Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees IP-1 Ann´ee 2004-2005 Corrig´e partiel Fiche n

IP-1 Ann´ee 2004-2005

Corrig´e partiel Fiche n^o3

Ex 1. Soit la fonction f :R→(R,Bor(R)) d´efinie par f(x) :=x².

1) Montrons que f⁻¹(Bor(R)) est ´egale `aS:={A∈Bor(R); A=−A}.

SoitA=f⁻¹(B),Bbor´elien quelconque deR, un ´el´ement quelconque def⁻¹(Bor(R)).

On a

A=f⁻¹(B) ={x∈R; x² ∈B} = {x∈R; x² ∈B∩R⁺}

= {±√

y; y ∈B ∩R⁺}

= {√

y; y ∈B ∩R⁺} ∪ {−√

y; y∈B∩R⁺}.

On a donc clairement A = −A et comme f est continue, A =f⁻¹(B) est un bor´elien.

Nous venons de v´erifier qu’un ´el´ement quelconque A de f⁻¹(Bor(R)) est aussi dans S, autrement dit que f⁻¹(Bor(R)) est inclus dans S.

Pour ´etablir l’inclusion inverse, soit A ∈S quelconque et notonsA⁺ :=A∩R⁺. Soit g : R⁺ → R⁺, y 7→ √

y et C := g⁻¹(A⁺). Comme g est continue donc bor´elienne de R⁺ dans R⁺, C est un bor´elien de R⁺, donc aussi¹ de R. De plus, A =f⁻¹(C). On en d´eduit que S⊂f⁻¹(Bor(R)).

Finalement, ayant ´etabli l’inclusion dans les deux sens, on a bien S=f⁻¹(Bor(R)).

2) D´eterminons les fonctions mesurables h:R→R, mesurables S - Bor(R)). Pour une telle fonction, on a ,A:=h⁻¹(B)∈S, pour tout B ∈Bor(R). D’apr`es la d´efinition de S, pour tout x ∈ A, −x ∈ A. Donc si h(x) ∈ B, n´ecessairement h(−x) ∈ B. Ceci est vrai en particulier avec B ={y}, pour y ∈R quelconque. Dans ce cas, si h(x) =y, n´ecessairement h(−x) =y. On voit ainsi que la fonction h doit ˆetre paire. D’autre part commeS⊂Bor(R),h doit aussi ˆetre bor´elienne, i.e. mesurable Bor(R) - Bor(R).

R´eciproquement, soit h : R → R, bor´elienne et paire. Pour B ∈ Bor(R), soit A = h⁻¹(B). Alors pour toutx∈A,h(x)∈B et par parit´e,h(−x) = h(x)∈B. Ceci montre que−x∈ A d’o`u x∈ −A. Comme x ´etait quelconque dans A, on vient de montrer que A⊂ −A. De mˆeme pour toutx∈ −A,−x∈A, donch(−x)∈B et par parit´eh(x)∈B, d’o`u x ∈ A, ce qui ´etablit l’inclusion inverse −A ⊂ A. Finalement A = −A. De plus

1. Les bor´eliens de R⁺ sont aussi des bor´eliens de R. En effet, tout ouvert de R⁺ s’´ecrit V ∩R⁺ pour V ouvert de R, donc Bor(R⁺) = σ({V ∩R⁺; V ouvert de R}), d’o`u Bor(R<sup>+</sup>) ⊂σ(F), o`u F :=

{B∩R⁺; B bor´elien deR}). OrFest une tribu (v´erifiez) doncσ(F) =Fet Bor(R⁺)⊂F. CommeR⁺ est un bor´elien deR, on aF⊂Bor(R), d’o`u Bor(R⁺)⊂Bor(R).

A ∈ Bor(R) parce que h est bor´elienne. On voit ainsi que A ∈ S. Comme B ´etait un bor´elien quelconque de R, la fonction h est mesurable S - Bor(R)).

En conclusion, les fonctions mesurables S - Bor(R)) sont les fonctions bor´eliennes paires.

Ex 2. Toute fonction monotone de Rdans R est bor´elienne.

Soit F : R → R croissante, montrons qu’elle est bor´elienne. Pour cela il suffit de prouver que F⁻¹(C) est un bor´elien de Rpour tout C ∈C, o`uC d´esigne une famille de bor´eliens telle que σ(C) = Bor(R). Prenons C:={]− ∞, b]; b ∈R}. Nous allons v´erifier que pour toutb ∈R, B :=F⁻¹(]− ∞, b]) est soit l’ensemble vide, soit un intervalle de R, donc toujours un bor´elien de R. En effet, si B n’est pas vide, posons

a:= supB = sup{t∈R; F(t)≤b}.

Si x < a, il existe² t ∈ B (c’est-`a-dire v´erifiant F(t)≤ b) tel que x < t ≤ a. Or F est croissante, doncF(x)≤F(t)≤b, d’o`ux∈B. Ce raisonnement ´etant valable pour tout x < a, on en d´eduit que B contient l’intervalle ]− ∞, a[. Si a = +∞, n´ecessairement B = R. Si a < +∞, pour tout x > a = supB, x /∈ B. Par cons´equent B ne peut ˆetre alors que l’un des deux intervalles ]− ∞, a[ ou ]− ∞, a]. Ainsi dans tous les cas B est soit vide soit un intervalle deR.

