Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees IFP Ann´ee 2001-2002 Devoir n

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IFP Ann´ee 2001-2002

Devoir n^o2

A rendre dans la semaine du 11 mars 2002`

Ex 1. R´egularit´e de la mesure

Soit E un espace m´etrique, muni de la distance d, et de la tribu des bor´eliens Bor(E).

On rappelle que la tribu des bor´eliens est la plus petite tribu contenant tous les ouverts deE. Soit µ une mesure sur (E,Bor(E)). On suppose que la mesureµ estfinie, c’est `a dire µ(E)<+∞.

On se propose de montrer la propri´et´e de r´egularit´e suivante sur la mesure µ : pour tout bor´elien B de Bor(E),

µ(B) = sup{µ(F); F ferm´e, F ⊂B}, (1)

µ(B) = inf{µ(V); V ouvert, B ⊂V}. (2)

Pour cela, on d´efinit l’ensemble

E :={B ∈Bor(E); B v´erifie (1) et (2)}.

1) Montrer que si E est une tribu et contient tous les ferm´es de E, alors E est la tribu Bor(E).

2) Soit F un ensemble de parties de E v´erifiant les propri´et´es suivantes : (i) E ∈ F;

(ii) A∈ F =⇒E\A∈ F; (iii) A, B ∈ F =⇒A∩B ∈ F;

(iv) (A_n)n≥1 ⊂ F, (A_n)n≥1 croissante =⇒ ∪

n≥1A_n∈ F. Montrer l’´equivalence

F v´erifie (i), (ii), (iii) et (iv) ⇐⇒ F est une tribu. (3) 3) Utiliser (3) pour prouver que E est une tribu.Indications : Pour (iii), on pourra utiliser apr`es l’avoir justifi´ee l’inclusion

A∩B ⊂(F ∩F⁰)∪(A\F)∪(B\F⁰), o`u F ⊂A et F⁰ ⊂B.

I.F.P. 2001–02, D.M. 2 Ph. Heinrich, M. Zani

Pour (iv), soit (A_n)n≥1 une suite croissante dans E etB = ∪

n≥1A_n. Pour prouver que B v´erifie (1) montrer d’abord pour toutε >0, l’existence d’unA_ntel queµ(B)≤µ(A_n)+ε.

Pour prouver que B v´erifie (2), construire une suite (V_n) d’ouverts de E tels que pour tout n≥1,

A_n ⊂V_n et µ(V_n)≤µ(A_n) +ε2⁻ⁿ. Utiliser alors apr`es justification l’´egalit´e

[

n≥1

V_n = [

n≥1

A_n

∪ [

n≥1

(V_n\A_n) .

4) On rappelle que pour tout x ∈ E, d(x, F) = inf{d(x, y), y ∈ F}. Montrer que tout ferm´e F de E peut s’´ecrire

F = \

k∈N^∗

{x∈E; d(x, F)< 1 k}.

En d´eduire que tout ferm´e de E est dansE. 5) Conclure.

6) En consid´erant le cas E = R et µ = P

k∈N^∗δ_1/n, montrer qu’on ne peut pas s’affranchir de l’hypoth`ese «µ finie» pour v´erifier (2).

Ex 2. Soit µune mesure sur R, Bor(R)

v´erifiant les deux propri´et´es suivantes : (i) µ(]0,1]) = 1,

(ii) µest invariante par translations.

1) Soit p∈N^∗. Calculer µ(]0, p]).

2) Soit r un nombre rationnel de la forme p/q avec p, q ∈N^∗. Montrer que

µ(]0, r]) = r. (4)

Indication : commencer par calculer µ(]0,1/q]).

3) Montrer queµest finie sur tout intervalle born´e, puis que l’´egalit´e (4) reste vraie pourr∈R+.

4) En d´eduire que pour tous r´eels a, bavec a≤b, µ(]a, b]) = b−a.

Que peut-on en conclure ?

5) Trouver toutes les mesures µ sur R, Bor(R)

, invariantes par translation et telles queµ(]0,1]) <+∞.

2