e. Lorsque l’on effectue n tirages avec remise dans la deuxi` eme urne, on consid` ere que toutes les n-suites possibles de r´ esultats (il y en 10 ⁿ ) ont mˆ eme probabilit´ e de sortie. On mod´ elise ainsi les tirages avec remise par Ω _n = {0, 1, . . . , 8, 9} ⁿ , muni de la

1 Il est l´ egitime de consid´ erer les ´ epreuves comme ind´ ependantes parce que les tirages se font avec

remise.

(2)

tribu F _n = P (Ω _n ) et de la probabilit´ e uniforme d´ efinie par P _n ({ω}) = 1/ card Ω. Avec ce mod` ele, la probabilit´ e d’obtenir une suite ω = (c ₁ , . . . , c _n ) de n chiffres d´ ecimaux choisie

`

a l’avance est donc 10 ⁻ⁿ .

Tout espace probabilis´ e (Ω, F , P) mod´ elisant correctement l’exp´ erience ´ etudi´ ee doit donner pour P(Y ₁ = c ₁ , Y ₂ = c ₂ , . . . , Y _n = c _n | N = n) la mˆ eme valeur que lorsqu’on fait d` es le d´ epart n tirages avec remise, autrement dit

P(Y ₁ = c ₁ , Y ₂ = c ₂ , . . . , Y _n = c _n | N = n) = P _n ({ω}) = 10 ⁻ⁿ , ω = (c ₁ , . . . , c _n ) ∈ Ω _n . Ce raisonnement de type « cahier des charges » est standard en th´ eorie des probabilit´ es. Il est assez rare que l’on calcule P(A | B) par sa d´ efinition. On lui attribue directement une valeur en analysant l’exp´ erience (lorsque la connaissance de la r´ ealisation de B simplifie cette exp´ erience) et on se sert de cette valeur pour en d´ eduire celle que devrait avoir P(A ∩ B) dans tout mod` ele « raisonnable ».

3) Il y a une infinit´ e de fa¸cons d’´ ecrire 0,375 sous la forme d’un d´ eveloppement d´ ecimal fini. La forme g´ en´ erale d’un tel d´ eveloppement est

0, 375 0 . . . . 0

| {z }

(n − 3) chiffres

, n ≥ 3.

Il y a aussi un autre d´ eveloppement d´ ecimal de 0, 375, mais celui-la est illimit´ e, c’est 0,374 999 999 999 999 9 . . . 9 . . . . Il est exclu que l’on puisse obtenir un tel d´ eveloppement avec l’exp´ erience envisag´ ee car comme p > 0, P(N < +∞) = 1, voir [ICP, 3.3.5].

Avant de se lancer dans le calcul, remarquons que {X = 0,375} implique {N ≥ 3}, ce qui s’´ ecrit aussi {X = 0,375} ⊂ {N ≥ 3}. On en d´ eduit

{X = 0,375} = {X = 0,375} ∩ {N ≥ 3} = {X = 0,375} ∩

k≥3 ∪ {N = k}

.

Ceci nous donne une d´ ecomposition en r´ eunion d´ enombrable d’´ ev` enements deux ` a deux incompatibles :

{X = 0,375} = ∪

j≥3

{X = 0,375} ∩ {N = j}

.

En utilisant la σ-additivit´ e de P, on en d´ eduit P(X = 0,375) =

+∞

X

j=3

P

{X = 0,375} ∩ {N = j}

=

+∞

X

j=3

P

{Y ₁ = 3, Y ₂ = 7, Y ₃ = 5, Y ₄ = 0, . . . , Y _j = 0} ∩ {N = j}

.

La formule P(A ∩ B ) = P(A | B)P(B) (quand P(B) > 0) et les r´ esultats des questions 1) et 2) nous donnent

P

{Y 1 = 3, Y 2 = 7, Y 3 = 5, Y 4 = 0, . . . , Y j = 0} ∩ {N = j}

= P

Y ₁ = 3, Y ₂ = 7, Y ₃ = 5, Y ₄ = 0, . . . , Y _j = 0 | N = j

P(N = j ) = 10 ^−j q ^j−1 p.