Si F est d´ecroissante, −F est croissante, donc bor´elienne et F = −(−F) est donc aussi bor´elienne.

Ex 3. Soit (f_n)n≥1 une suite de fonctions mesurables de (Ω,F) dans (R,Bor(R)).

Montrer que l’ensemble

C :={ω∈Ω; lim

n f_n(ω) existe dans R} est mesurable (i.e. queC ∈ F).

Comme on ignore la limite def_n, il est naturel d’utiliser le crit`ere de Cauchy. L’id´ee est de discr´etiser le ε dans l’´ecriture de ce crit`ere et de traduire les quantificateurs ∀ par des intersections et les∃ par des r´eunions. Rappelons que l’on peut munir R d’une distance d m´etrisant sa topologie naturelle (dont la trace sur R est la topologie usuelle sur R) et telle que (R, d) soitcomplet (voir par exemple le d´ebut du chapitre 2 du cours d’IFP 2003).

La convergence de (f_n(ω))_n≥1 dans R est donc ´equivalente `a

∀ε >0, ∃N =N(ω, ε)∈N, ∀j, k ≥N, d f_j(ω), f_k(ω)

< ε, (1) ou encore en discr´etisant ε par disons εi = 1/i,i≥1,

∀i∈N^∗, ∃N =N(ω, i)∈N, ∀j, k ≥N, d f_j(ω), f_k(ω)

< 1

i. (2)

2. Rappelons que le sup de Best leplus petit des majorants de l’ensembleB. Donc six < a,xn’est pas un majorant deB et il existe au moins un ´el´ement de B strictement sup´erieur `a x

L’application d :R² → R est continue donc bor´elienne (en fait on peut prendre d `a valeurs dans [0,2]) et compte tenu de la mesurabilit´eF- Bor(R) def_j etf_k, l’application

g_j,k : Ω→R, ω 7−→d f_j(ω), f_k(ω)

(3) est mesurable F - Bor(R). En particulier on a

∀i∈N^∗, g_j,k⁻¹([0,1/i[)∈F. (4) La caract´erisation (2) de la convergence dans R de (f_n(ω))n≥1, nous permet d’´ecrire via la traduction automatique des quantificateurs :

C = ∩

i∈N^∗ N∈∪N

j,k≥N∩ g_j,k⁻¹([0,1/i[). (5) L’appartenance de C `aF d´ecoule alors imm´ediatement de (4) et (5).

Ex 4. Soit f une fonction mesurable positive de (Ω,F) dans (R+,Bor(R+)). Pour tout n∈N^∗, on pose

A_n,k := f⁻¹ hk

n,k+ 1 n

h

, 0≤k≤n²−1, A_n,n² := f⁻¹([n,+∞]),

f_n :=

n²

X

k=0

k n1_An,k.

1) Chaque fn est mesurable comme combinaison lin´eaire d’indicatrices d’´el´ements de la tribu F, l’appartenance des A_n,k `a F d´ecoulant imm´ediatement de la mesurabilit´e def.

Pour ω ∈ Ω, distinguons les cas f(ω) = +∞ et f(ω) < +∞. Dans le premier cas, ω∈f⁻¹([n,+∞]) = A_n,n² pour tout n, d’o`uf<sub>n</sub>(ω) =n<sup>2</sup>/n=n et donc f<sub>n</sub>(ω)→+∞= f(ω). Dans le second cas,f(ω) est fini et il existe un entier n<sub>0</sub> tel que f(ω)< n<sub>0</sub>. Alors pour tout n ≥ n0, il existe un unique k < n<sup>2</sup> tel que k/n ≤ f(ω) < (k + 1)/n, d’o`u ω ∈ A_n,k et f_n(ω) = k/n ≤ f(ω)< f_n(ω) + 1/n. Donc 0 ≤f(ω)−f_n(ω) < 1/n et par cons´equentf_n(ω) tend vers f(ω) quandn tend vers +∞.

En conclusion, fn converge simplement vers f sur tout l’espace Ω.

2) La suite (fn)n≥1 n’est pas d´ecroissante. Pour vous en convaincre, prenez par exemplef(ω) = 1/2 et notez que

f1(ω) = 0, f2(ω) = 1

2, f3(ω) = 1

3, f4(ω) = 1

2, f5(ω) = 2 5, . . .

L’int´erˆet de cet exercice est de vous faire comprendre pourquoi dans le cours on construit une suite analogue `a f<sub>n</sub>, mais en prenant des approximations dyadiques (i.e. k2<sup>−n</sup> ≤ f(ω) < (k + 1)2<sup>−n</sup> de fa¸con `a obtenir une suite f_n croissante vers f (cf. cours d’IFP 2003–2004, chap. 2, th. 2.23).

