Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IP-1 Année 2004-2005 Éléments de corrigé de la Fiche n

(1)

IP-1 Ann´ee 2004-2005

El´´ ements de corrig´e de la Fiche n^o4

Ex 2. Soit (Ω,F, µ) un espace mesur´e et (f_n)_n≥1 une suite d’applications Ω → R+, mesurables F-Bor(R+). On suppose que f_n converge sur tout Ω vers une fonction f et que la suite des int´egrales R

Ωf_ndµconverge vers un r´eel c > 0.

1) Montrer queR

Ωfdµest bien défini et appartient à [0, c], mais n’est pas forcément

´egal `ac.

2) Montrer par des exemples que toutb∈[0, c] est une valeur possible pour R fdµ.

Indications.Pour le 1), utiliser le lemme de Fatou. Pour le 2), examiner l’exemple suivant avec Ω =R, µ=λ (mesure de Lebesgue) :

fn=1_[0,b]+n(c−b)1]c−1/n,c[. Faire un dessin.

Ex 3. Identification de mesures finies

SoitCb l’ensemble des fonctions continues born´ees surR. Soient µetν deux mesures finies sur (R,Bor(R)). Montrer que si pour toute f de Cb, R

Rf dµ = R

Rf dν, alors µ=ν.Indication : interpr´eter la fonction indicatrice d’un intervalle ouvert ]a, b[ comme la limite d’une suite croissante de fonctions continues et born´ees sur R.

Solution. Fixons un intervalle ouvert non vide ]a, b[ quelconque et consid´erons la suite (f_n)n≥n0 d´efinie par la figure 1. Ici n₀ est choisi de sorte que pour n ≥ n₀, a+ 1/n <

b−1/n.

On voit facilement que¹

∀x∈R, f_n(x)−−−−→

n→+∞ 1_]a,b[(x).

1. Remarquons qu’il est important ici d’avoir la convergence pour tout x∈R et pas seulementµ- presque partout. En effet la construction defn ne dépend aucunement de la mesureµet le résultat doit être valable pour n’importe quelle mesure finieµ. S’il y avait ne serait-ce qu’un pointx0tel quefn(x0) ne converge pas vers1]a,b[(x0), il suffirait de prendre une mesureµ ayant une masse ponctuelle enx0

pour que la convergenceµ-p.p. defn vers1]a,b[ soit en d´efaut.

(2)

- 6

x

a a+ ¹_n 0 b− _n¹ b

C

C C

C CC

y 1

Fig. 1 – Fonctionf_n

Remarquons de plus que la suite (f_n) est croissante. Comme chaque f_n est continue born´ee sur R, on a par hypoth`ese :

∀n≥n₀, Z

R

f_ndµ= Z

R

f_ndν. (1)

Comme les f_n sont mesurables positives, on a par le théorème de Beppo Levi² (ap- pliqué avec chacune des mesures µet ν)

Z

R

f_ndµ↑ Z

R

1_]a,b[dµ=µ(]a, b[), Z

R

f_ndν ↑ Z

R

1_]a,b[dν =ν(]a, b[).

En passant à la limite dans (1), on en déduit que µ(]a, b[) =ν(]a, b[). Comme ]a, b[ était quelconque,µ etν co¨ıncident sur la classe P de tous les intervalles ouverts ]a, b[. Cette classe engendre la tribu borélienne de R et est stable par intersections finies (c’est une π-classe). On peut donc appliquer le théorème d’unicité des mesures (cf. cours d’IFP 2003–04, chapitre 1, Th. 1.34) dont voici l’énoncé.

Théorème 1. Soient µet ν deux mesures définies sur le même espace mesurable (Ω,F) et qui co¨ıncident sur une π-classe P (P ⊂F).

a) Si µ(Ω) = ν(Ω) < +∞, alors µ et ν co¨ıncident sur σ(P) (qui est une sous-tribu de F).

b) Si µ(Ω) = +∞ et s’il existe dans P une suite (A_n)n∈N^∗ de r´eunion Ω et telle que pour tout n∈N^∗, µ(A_n)<+∞, alors µ et ν co¨ıncident sur σ(P).

Ici on est dans le cas a) et on conclut que µ et ν co¨ıncident sur le tribu bor´elienne deR.

2. On peut aussi utiliser dans cet exercice le théorème de convergence dominée avec fonction domi- nante1]a,b[ qui est intégrable surRrelativement à n’importe quelle mesure finie.