(3)

Finalement le calcul de P(X = 0,375) se ram` ene ` a un calcul de s´ erie g´ eom´ etrique : P(X = 0,375) =

+∞

X

j=3

10 ^−j q ^j−1 p = p q

+∞

X

j=3

q 10

j

= p q

q 10

3 1

1 − ₁₀ ^q = pq ² 100(10 − q) . Pour g´ en´ eraliser ce r´ esultat, soit d ∈ D ⁿ et d = k10 ⁻ⁿ sa forme r´ eduite. Soit

k = u ₁ 10 ⁿ⁻¹ + u ₂ 10 ⁿ⁻¹ + . . . u n−1 10 + u _n , u _i ∈ {0, . . . , 9}, i = 1, . . . , n,

l’´ ecriture en base 10 de l’entier k. Une adaptation imm´ ediate de la d´ ecomposition utilis´ ee pour le cas d = 0,375 nous conduit ` a

P(X = d) =

+∞

X

j=n

P Y _i = u _i (1 ≤ i ≤ n) et Y _i = 0 (n < i ≤ j) | N = j

P(N = j)

=

+∞

X

j=n

10 ^−j q ^j−1 p

= p q

q 10

n 1 1 − ₁₀ ^q . Apr` es simplification, on obtient

P(X = d) = pq ⁿ⁻¹

(10 − q)10 ⁿ⁻¹ = p 9 + p

q 10

n−1

, d ∈ D n , n ≥ 1. (1) Le cas particulier d = 0 se traite de mani` ere analogue :

P(X = 0) =

+∞

X

j=1

P Y i = 0 (1 ≤ i ≤ j) | N = j

P(N = j ) =

+∞

X

j=1

q ^j−1 p

10 ^j = p 9 + p . 4) Pour v´ erifier que D est d´ enombrable, on pourrait se contenter de remarquer que D est union d´ enombrable des ensembles finis deux ` a deux disjoints D n . Pour construire une num´ erotation explicite des ´ el´ ements de D , une id´ ee simple est de consid´ erer succes- sivement chaque D ⁿ et de num´ eroter de gauche ` a droite les ´ el´ ements de l’ensemble fini D n avec les plus petits entiers non d´ ej` a utilis´ es ` a l’´ etape n − 1. Notons ϕ : D → N cette num´ erotation. Voici le d´ ebut de sa construction :

D 0

d 0

ϕ(d) 0 D 1

10d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ϕ(d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 2

100d 1 2 . . . 8 9 11 12 . . . 19 21 . . . . 88 89 91 . . . 99

ϕ(d) 10 11 . . . 17 18 19 20 . . . 27 28 . . . . 89 90 91 . . . 99

(4)

Afin d’obtenir une formule pour le calcul de ϕ(d) on d´ enombre D n . Il suffit pour cela de remarquer que les ´ el´ ements de D ⁿ sont les k10 ⁻ⁿ lorsque 0 ≤ k < 10 ⁿ , sauf ceux pour lesquels k est multiple de 10 :

D ⁿ = n k

10 ⁿ ; 0 ≤ k < 10 ⁿ o

\ n 10l

10 ⁿ ; 0 ≤ l < 10 ⁿ⁻¹ o

. (2)

On en d´ eduit imm´ ediatement que

card D _n = 10 ⁿ − 10 ⁿ⁻¹ .

De mˆ eme on v´ erifie, soit par un raisonnement direct, soit par cette formule que card n−1

j=0 ∪ D j

= 1 +

n−1

X

j=1

(10 ^j − 10 ^j−1 ) = 10 ⁿ⁻¹ , n ≥ 1.

On en d´ eduit (en prenant garde au fait que la num´ erotation commence ` a 0) que le plus grand ´ el´ ement de D n−1 et le plus petit ´ el´ ement de D n ont pour num´ eros respectifs,

ϕ 10 ⁿ⁻¹ − 1 10 ⁿ⁻¹

= 10 ⁿ⁻¹ − 1, ϕ 1 10 ⁿ

= 10 ⁿ⁻¹ .

Finalement, soit d ∈ D n , on peut l’´ ecrire d = k10 ⁻ⁿ avec k = 10l + r, 1 ≤ r ≤ 9. Dans cette division euclidienne de k par 10, la valeur du quotient l permet de compter tous les multiples de 10 inf´ erieurs ` a k : il y en a l + 1 (z´ ero compris). Le num´ ero de k dans la liste des entiers de 0 ` a k ´ etant k + 1, on obtient

ϕ(d) = (10 ⁿ⁻¹ − 1) + (k + 1) − (l + 1) = 10 ⁿ⁻¹ + k − l.

Notons [x] la partie enti` ere du r´ eel x, unique entier m tel que m ≤ x < m + 1. Comme l = [k/10] et k = 10 ⁿ d, on aboutit ` a

ϕ(d) = 10 ⁿ d + 10 ⁿ⁻¹ −

10 ⁿ⁻¹ d

− 1, d ∈ D n , n ≥ 1.

5) La bijection ϕ : D → N construite ci-dessus est croissante s´ epar´ ement sur chaque D n , mais pas globalement sur D . Il en r´ esulte que ϕ ⁻¹ : N → D n’est pas croissante.

