Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees IFP Ann´ee 02-03 Corrig´e du devoir n

U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IFP Ann´ee 02-03

Corrig´e du devoir n^o 3 Probl`eme 1

1 -En vue d’appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme, nous allons ´etablir certaines majorations de fonctions. Nous utiliserons aussi le r´esultat ´el´ementaire suivant :

Toute fonction r´eelle continue sur [1,+∞[, respectivement sur]0,1], qui a une limite r´eelle quand x tend vers +∞, respectivement quand x tend vers 0 par valeurs >0, est born´ee.

Dans les in´egalit´es qui suivent,aetAsont des r´eels quelconques fix´es tels que 0< a < A.

On suppose quea < x < A et on rappelle que

∀t >0 et ∀n∈N, (t)ⁿ=e^nlogt. Cas 1 : t≥1

|e^−t(logt)ⁿt^x−1| ≤e^−t(logt)ⁿt^A−1 ≤M(n, A)·e^−2t, o`u M(n, A) = sup

t≥1

e^−t2(logt)ⁿt^A−1 v´erifie 0 < M(n, A) < +∞, d’apr`es le r´esultat ´el´e- mentaire rappel´e ci-dessus, puisque e^−2t(logt)ⁿt^A−1 −−−−→

t→+∞

0.

Cas 2 : 0< t≤1

|e^−t(logt)ⁿt^x−1| ≤ |logt|ⁿt^a−1 ≤m(n, a) 1 t^1−a2, o`u m(n, a) = sup

0<t≤1

|logt|ⁿt^a2 v´erifie 0< m(n, a)<+∞puisque |logt|ⁿt^a2 −−−−−→

t→0,t>0

0.

On en d´eduit que

(1) ∀t >0, |e^−t(logt)ⁿt^x−1| ≤m(n, a) 1

t^1−a21_]0,1[(t) +M(n, A)·e^−t21[1,+∞[(t),

cette fonction majorante, ind´ependante du param`etre x variant dans ]a, A[, ´etant λ- int´egrable sur ]0,+∞[, ce qui se d´emontre facilement en passant `a l’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee. De plus, pour tout r´eelt >0, la fonctionx7→e^−t(logt)ⁿt^x−1est d´erivable sur ]a, A[ et sa d´eriv´ee est la fonction x7→e^−t(logt)ⁿ⁺¹t^x−1. On en d´eduit, pour n= 0, que Γ est bien d´efinie sur ]a, A[, puis, en appliquant le th´eor`eme de d´erivation sous le signe

somme, en utilisant notamment (1) pourn = 1, que Γ est d´erivable sur cet intervalle et que sa d´eriv´ee v´erifie

∀x∈]a, A[, Γ⁰(x) = Z

]0,+∞[

e^−t(logt)t^x−1λ(dt).

On peut ensuite it´erer le proc´ed´e et, `a l’aide d’une d´emonstration par r´ecurrence, d´e- montrer que Γ est de classeC^∞ sur ]a, A[ et que

(2) ∀x∈]a, A[, Γ⁽ⁿ⁾(x) = Z

]0,+∞[

e^−t(logt)ⁿt^x−1λ(dt).

Ceci ´etant vrai quels que soient les r´eels a et A tels que 0< a < A, on en d´eduit que Γ est de classeC^∞ sur ]0,+∞[ et que pour tout entiern ≥1 et tout r´eel x >0, Γ⁽ⁿ⁾(x) est donn´e par (2).

2 -Pour tous r´eels a, s >0, en faisant le changement de variablesu=atdans l’int´egrale de Lebesgue suivante d’une fonction continue positive, on obtient

Z

]0,+∞[

t^s−1e^−atλ(dt) = Z

]0,+∞[

u^s−1 a^s−1e^−u1

aλ(du) = Γ(s) a^s · Sur ]0,+∞[, la fonction t7→ t^s−1

e^t−1 est continue positive. Dans le calcul qui suit, on intervertira une int´egrale et une s´erie de fonctions mesurables positives, ce qui est licite :

Z

]0,+∞[

t^s−1

e^t−1λ(dt) = Z

]0,+∞[

e^−tt^s−1 1−e^−tλ(dt)

= Z

]0,+∞[

+∞

X

n=0

e^−tt^s−1e^−nt λ(dt)

=

+∞

X

n=0

Z

]0,+∞[

e^−tt^s−1e^−ntλ(dt)

=

+∞

X

n=1

Z

]0,+∞[

e^−ntt^s−1λ(dt)

=

+∞

X

n=1

Γ(s)

n^s ≤+∞.