(3)

Post scriptum.Le théorème d’unicité des mesures ne figurant pas sous cette forme dans le cours d’IP1 2004–05, voici une variante. En utilisant l’égalité deµetν sur la classe des intervalles ]a, b[, on en déduit qu’elles co¨ıncident aussi sur le semi-anneau de Boole des intervalles ]a, b] (noter que ]a, b] = ∩k≥1]a, b+ 1/k[ et utiliser la continuité séquentielle décroissante pour les mesures finies). On en déduit ensuite que µ et ν co¨ıncident sur l’anneau de Boole des réunions dénombrables d’intervalles ]a, b] deux à deux disjoints.

On conclut en utilisant la partie«unicité du prolongement»du théorème 1.9.1. du cours d’IP1.

Ex 6. Variations sur l’in´egalit´e de Markov

3) Inégalité de Chernoff.SoitX une variables aléatoire réelle sur (Ω,F,P) telle que pour un certain a >0,E eâX

soit finie. Montrer que

∀t∈R, P(X ≥t)≤e^−atE e^aX .

Solution.Pour a >0, l’applicationx7→eâx est croissante surR, on a donc l’implication X(ω)≥t⇒exp (aX(ω))≥exp (at). Ceci se traduit par l’inclusion d’évènements³

{X ≥t} ⊂ {exp (aX)≥exp (at)}, d’où l’inégalité

P(X ≥t)≤P(exp (aX)≥exp (at)).

En appliquant l’inégalité de Markov à la variable aléatoire positive Y := exp (aX), on en déduit l’inégalité de Chernoff.

Ex 8. Borel-Cantelli et la majoration asymptotique des records

Dans tout l’exercice, (X_k)k≥1 désigne une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (Ω,F,P). On ne fait aucune hypothèse sur la structure de dépendance de cette suite. On s’intéresse au comportement de la suite de variables aléatoires

M_n:= max

1≤k≤nX_k. 1) On suppose dans cette question que

∀k∈N^∗, ∀t ∈R+, P(X_k≥t)≤e^−t. (2) 1. a) Montrer que pour tout n≥1 et tout c∈R⁺,P(Mn≥clnn)≤n^1−c.

1. b) On fixe une constante c > 2. Montrer que l’inégalité M_n ≤ clnn est vérifiée presque sûrement pour tout n à partir d’un certain rang (aléatoire).

1. c) Montrer que lim sup

n→+∞

1

lnnMn ≤2 p.s.

3. En fait on a même ici uneégalité d’évènements; à vous de la justifier proprement.

(4)

Solution. On part de l’égalité d’évènements :

∀x∈R, {M_n≥x}={ω ∈Ω; ∃k ≤n, X_k(ω)≥x}= ∪ⁿ

k=1{X_k ≥x},

dont on d´eduit par sous-addidivit´e de P

∀x∈R, P(M_n≥x) =P _n

∪

k=1{X_k≥x}

≤

n

X

k=1

P(X_k≥x). (3) Cette inégalité est vérifiée pour n’importe quelle suite finie (X_k)1≤k≤n de variables aléa- toires réelles définies sur le même (Ω,F,P). Compte-tenu de l’hypothèse (2), on en déduit en prenant x=clnn dans (2),

∀c∈R+,∀n≥1, P(M_n≥clnn)≤ne^−c^lnⁿ =n^1−c. (4) Pourc > 2 fixé, posons An,c:={Mn≥clnn}. D’après (4) et puisque 1−c <−1, la série de terme généralP(A_n,c) converge dansR+. Par le premier lemme de Borel-Cantelli, on en déduit que l’ensemble A_c des ω qui appartiennent à une infinité de A_n,c est de probabilité nulle, donc que P(Ω\Ac) = 1. Or ω ∈ Ω\Ac si et seulement si l’inégalité M_n(ω)≥clnn n’est plus jamais vérifiée à partir d’un certain rangn₀(ω), autrement dit si et seulement si l’inégalité M_n < clnn est vérifiée pour tout n ≥ n₀(ω). On a donc bien presque sûrement Mn < clnn à partir d’un certain rang.

Soit k ∈N^∗ et posons B_k := Ω\A_2+1/k (c.-à.d. c= 2 + 1/k dans les notations pré- cédentes). Nons venons de voir que P(B_k) = 1 pour toutk ∈N^∗. NotonsB =∩k∈N^∗B_k. On sait qu’une intersection dénombrable d’évènements de probabilité 1 est encore de probabilité 1 (vérification facile en passant aux complémentaires), donc P(B) = 1. Or

∀ω ∈B,∀k∈N^∗,∃n0,k(ω)∈N^∗; ∀n≥n0,k(ω), M_n

lnn <2 + 1 k. On en d´eduit que

∀ω∈B,∀k ∈N^∗, lim sup

n→+∞

M_n

lnn ≤2 + 1 k.