Montrons qu’il n’existe aucune num´ erotation croissante des ´ el´ ements de X(Ω) = D (i.e. v´ erifiant X(Ω) = D = {x _k ; k ∈ N } avec ∀k ∈ N , x _k < x _k+1 ). Supposons que ψ : N → D soit une telle num´ erotation croissante (ψ(k) = x _k ). D’abord, n´ ecessairement, ψ(0) = x ₀ = 0 car sinon x ₀ > 0 et comme ψ est croissante, ψ(k) > x ₀ > 0 pour tout k ≥ 1 et z´ ero ne serait jamais num´ erot´ e par ψ. Ensuite par croissance de ψ, x ₁ > x ₀ = 0 et ∀k ≥ 2, x _k > x ₁ . Comme ψ est surjective, il n’y a donc aucun ´ el´ ement de D dans ]0, x ₁ [. Ceci contredit la densit´ e de D dans [0, 1].

6) Calcul de X

d∈ D

n

d.

(5)

Il suffit d’utiliser (2) et la formule donnant la somme des termes d’une suite arith- m´ etique (nombre de termes multipli´ e par la moyenne du premier et du dernier) :

X

d∈ D

n

d =

10

ⁿ

−1

X

k=1

k 10 ⁿ −

10

ⁿ⁻¹

−1

X

l=1

l 10 ⁿ⁻¹

= 1

10 ⁿ

(10 ⁿ − 1)10 ⁿ

2 − 1

10 ⁿ⁻¹

(10 ⁿ⁻¹ − 1)10 ⁿ⁻¹

2 .

Apr` es simplification, on obtient X

d∈ D

n

d = 9

2 × 10 ⁿ⁻¹ , n ≥ 1. (3)

7) Comme X est une variable al´ eatoire discr` ete positive, d’ensemble de valeurs X(Ω) = D , son esp´ erance EX existe si la s´ erie X

d∈ D

d P(X = d) converge et EX vaut alors la somme de cette s´ erie.

La r` egle de sommation par paquets des s´ eries ` a termes positifs (convergentes ou non dans R + ) nous permet d’´ ecrire

X

d∈ D

d P(X = d) =

+∞

X

n=0

X

d∈ D

n

d P(X = d).

Pour tous les d dans D _n , les P(X = d) ont la mˆ eme valeur donn´ ee par (1) ; compte-tenu de (3), ceci nous permet de voir que la convergence de la s´ erie ´ equivaut ` a celle de la s´ erie g´ eom´ etrique de raison q (0 < q < 1) et de calculer sa somme :

EX =

+∞

X

n=1

pq ⁿ⁻¹

(10 − q)10 ⁿ⁻¹ × 9

2 × 10 ⁿ⁻¹

=

+∞

X

n=1

9p

2(10 − q) q ⁿ⁻¹

= 9p

2(10 − q) 1 1 − q . En se souvenant que q = 1 − p, on obtient

EX = 9

2(10 − q) = 9

2(9 + p) . (4)

La fonction p 7→ (9 + p) ⁻¹ ´ etant strictement d´ ecroissante sur [0, 1], on a l’encadrement 9

20 < EX < 1 2 .

Pour interpr´ eter cet encadrement, consid´ erons d’abord le cas limite p = 1. Dans ce cas

il n’y a que des boules rouges dans la premi` ere urne et on effectue un seul tirage dans la

(6)

deuxi` eme. La loi de X est alors la loi uniforme sur ∆ ₁ := {k/10; 0 ≤ k ≤ 9} = D 0 ∪ D 1

son esp´ erance est EX =

9 X

k=0

k 10 × 1

10 = 1 10 ²

9 X

k=0

k = 1

10 ² × 10(0 + 9)

2 = 9

20 = 0,45 (p = 1).

Cette esp´ erance est le barycentre du syst` eme de masses ponctuelles de cette loi uni- forme sur ∆ ₁ . Si on avait consid´ er´ e la loi uniforme sur ∆ ₁ ∪ {1}, on aurait trouv´ e comme barycentre 1/2. Ce d´ ecalage vers la gauche du barycentre se retrouve quand on fait n tirages dans la deuxi` eme urne. La loi du nombre d´ ecimal al´ eatoire Z _n de

∆ _n = {k10 ⁻ⁿ ; 0 ≤ k < 10 ⁿ } = ∪ ⁿ

j=0 D j ainsi fabriqu´ e a pour esp´ erance EZ _n =

10

ⁿ

−1

X

k=0

k

10 ⁿ × 1

10 ⁿ = 1 10 ²ⁿ

10 ⁿ (10 ⁿ − 1)

2 = 1

2 1 − 1 10 ⁿ

.

On observe que ce d´ ecalage du barycentre vers la gauche s’att´ enue quand n augmente.

Notons Q _n la loi de Z _n . Comme on l’a vu ` a la question 2), on a

Q n ({d}) = P(Z n = d) = P(X = d | N = n) (d ∈ ∆ n ).