L’exercice suivant utilise la notion de fonction de r´epartition qui n’a pas encore ´et´e vue explicitement en cours. N´eanmoins la fonction de Stieltjes d’une mesure finie sur les intervalles a ´et´e introduite en cours et ressemble beaucoup `a la fonction de r´epartition.

Voici ce qu’il faut savoir sur les f.d.r.

D´efinition 1. Soitµune mesure finiesur(R,Bor(R)). Sa fonction de r´epartition (f.d.r.) est l’application

F :R→R+, x7→F(x) :=µ ]− ∞, x]

.

Th´eor`eme 2 (propri´et´es des f.d.r.). Soit F la fonction de r´epartition d’une mesure finie µ sur (R,Bor(R)).

i) F est croissante surR.

ii) F est continue `a droite et pourvue d’une limite `a gauche en tout point (fonction c`adl`ag). De plus

x→−∞lim F(x) = 0, lim

x→+∞F(x) =µ(R).

iii) Pour tout a ∈ R, F(a)− F(a⁻) = µ({a}) et il n’y a qu’un ensemble au plus d´enombrable de points a o`u F(a)−F(a⁻)>0.

iv) Si deux mesures finies µ et ν sur (R,Bor(R)) ont mˆeme f.d.r., elles sont ´egales.

D´efinition 3. La fonction de r´epartition F d’une variable al´eatoire X est la fonction de r´epartition de sa loi P_X =P ◦X⁻¹. On a donc

∀x∈R, F(x) = P_X ]− ∞, x]

=P(X ≤x).

La f.d.r. de X caract´erise la loi de X : si les v.a. X et Y ont mˆeme f ;d.r., elles ont mˆeme loi.

Ex 5. On note [x] la partie enti`ere du r´eel x. Soit X une variable al´eatoire r´eelle ayant pour fonction de r´epartitionF :

F(x) =











0 six <0, ln(1 +x)

ln 2 si 0≤x≤1, 1 six >1.

1) Calculer :

P

k ≤ 1

X ≤k+t

k ∈N^∗, t∈]0,1[.

La fonction x7→1/x´etant d´ecroissante sur ]0,+∞[, on a :

∀k ∈N^∗, ∀t∈]0,1[, k≤ 1

X ≤k+t⇐⇒ 1

k+t ≤X ≤ 1 k

Ainsi les deux ´ev´enements d´efinis par les deux membres de cette ´equivalence sont confon- dus, d’o`u :

P

k ≤ 1

X ≤k+t

=P 1

k+t ≤X ≤ 1 k

=P

X ≤ 1 k

−P

X < 1 k+t

.

La f.d.r.F deX´etant continue, on a pour toutx∈R,P(X =x) = 0 d’o`uP(X < x) = P(X ≤x). En appliquant ceci `ax= 1/(k+t), on obtient :

P

X ≤ 1 k

−P

X < 1 k+t

= F

1 k

−F 1

k+t

= 1

ln 2

ln

k+ 1 k

−ln

k+ 1 +t k+t

Finalement, on a pour tout k∈N^∗ et tout t∈]0,1[ : P

k≤ 1

X ≤k+t

= 1

ln 2 ln(k+ 1)−lnk+ ln(k+t)−ln(k+ 1 +t)

(6) 2) Soit Y = _X¹ −₁

X

. Cherchons sa fonction de r´epartition G d´efinie par G(t) = P(Y ≤ t). D’abord, il est clair qu’avec probabilit´e 1 on a 0 ≤ Y ≤ 1. On a donc G(t) = 0 pour tout t <0 et G(t) = 1 pour tout t≥1. Ainsi F(t) =G(t) dans ces deux cas. Calculons G(t) pour 0< t <1. On a :

{Y ≤t} = 1

X − 1

X

≤t

= [

k∈N^∗

1 X

=k

∩ 1

X −k ≤t

= [

k∈N^∗

k ≤ 1

X < k+ 1

∩ 1

X ≤k+t

= [

k∈N^∗

k ≤ 1

X ≤k+t

On a ainsi d´ecompos´e l’´ev´enement {Y ≤ t} en une r´eunion d´enombrable d’´ev´enements deux `a deux disjoints. Par cons´equent on a :

P(Y ≤t) =

+∞

X

k=1

P

k≤ 1

X ≤k+t

.

Pour calculer cette s´erie, on utilise (6) en revenant aux sommes partielles et en remar- quant que chaque terme se simplifie avec son successeur :

m

X

k=1

P

k ≤ 1

X ≤k+t

= 1

ln 2

m

X

k=1

ln(k+ 1)−lnk +

m

X

k=1

ln(k+t)−ln(k+ 1 +t)

!

= 1

ln 2 ln(m+ 1) + ln(1 +t)−ln(m+ 1 +t) Pour trouver la limite quand m tend vers +∞ de cette expression, on ´ecrit :

ln(m+ 1 +t) = ln(m+ 1) + ln

1 + t m+ 1

.

On en d´eduit :

m→+∞lim 1

ln 2 ln(m+ 1) + ln(1 +t)−ln(m+ 1 +t)

= ln(1 +t) ln 2 . Ainsi les fonctionsF etG sont ´egales et Y a mˆeme loi que X.