Comme la limite sup´erieure ci-dessus ne d´epend pas de k, on conclut en faisant tendre k vers +∞ que

∀ω∈B, lim sup

n→+∞

M_n

lnn ≤2. (5)

Or B a pour probabilit´e 1 et d’apr`es (5), B ⊂n

lim sup

n→+∞

M_n lnn ≤2o

.

On en déduit que ce dernier évènement est lui aussi de probabilité 1, ce qui était la conclusion recherchée.

(5)

Ex 9. Théorème de convergence décroissante

Soit (f_n)_n≥1 une suite décroissante de fonctions mesurables positives sur (Ω,F, µ) telle que f₁ soit µ-intégrable. Montrer que (f_n) converge simplement vers f, que f est intégrable et que lim

n

R

Ωf_ndµ=R

Ωf dµ.

Trouver un contre-exemple dans le cas o`u l’on omet la condition f₁ µ-int´egrable.

Indications. Par décroissance de (f_n)n≥1, cette suite converge simplement sur Ω vers une fonction mesurable positive f. Vérifier que toutes les fn sontµ-intégrables. Ensuite appliquer le théorème de Beppo Levi à la suite croissante (g_n)n≥1définie parg_n:=f₁−f_n. Conclure en utilisant la finitude des R

Ωf_ndµ. Pour le contre exemple, on peut prendre Ω =R, µ=λ mesure de Lebesgue et pourfn la fonction constante 1/n.

Ex 10. Interversion limite int´egrale et convergence uniforme

Soit (f_n)n≥1 une suite d’applications int´egrables de (Ω,F, µ) dans (R,Bor(R)) o`u µ est une mesure finie.

1) Montrer que si (f_n) converge uniform´ement vers f sur Ω, alors f est int´egrable et limn→+∞

R

Ωf_ndµ=R

Ωfdµ.

2) Le r´esultat subsiste-t-il si µ n’est plus suppos´ee finie ? Solution. Ecrivons la convergence uniforme de´ f_n vers f sur Ω :

∀ε >0,∃n₀,∀n ≥n₀,∀ω ∈Ω, |f_n(ω)−f(ω)| ≤ε.

Remarquons que n₀ ne dépend pas de ω, ce qui nous permet de réécrire l’inégalité ci- dessus comme l’inégalité fonctionnelle|f_n−f| ≤ε. Par intégration de cette inégalité sur Ω relativement à µ, on obtient donc :

∀ε >0,∃n₀,∀n ≥n₀, Z

Ω

|f_n−f|dµ≤ε. (6) En utilisant (6) avec par exempleε= 1 et en intégrant l’inégalité|f| ≤ |fn0|+|fn0−f|, on obtient :

Z

Ω

|f|dµ≤ Z

Ω

|f_n₀|dµ+ Z

Ω

|f_n₀ −f|dµ≤ Z

Ω

|f_n₀|dµ+µ(Ω)<+∞, ce qui prouve l’int´egrabilit´e de f.

Maintenant⁴, on peut exploiter l’in´egalit´e R

Ωf_ndµ−R

Ωfdµ ≤R

Ω|f_n−f|dµpour d´eduire de (6) que

∀ε >0,∃n₀,∀n ≥n₀, Z

Ω

f_ndµ− Z

Ω

fdµ ≤ε, ce qui ´etablit la convergence de R

Ωf_ndµ vers R

Ωfdµ.

Comme contre exemple si µ(Ω) = +∞, on peut recycler celui de l’exercice 9.

4. Puisque l’on sait que f est intégrable,fn−f l’est aussi et par linéarité de l’intégrale R

Ωfndµ− R

Ωfdµ =

R

Ω(fn−f) dµ

. On utilise ensuite R

Ωgdµ ≤R

Ω|g|dµpour touteg µ-int´egrable en prenant g=fn−f.

(6)

Ex 11. Caractérisations de l’intégrabilité

Soit µ une mesure finie sur (Ω,F) et f : Ω → R une application finie µ-presque partout. Montrer que les quatre conditions suivantes sont ´equivalentes :

a) f estµ-int´egrable b) lim_n→+∞R

{|f|>n}|f|dµ= 0 c) P

n≥1

nµ({n <|f| ≤n+ 1})<+∞

d) P

n≥0

µ({|f|> n})<+∞.

Indications. Une fa¸con de faire est de montrer que a) ⇔ b), a) ⇔ c) et c) ⇔ d). Il y a peut-ˆetre plus ´economique, mais ce qui suit reste instructif.