On peut donc dire que Q _n est aussi la loi conditionnelle de X sachant {N = n}, c’est-` a- dire la mesure image ² par X de la probabilit´ e P( . | N = n). La formule des probabilit´ es totales nous dit que pour tout A ∈ Bor( R ),

P X (A) = P(X ∈ A) = X

n∈ N

^∗

P(X ∈ A | N = n)P(N = n) = X

n∈ N

^∗

Q n (A)P(N = n).

On voit ainsi que la loi P _X de X est un m´ elange des lois Q _n avec pour coefficients les P(N = n), ce qui se traduit par l’´ egalit´ e de mesures :

P _X = X

n∈ N

^∗

P(N = n)Q _n .

A partir de cette formule, il est facile de v´ ` erifier (faites le !) que EX =

+∞

X

n=1

P(N = n)EZ n . (5)

Si l’objectif du probl` eme avait seulement ´ et´ e le calcul de EX, cette m´ ethode aurait mˆ eme

´ et´ e plus simple que celle expos´ ee ci-dessus.

Avec (5), on comprend que la barycentre de la loi de X est d’autant plus proche de 1/2 que les valeurs de EZ _n pour n grand ont un poids plus ´ elev´ e, autrement dit

2 On consid` ere X comme une variable al´ eatoire sur l’espace probabilis´ e (Ω, F, P( . | N = n)) au lieu

de (Ω, F, P).

(7)

que P(N = n) tend plus lentement vers 0 quand n tend vers +∞. Et bien sˆ ur, cette convergence est d’autant plus lente que q est plus grand donc p plus petit.

Consid´ erons enfin le cas limite p = 0. Dans ce cas on n’obtient jamais de boule rouge et on ferait une infinit´ e de tirages dans la premi` ere urne et donc on devrait faire une infinit´ e de tirages remise dans la deuxi` eme. Passant sur l’impossibilit´ e physique de cette exp´ erience ³ , on peut quand mˆ eme d´ efinir math´ ematiquement la variable al´ eatoire X dans ce cas par

X =

+∞

X

j=1

Y _j (ω) 10 ^j .

Cette s´ erie converge pour tout ω. La loi de X est alors la mesure de Lebesgue sur [0, 1[

(lire ` a ce sujet [ICP, 6.5]) et son esp´ erance ou barycentre est 1/2.

8) Soit F la fonction de r´ epartition de X : F (x) = P(X ≤ x). On sait que F est continue ` a droite et a une limite ` a gauche en tout point. De plus pour tout a ∈ R ,

F (a) − F (a ⁻ ) = P(X = a) = P _X ({a}), (6) en notant F (a ⁻ ) la limite ` a gauche de F au point a [ICP, Th. 3.4, Lem. 3.5]. D’apr` es (6), en tout point d ∈ D , on a F (d) > F (d ⁻ ) ≥ F (x) pour x < d. Comme tout intervalle ouvert de [0, 1[ contient un d´ ecimal, F n’est constante sur aucun intervalle ouvert de [0, 1[. Elle n’est donc pas en escaliers sur [0, 1[. Ceci contraste avec les f.d.r. des lois discr` etes usuelles (pour lesquelles on a une num´ erotation croissante de X(Ω) et o` u F est constante sur [x k , x k+1 [, donc en escaliers).

9) Toujours d’apr` es (6), F est continue au point a si P(X = a) = 0, autrement dit si a / ∈ D et discontinue si P(X = a) > 0, donc si a ∈ D . On a donc construit ` a partir d’une exp´ erience tr` es simple une fonction de r´ epartition discontinue en tout d´ ecimal de [0, 1[ et continue en tout r´ eel non d´ ecimal de [0, 1[ (et aussi en tout x / ∈ [0, 1[).

10) Calcul de P(X ≤ 0,375 | N = j).

Pour calculer cette probabilit´ e conditionnelle, on se place dans la situation o` u l’´ ev` ene- ment {N = j} est r´ ealis´ e. On effectue alors exactement j tirages avec remise dans la deuxi` eme urne. Chaque suite de chiffres possible a alors mˆ eme probabilit´ e d’apparition 10 ^−j . Il revient au mˆ eme de dire que le nombre d´ ecimal X ainsi g´ en´ er´ e suit la loi uniforme sur ∆ _j = {k10 ^−j ; 0 ≤ k < 10 ^j }, ou encore que la variable al´ eatoire ` a valeurs enti` eres 10 ^j X suit la loi uniforme sur {0, 1, 2, . . . , 10 ^j − 1}. On en d´ eduit que

P(X ≤ 0,375 | N = j ) = P(10 ^j X ≤ 0,375 × 10 ^j | N = j )

= P(10 ^j X ≤ [0,375 × 10 ^j ] | N = j)

= 1 + [0,375 × 10 ^j ]

10 ^j .