Sis >1, la s´erie obtenue est convergente. En effet, Z

]0,+∞[

t^s−1

e^t−1λ(dt) = Z +∞

0

t^s−1 e^t−1dt, int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee d’une fonction continue positive sur ]0,+∞[, qui est convergente parce que

t^s−1 e^t−1 ∼0+

1

t^2−s et t^s−1

e^t−1 ∼+∞e^−tt^s−1.

Finalement, Z

]0,+∞[

t^s−1

e^t−1λ(dt) =

+∞

X

n=1

Γ(s)

n^s <+∞.

3 - Soit n un entier ≥ 0.

Z

]0,+∞[

t²ⁿe^−t2λ(dt) a un sens comme int´egrale de Lebesgue d’une fonction mesurable positive sur ]0,+∞[. Faisons le changement de variablest² =u out=√

u, directement dans cette int´egrale de Lebesgue (la valeur absolue du jacobien 1

2√

u ne se voit pas car celui-ci est positif) : Z

]0,+∞[

t²ⁿe^−t2λ(dt) = Z

]0,+∞[

uⁿe^−u 1 2√

uλ(du) = 1 2

Z

]0,+∞[

uⁿ⁻¹²e^−uλ(du) = Γ(n+ ¹₂)

2 ·

4 -a d´esigne maintenant un r´eel quelconque. La fonctiont 7→e^−t2cosatestλ-int´egrable sur [0,+∞[ puisque c’est une fonction continue, donc mesurable, telle que

∀t≥0, |e^−t2cosat| ≤e^−t2,

qui est λ-int´egrable d’apr`es la question pr´ec´edente appliqu´ee `a n= 0. De plus, f(a) =

Z

]0,+∞[

e^−t2cosat λ(dt) = Z

]0,+∞[

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(at)²ⁿe^−t2

(2n) ! λ(dt).

On peut appliquer le th´eor`eme d’interversion d’une int´egrale et d’une s´erie de fonctions parce que

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(at)²ⁿe^−t2 (2n) !

≤e^−t2

+∞

X

n=0

|a|ⁿtⁿ

n! =e^|a|t−t2, qui est λ-int´egrable sur [0,+∞[. On en d´eduit que

f(a) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿa²ⁿ (2n) !

Z

]0,+∞[

t²ⁿe^−t2λ(dt),

puis, d’apr`es la question pr´ec´edente, que

(3) f(a) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿa²ⁿ

(2n) ! ·Γ(n+ ¹₂)

2 ·

Or on sait que la fonction Γ v´erifie les ´egalit´es

(4) ∀x >0, Γ(x+ 1) =x·Γ(x) et Γ 1

2

=√ π,

ce qui se d´emontre en int´egrant par parties, via l’int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee

∀x >0, Γ(x+ 1) = Z

]0,+∞[

e^−tt^xλ(dt) =h

−e^−tt^xi+∞

0

+x Z

]0,+∞[

e^−tt^x−1λ(dt) = x·Γ(x),

puis, pour calculer Γ(¹₂), en faisant le changement de variables √

t = u dans l’int´egrale de Lebesgue,

Γ 1

2

= Z

]0,+∞[

√1

te^−tλ(dt) = 2 Z

]0,+∞[

e^−u2λ(du) = √ π.

En appliquant les relations (4) `a Γ(n+¹₂), on trouve Γ

n+ 1

2

=

n−1 2

Γ

n− 1

2

=

n−1

2 n−3 2

× · · · × 3 2× 1

2 ×Γ 1

2

= (2n) ! 2²ⁿ·n!

√π.

Finalement, d’apr`es (3), f(a) =

√π 2

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!

a² 4

n

=

√π 2 ·e^−a

2 4 .