1. Pour a) ⇒ b), utiliser le théorème de convergence dominée avec la suite (f_n) définie parf_n:=|f|1{|f|>n} et comme fonction dominante |f|. C’est essentiellemnt le même argument que dans l’inégalité de Markov «améliorée» vue à la question 1) de l’exercice 6.

2. Pour b) ⇒ a), commencer par v´erifier que pour tout entier n0, R

{|f|≤n₀}|f|dµ <

+∞ (ceci marche avec n’importe quelle fonction mesurable f). Ensuite ´ecrire la d´efinition de la convergence b) avec ε, n₀ et recoller les morceaux.

3. Pour a) ⇒ c), partitionner Ω en les ensembles A_n := {n < |f| ≤ n + 1} et A−1 ={f = 0}, puis minorer chaque int´egraleR

An|f|dµpour n∈N. 4. Pour c) ⇒ a), noter que la s´erie S := P

n≥1(n+ 1)µ({n < |f| ≤ n + 1}) est de même nature que celle intervenant dans c) (justifiez proprement cette affirmation en prenant garde au fait que certains termes peuvent être nuls et donc qu’on ne peut manipuler les équivalents directement). DoncS est convergente ici et comme S majore R

Ω|f|dµ(pourquoi ?), . . .

5. Pourc)⇔d), d´ecouper{|f|> n}en tranches disjointes, reporter ceci dans la s´erie P

n≥0µ({|f|> n}) et intervertir les sommations dans la s´erie double ainsi obtenue (en faire une vraie s´erie double en utilisant des indicatrices).

Pour les trois exercices suivants, il est conseillé de revoir au préalable la définition de l’intégrale de Riemann à partir des sommes de Darboux, soit dans le polycopié d’IFP 2003–04 chapitre 4, ou pour un document plus complet l’annexe du polycopié d’IPE 2004–2005 accessible sur la page web IP1 à l’URL suivnte

http://math.univ-lille1.fr/~suquet/ens/IP1/Cours/Riemann1.pdf Ex 12. Int´egrabilit´e des fonctions monotones

Soit f une fonction monotone [a, b]→R (−∞< a < b <+∞).

1) Montrer qu’elle est Riemann int´egrable.

2) Montrer qu’elle est aussi Lebesgue int´egrable (i.e. relativement `a λ) sur [a, b] et comparer R

[a,b]fdλ etRb

a f(x) dx.

Indications. Pour la question 1), voir par exemple le cours d’IPE cit´e ci-dessus, Prop.

A5. Pour la question 2), noter quef est borélienne (déjà vu dans une fiche précédente) et bornée, donc intégrable relativement à n’importe quelle mesure finie sur [a, b].

(7)

Ex 13. Pourquoi la fonction1_Q∩[0,1] n’est-elle pas Riemann int´egrable sur [0,1], mais Lebesgue int´egrable ?

Indications. Pour la non int´egrabilit´e Riemann, cf. cours d’IPE, exemple A2 p. 153.

L’intégrabilité Lebesgue vient de la mesurabilité (indicatrice d’un sous-ensemble dénom- brable de R, donc borélien) et de la bornitude.

Ex 14. Soit (f_n) la suite de fonctions [0,1]→Rd´efinies par : f_n(x) =

1 six=k2⁻ⁿ, o`u k∈N 0≤k ≤2ⁿ, 0 sinon.

1) Montrer que pour tout n, f_n est int´egrable au sens de Riemann et calculer son int´egrale (de Riemann).

2) Montrer que la suitef_nest bornée par une fonction intégrable au sens de Riemann et que f_n converge simplement vers une fonction f non intégrable au sens de Riemann.

Conclusion ?

Indications.f est Riemann int´egrable (cf. exemple A.1 p. 153 du cours d’IPE qui pr´esente une situation analogue) et Rb

a f(x) dx = 0. f_n converge simplement vers l’indicatrice des nombres dyadiques de [0,1] qui n’est pas Riemann intégrable (même preuve que pour l’indicatrice des rationnels de [0,1]). Cette convergence est dominée par la fonction constante 1 sur [0,1] qui est Riemann intégrable sur cet intervalle. Ceci montre que si l’on voulait établir un théorème de convergence dominée pour l’intégrale de Riemann, il faudrait obligatoirement rajouter dans les hypothèses l’intégrabilité de la fonction limite ponctuelle f. Alors que dans la théorie de Lebesgue, cette intégrabilité résulte de la domination de la suite (f_n) par une fonction intégrable.