3 On peut imaginer qu’il y ait deux exp´ erimentateurs, le premier tirant les boules vertes et le second proc´ edant ` a un nouveau tirage avec remise d’une boule num´ erot´ ee chaque fois qu’une boule verte sort de la premi` ere urne, ainsi on n’attend pas un temps infini la premi` ere sortie d’une rouge pour commencer

`

a construire X et on peut consid´ erer que l’on r´ ealise X par passage ` a la limite.

(8)

La partie enti` ere [0,375 × 10 ^j ] utilis´ ee dans cette formule n’a d’importance que pour j < 3. En effet 0,375 × 10 ^j est entier pour j ≥ 3. Pour j < 3, on peut d’ailleurs v´ erifier directement que

P(X ≤ 0,375 | N = 1) = P(Y ₁ ≤ 3 | N = 1) = 4 10 ,

P(X ≤ 0,375 | N = 2) = P (Y ₁ ≤ 2 et Y ₂ quelconque) ou (Y ₁ = 3 et Y ₂ ≤ 7) | N = 2 )

= 38 100 .

11) Le raisonnement fait ` a la question pr´ ec´ edente se g´ en´ eralise imm´ ediatement ` a d quelconque dans D .

∀d ∈ D , P (X ≤ d | N = j) = [10 ^j d] + 1

10 ^j . (7)

12) Calcul de F (k/10) pour 0 ≤ k ≤ 9.

En appliquant la formule des probabilit´ es totales, F

k 10

= P

X ≤ k 10

=

+∞

X

j=1

P

X ≤ k

10 | N = j

P(N = j)

=

+∞

X

j=1

[k10 ^j−1 ] + 1 10 ^j q ^j−1 p

=

+∞

X

j=1

k

10 q ^j−1 p +

+∞

X

j=1

q ^j−1 p 10 ^j

= k

10 + p 10

+∞

X

j=1

q 10

j−1

= k

10 + p 9 + p .

Si d = l/100 avec 0 ≤ l ≤ 99, on a [10 ^j d] = 10 ^j d d` es que j ≥ 2. D’o` u le calcul F (d) = P

X ≤ d

=

+∞

X

j=1

P(X ≤ d | N = j)P(N = j )

= [10d]

10 p +

+∞

X

j=2

dq ^j−1 p +

+∞

X

j=1

q ^j−1 p 10 ^j

= [10d]

10 p + dq + p 9 + p .

En particulier quand l est multiple de 10, [10d]/10 = d et on retrouve la formule ´ etablie

pour d de la forme k/10, F (d) = d + p/(9 + p) = d + F (0).

(9)

13) Formule g´ en´ erale pour F (d), d ∈ D .

Prenons d = k10 ⁻ⁿ (pas forc´ ement sous forme r´ eduite), 0 ≤ k < 10 ⁿ . Alors pour j ≥ n on a [10 ^j d]10 ^−j = d. En appliquant la mˆ eme m´ ethode que ci-dessus, on arrive ` a

P(X ≤ d) =

n−1

X

j=1

[10 ^j d]

10 ^j q ^j−1 p +

+∞

X

j=2

dq ^j−1 p + p 9 + p

=

n−1

X

j=1

[10 ^j d]

10 ^j q ^j−1 p + dq ⁿ⁻¹ + p 9 + p .

On peut voir que cette formule ne d´ epend pas de la repr´ esentation choisie pour d, en remarquant que si k = 10 ^m l, pour j ≥ n−m, [10 ^j d]10 ^−j = d et pour avoir la mˆ eme valeur de F (d) avec les deux repr´ esentations d = k10 ⁻ⁿ et d = l10 ^−n+m , il reste seulement ` a v´ erifier que

n−1

X

j=n−m

q ^j−1 p + q ⁿ⁻¹ = q ^n−m−1 ,

exercice ´ el´ ementaire sur les suites g´ eom´ etriques, laiss´ e au lecteur.

On pr´ esente maintenant quelques repr´ esentations graphiques de la fonction de r´ e- partition F , suivant les valeurs de p. ` A proprement parler, il est impossible de dessiner physiquement le graphe de F puisqu’il pr´ esente une infinit´ e de discontinuit´ es. On s’est content´ e de faire calculer les valeurs de F (d) pour d = k10 ⁻⁴ et de les afficher ⁴ . Le ni- veau de r´ esolution de l’´ ecran et celui de l’imprimante donnent une illusion de continuit´ e quand l’amplitude des sauts est inf´ erieure ` a un pixel. Les zooms successifs montrent qu’il n’en est rien et font apparaˆıtre la structure fractale de F .