Probl`eme 2 1 - αn =

Z

]a,b[

cos²(nx)λ(dx) = Z

[a,b]

cos²(nx)λ(dx) se calcule comme l’int´egrale de Riemann d’une fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e, ce qui donne, en passant

`

a l’angle double, α_n= b−a

2 + 1 2

Z b

a

cos (2nx)dx= b−a

2 +sin (2nb)−sin (2na)

4n −−−−→

n→+∞

1

2λ(]a, b[).

2 -SiU est un ouvert born´e,U est la r´eunion d’une famille d´enombrable infinie d’inter- valles ouverts deux `a deux disjoints, n´ecessairement born´es, vides ou non, not´esI<sub>p</sub>, p≥1, d’apr`es le th´eor`eme de Cantor. Comme la mesure νn sur (R,B(R)) de densit´e cos²(n•) estσ-additive,

νn(U) = Z

U

cos²(nx)λ(dx) =

+∞

X

p=1

νn(Ip) =

+∞

X

p=1

Z

Ip

cos²(nx)λ(dx).

De plus, pour tous entiersp, n≥1, notamment d’apr`es la question pr´ec´edente, Z

Ip

cos²(nx)λ(dx)−−−−→

n→+∞

1 2λ(Ip),

Z

Ip

cos²(nx)λ(dx)≤λ(Ip) et

+∞

X

p=1

λ(Ip) =λ(U)<+∞.

Nous avons donc une suite (indic´ee par n) de fonctions d´efinies sur N^∗ (dont le point courant est not´ep) qui converge partout surN^∗vers la fonctionϕ : p7→ ¹₂λ(Ip). De plus, cette suite de fonctions est domin´ee par 2ϕ (premi`ere in´egalit´e) qui est int´egrable par

rapport `a la mesure de comptage sur N<sup>∗</sup> (deuxi`eme in´egalit´e). On peut donc appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee et conclure que

Z

U

cos²(nx)λ(dx) =

+∞

X

p=1

Z

Ip

cos²(nx)λ(dx)−−−−→

n→+∞

1 2

+∞

X

p=1

λ(Ip) = λ(U) 2 ·

3 -SiF est un ferm´e born´e de R, soitU un ouvert born´e de RcontenantF. AlorsU\F est un ouvert born´e de R, d’o`u il r´esulte, les int´egrales ci-dessous ´etant finies, que

Z

F

cos²(nx)λ(dx) = Z

U

cos²(nx)λ(dx)− Z

U\F

cos²(nx)λ(dx), puis, quand n−→+∞et d’apr`es la question pr´ec´edente, que

Z

F

cos²(nx)λ(dx)−−−−→

n→+∞

1

2 λ(U)−λ(U \F)

= λ(F) 2 , parce queλ(U) =λ(F) +λ(U \F) et que ces nombres sont finis.

On se donne maintenant un bor´elien born´eB deR. D’apr`es l’´enonc´e, il existe une suite croissante (F_n, n ≥ 1) de ferm´es de R et une suite d´ecroissante (U_n, n ≥ 1) d’ouverts born´es de R tels que

F_n ⊆B ⊆U_n et lim

n→+∞λ(F_n) = lim

n→+∞λ(U_n) =λ(B).

On en d´eduit, pour tous entiers n, p≥1, que Z

Fn

cos²(px)λ(dx)≤ Z

B

cos²(px)λ(dx)≤ Z

Un

cos²(px)λ(dx) puis, quand p−→+∞, que

λ(F_n)

2 ≤lim inf

p→+∞

Z

B

cos²(px)λ(dx)≤lim sup

p→+∞

Z

B

cos²(px)λ(dx)≤ λ(U_n) 2 , ce qui montre, quand n−→+∞, que

lim inf

p→+∞

Z

B

cos²(px)λ(dx) = lim sup

p→+∞

Z

B

cos²(px)λ(dx) = λ(B) 2 · En r´esum´e, pour tout bor´elien born´e B deR, on a donc

(5)

Z

B

cos²(nx)λ(dx)−−−−→

n→+∞

λ(B) 2 ·

3.bis - La propri´et´e (5) p´eniblement obtenue ci-dessus s’obtient facilement en utilisant la th´eorie des s´eries de Fourier. B ´etant un bor´elien born´e, choisissons un entier k assez grand pour queB ⊆[−kπ, kπ] et introduisons la fonction ϕ d´efinie sur [−π, π] par

∀u∈[−π, π], ϕ(u) =1_B(ku).