4 Les calculs et les graphiques ont ´ et´ e r´ ealis´ es avec le logiciel libre Scilab d´ evelopp´ e par l’INRIA. Ce

logiciel peut ˆ etre t´ el´ echarg´ e ` a l’adresse URL http ://www-rocq.inria.fr/scilab

(10)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

...

Fig. 1 – F pour p = 0,25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

...

Fig. 2 – F pour p = 0,85

(11)

Corrig´ e du D.M. 1 Ch. Suquet

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

...

Fig. 3 – F pour p = 0,5

0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21

0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21

...

Fig. 4 – F pour p = 0,5, zoom sur [0.1; 0.2]

11

(12)

U.F.R. Math´ ematiques I.F.P. 2002–03

109e-3 111e-3 113e-3 115e-3 117e-3 119e-3 121e-3

1568e-4 1572e-4 1576e-4 1580e-4 1584e-4 1588e-4 1592e-4 1596e-4 1600e-4 1604e-4 1608e-4

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fig. 5 – F pour p = 0,5, zoom sur [0.11; 0.12]

12

(13)

Ex 2.

Soit Ω = {ω _k ; k ∈ N } un ensemble d´ enombrable, P (Ω) l’ensemble de toutes les parties de Ω. On consid` ere une fonction d’ensembles µ d´ efinie sur P (Ω) et ` a valeurs dans R ⁺ (en particulier µ(Ω) < +∞). On suppose que µ a les propri´ et´ es suivantes :

a) µ est additive : pour toutes parties disjointes A et B de Ω, µ(A∪B ) = µ(A)+µ(B).

b) µ(Ω) = P

k∈ N p _k , o` u p _k = µ({ω _k }).

On se propose de montrer que µ est σ-additive. Pour cela on d´ efinit sur P (Ω) une nouvelle fonction d’ensembles ν par :

∀A ⊂ Ω, ν(A) := X

ω

k

∈A

p _k .

1) ν est bien d´ efinie car la somme des p _k index´ ee par la condition ω _k ∈ A est soit une somme d’un nombre fini de termes (voire d’aucun et dans ce cas particulier, elle vaut 0 par convention), soit une sous-s´ erie de la s´ erie ` a termes positifs P

k∈ N p _k , laquelle converge dans R + puisque µ(Ω) < +∞. La σ-additivit´ e de ν est alors une cons´ equence imm´ ediate de la r` egle de sommation par paquets d’une s´ erie ` a termes positifs. Ainsi ν est une mesure sur (Ω, P (Ω)), donc v´ erifie la propri´ et´ e de continuit´ e croissante s´ equentielle : si (A _n ) est une suite croissante pour l’inclusion de parties de Ω, ν(A _n ) converge en croissant vers ν(A), o` u A est l’union des A _n .

2) Montrons que pour tout A ∈ P (Ω), ν(A) ≤ µ(A).

Consid´ erons pour tout n ∈ N , l’ensemble A _n := {ω _k ∈ A; k ≤ n}. C’est clairement un sous-ensemble de A, d’o` u par additivit´ e de µ,

µ(A) = µ A _n ∪ (A \ A _n )

= µ(A _n ) + µ(A \ A _n ) ≥ µ(A _n ),

puisque µ est ` a valeurs positives. Comme A _n est un ensemble fini, on a par additivit´ e finie de µ (laquelle est une cons´ equence imm´ ediate de a)) :

µ(A n ) = µ

ω

k

∪ ∈A

n

{ω k }

= X

ω

k

∈A

n

µ({ω k }) = X

ω

k

∈A

n

p k = ν(A n ).

On a donc

∀n ∈ N , µ(A) ≥ ν ₍ A _n ). (8) Par continuit´ e croissante s´ equentielle de la mesure ν on a ν(A _n ) ↑ ν(A) et en passant ` a la limite dans (8), on obtient

∀A ∈ P (Ω), µ(A) ≥ ν ₍ A). (9) 3) Appliquons (9) ` a A ^c , pour A quelconque dans P (Ω) :

µ(A ^c ) ≥ ν ₍ A ^c ) (10)

Comme µ est additive, µ(Ω) = µ(A)+µ(A ^c ) et comme µ(A) < +∞ (µ ´ etant ` a valeurs

dans R ⁺ ), on a µ(A ^c ) = µ(Ω) − µ(A). La mesure finie ν v´ erifie ν(A ^c ) = ν(Ω) − ν(A).

(14)

Par l’hypoth` ese b), ν(Ω) = µ(Ω) < +∞, d’o` u en reportant dans (10), −µ(A) ≥ −ν(A).

On a ainsi montr´ e que

∀A ∈ P (Ω), ν(A) ≥ µ ₍ A). (11) Les in´ egalit´ es (9) et (11) entraˆınent

∀A ∈ P (Ω), µ(A) = ν(A).