ϕ´etant de carr´e int´egrable par rapport `a la mesure de Lebesgue sur [−π, π] comme fonc- tion born´ee et parce que λ([−π, π]) = 2π <+∞, introduisons ´egalement ses coefficients de Fourier c_n(ϕ), n∈Z, d´efinis par

∀n ∈Z, c_n(ϕ) = 1 2π

Z

]−π,π[

ϕ(u)e^−inuλ(du).

Ils v´erifient la relation de Parseval, soit 1

2π Z

]−π,π[

|ϕ(u)|²λ(du) =X

n∈Z

|c_n(ϕ)|², dont on d´eduit que

c_n(ϕ)−−−−→

|n|→+∞

0, puis Z

]−π,π[

ϕ(u) cosnu λ(du)−−−−→

n→+∞

0, en prenant la partie r´eelle dec_n(ϕ). Or

Z

]−π,π[

ϕ(u) cosnu λ(du) = 1 k

Z

]−kπ,kπ[

1_B(v) cosnv

k λ(dv) = 1 k

Z

B

cosnv

k λ(dv), parce queB ⊆[−kπ, kπ]. On en d´eduit, en faisant tendrenvers +∞suivant les multiples dek, que

Z

B

cosnx λ(dx)−−−−→

n→+∞

0, ce qui implique, comme on l’a vu pr´ec´edemment, que

Z

B

cos²nx λ(dx)−−−−→

n→+∞

λ(B) 2 · 4 - Comme B =

+∞

[

j=0

B_j et que ces bor´eliens sont deux `a deux disjoints, comme de plus la mesure ν_n est σ-additive, ν_n(B) =

+∞

X

j=0

ν_n(B_j) ou, en exprimant la mesure ν_n `a l’aide de sa densit´e,

Z

B

cos²nx λ(dx) =

+∞

X

j=0

Z

Bj

cos²nx λ(dx).

La s´erie du deuxi`eme membre est l’int´egrale par rapport `a la mesure de comptage deN de la fonction j 7→

Z

Bj

cos²nx λ(dx). Quand n tend vers +∞, cette suite de fonctions converge vers la fonctionj 7→ λ(B_j)

2 , d’apr`es la question pr´ec´edente, parce que les bor´e- liensB_j sont born´es et cette convergence est domin´ee par la fonction j 7→λ(B_j) qui est

int´egrable surN par rapport `a sa mesure de comptage puisque λ(B) =

+∞

X

j=0

λ(B_j)<+∞.

On peut donc appliquer la th´eor`eme de convergence domin´ee et conclure que Z

B

cos²nx λ(dx)−−−−→

n→+∞

+∞

X

j=0

λ(B_j)

2 = λ(B) 2 · 4.bis - 1_B ´etant λ-int´egrable sur R puisque

Z

R

1_Bdλ =λ(B)<+∞, on en d´eduit en appliquant le th´eor`eme de Riemann-Lebesgue que

Z

R

1_B(x)·e^−iuxλ(dx)−−−−→

|u|→+∞

0.

En prenant la partie r´eelle de cette int´egrale et en faisant tendreu vers +∞suivant les entiers, on obtient directement

Z

B

cosnx λ(dx)−−−−→

n→+∞

0, r´esultat qui contient tous les pr´ec´edents !

5 -Supposons que (an, n≥1) ne converge pas vers 0 quandntend vers +∞. Il existerait donc ε >0 et une suite strictement croissante n_k, k≥1

d’entiers ≥1 tels que

∀k≥1, |a_nk| ≥ε.

On en d´eduirait que cos (n_k•), k≥1

convergeλ-presque partout surBvers 0, donc que Z

B

cos²(nkx)λ(dx)−−−→

k→+∞ 0 d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, ce qui prouve- rait queλ(B) = 0 d’apr`es la question pr´ec´edente, ce qui est absurde.