Ainsi les deux fonctions d’ensembles µ et ν sont ´ egales et comme ν est une mesure, il en est de mˆ eme pour µ.

R´ ef´ erences

[ICP] Ch. Suquet , Introduction au Calcul des Probabilit´ es, cours de DEUG, Lille 2001.

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IFP Année 2001-02 Corrigé du Devoir n

IFP Ann´ ee 2001-02

Corrig´ e du Devoir n o 1 4 mars 2002

Ex 1. Une loi discr` ete pathologique

X(ω) = 0, Y 1 (ω)Y 2 (ω) . . . Y N(ω) (ω) =

N(ω)

X

j=1

Y j (ω) 10 j .

1) N est le temps d’attente du premier succ` es dans une suite d’´ epreuves r´ ep´ et´ ees ind´ ependantes 1 avec ` a chaque ´ epreuve mˆ eme probabilit´ e de succ` es p. On sait [ICP, 3.3.5]

que N suit la loi g´ eom´ etrique de param` etre p qui est caract´ eris´ ee par : N (Ω) = N ∗ , ∀k ∈ N ∗ , P(N = k) = q k−1 p.

1 Il est l´ egitime de consid´ erer les ´ epreuves comme ind´ ependantes parce que les tirages se font avec

remise.

tribu F n = P (Ω n ) et de la probabilit´ e uniforme d´ efinie par P n ({ω}) = 1/ card Ω. Avec ce mod` ele, la probabilit´ e d’obtenir une suite ω = (c 1 , . . . , c n ) de n chiffres d´ ecimaux choisie

`

a l’avance est donc 10 −n .

Tout espace probabilis´ e (Ω, F , P) mod´ elisant correctement l’exp´ erience ´ etudi´ ee doit donner pour P(Y 1 = c 1 , Y 2 = c 2 , . . . , Y n = c n | N = n) la mˆ eme valeur que lorsqu’on fait d` es le d´ epart n tirages avec remise, autrement dit

3) Il y a une infinit´ e de fa¸cons d’´ ecrire 0,375 sous la forme d’un d´ eveloppement d´ ecimal fini. La forme g´ en´ erale d’un tel d´ eveloppement est

0, 375 0 . . . . 0

| {z }

(n − 3) chiffres

, n ≥ 3.

Il y a aussi un autre d´ eveloppement d´ ecimal de 0, 375, mais celui-la est illimit´ e, c’est 0,374 999 999 999 999 9 . . . 9 . . . . Il est exclu que l’on puisse obtenir un tel d´ eveloppement avec l’exp´ erience envisag´ ee car comme p > 0, P(N < +∞) = 1, voir [ICP, 3.3.5].

Avant de se lancer dans le calcul, remarquons que {X = 0,375} implique {N ≥ 3}, ce qui s’´ ecrit aussi {X = 0,375} ⊂ {N ≥ 3}. On en d´ eduit

{X = 0,375} = {X = 0,375} ∩ {N ≥ 3} = {X = 0,375} ∩

k≥3 ∪ {N = k}

.

Ceci nous donne une d´ ecomposition en r´ eunion d´ enombrable d’´ ev` enements deux ` a deux incompatibles :

{X = 0,375} = ∪

j≥3

{X = 0,375} ∩ {N = j}

.

En utilisant la σ-additivit´ e de P, on en d´ eduit P(X = 0,375) =

+∞

X

j=3

P

{X = 0,375} ∩ {N = j}

=

+∞

X

j=3

P

{Y 1 = 3, Y 2 = 7, Y 3 = 5, Y 4 = 0, . . . , Y j = 0} ∩ {N = j}

.

La formule P(A ∩ B ) = P(A | B)P(B) (quand P(B) > 0) et les r´ esultats des questions 1) et 2) nous donnent

P

{Y 1 = 3, Y 2 = 7, Y 3 = 5, Y 4 = 0, . . . , Y j = 0} ∩ {N = j}

= P

Y 1 = 3, Y 2 = 7, Y 3 = 5, Y 4 = 0, . . . , Y j = 0 | N = j

P(N = j ) = 10 −j q j−1 p.

Finalement le calcul de P(X = 0,375) se ram` ene ` a un calcul de s´ erie g´ eom´ etrique : P(X = 0,375) =

+∞

X

j=3

10 −j q j−1 p = p q

+∞

X

j=3

q 10

j

= p q

q 10

3 1

1 − 10 q = pq 2 100(10 − q) . Pour g´ en´ eraliser ce r´ esultat, soit d ∈ D n et d = k10 −n sa forme r´ eduite. Soit

k = u 1 10 n−1 + u 2 10 n−1 + . . . u n−1 10 + u n , u i ∈ {0, . . . , 9}, i = 1, . . . , n,

l’´ ecriture en base 10 de l’entier k. Une adaptation imm´ ediate de la d´ ecomposition utilis´ ee pour le cas d = 0,375 nous conduit ` a

P(X = d) =

+∞

X

j=n

P Y i = u i (1 ≤ i ≤ n) et Y i = 0 (n < i ≤ j) | N = j

P(N = j)

=

+∞

X

j=n

10 −j q j−1 p

= p q

q 10

Corrig´ e du Devoir n ^o 1 4 mars 2002

X(ω) = 0, Y ₁ (ω)Y ₂ (ω) . . . Y _N(ω) (ω) =

Y _j (ω) 10 ^j .

1) N est le temps d’attente du premier succ` es dans une suite d’´ epreuves r´ ep´ et´ ees ind´ ependantes ¹ avec ` a chaque ´ epreuve mˆ eme probabilit´ e de succ` es p. On sait [ICP, 3.3.5]

que N suit la loi g´ eom´ etrique de param` etre p qui est caract´ eris´ ee par : N (Ω) = N ^∗ , ∀k ∈ N ^∗ , P(N = k) = q ^k−1 p.

tribu F _n = P (Ω _n ) et de la probabilit´ e uniforme d´ efinie par P _n ({ω}) = 1/ card Ω. Avec ce mod` ele, la probabilit´ e d’obtenir une suite ω = (c ₁ , . . . , c _n ) de n chiffres d´ ecimaux choisie

a l’avance est donc 10 ⁻ⁿ .

Tout espace probabilis´ e (Ω, F , P) mod´ elisant correctement l’exp´ erience ´ etudi´ ee doit donner pour P(Y ₁ = c ₁ , Y ₂ = c ₂ , . . . , Y _n = c _n | N = n) la mˆ eme valeur que lorsqu’on fait d` es le d´ epart n tirages avec remise, autrement dit

{Y ₁ = 3, Y ₂ = 7, Y ₃ = 5, Y ₄ = 0, . . . , Y _j = 0} ∩ {N = j}

Y ₁ = 3, Y ₂ = 7, Y ₃ = 5, Y ₄ = 0, . . . , Y _j = 0 | N = j

P(N = j ) = 10 ^−j q ^j−1 p.

10 ^−j q ^j−1 p = p q

1 − ₁₀ ^q = pq ² 100(10 − q) . Pour g´ en´ eraliser ce r´ esultat, soit d ∈ D ⁿ et d = k10 ⁻ⁿ sa forme r´ eduite. Soit

k = u ₁ 10 ⁿ⁻¹ + u ₂ 10 ⁿ⁻¹ + . . . u n−1 10 + u _n , u _i ∈ {0, . . . , 9}, i = 1, . . . , n,

P Y _i = u _i (1 ≤ i ≤ n) et Y _i = 0 (n < i ≤ j) | N = j

10 ^−j q ^j−1 p

n 1 1 − ₁₀ ^q . Apr` es simplification, on obtient

P(X = d) = pq ⁿ⁻¹

(10 − q)10 ⁿ⁻¹ = p 9 + p

q ^j−1 p

Afin d’obtenir une formule pour le calcul de ϕ(d) on d´ enombre D n . Il suffit pour cela de remarquer que les ´ el´ ements de D ⁿ sont les k10 ⁻ⁿ lorsque 0 ≤ k < 10 ⁿ , sauf ceux pour lesquels k est multiple de 10 :

D ⁿ = n k

10 ⁿ ; 0 ≤ k < 10 ⁿ o

10 ⁿ ; 0 ≤ l < 10 ⁿ⁻¹ o

card D _n = 10 ⁿ − 10 ⁿ⁻¹ .

(10 ^j − 10 ^j−1 ) = 10 ⁿ⁻¹ , n ≥ 1.

ϕ 10 ⁿ⁻¹ − 1 10 ⁿ⁻¹

= 10 ⁿ⁻¹ − 1, ϕ 1 10 ⁿ

= 10 ⁿ⁻¹ .

ϕ(d) = (10 ⁿ⁻¹ − 1) + (k + 1) − (l + 1) = 10 ⁿ⁻¹ + k − l.

Notons [x] la partie enti` ere du r´ eel x, unique entier m tel que m ≤ x < m + 1. Comme l = [k/10] et k = 10 ⁿ d, on aboutit ` a

ϕ(d) = 10 ⁿ d + 10 ⁿ⁻¹ −

10 ⁿ⁻¹ d

5) La bijection ϕ : D → N construite ci-dessus est croissante s´ epar´ ement sur chaque D n , mais pas globalement sur D . Il en r´ esulte que ϕ ⁻¹ : N → D n’est pas croissante.

k 10 ⁿ −