1) Montrer que f−1(Bor(R)) est ´egale `aS :={A∈Bor(R)

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

IP-1 Ann´ee 2004-2005

Fiche n^o3

Ex 1. Soit la fonction f :R→(R,Bor(R)) d´efinie par f(x) :=x². 1) Montrer que f⁻¹(Bor(R)) est ´egale `aS :={A∈Bor(R); A=−A}.

2) D´eterminer les fonctions mesurables de (R,S) dans (R,Bor(R)).

Ex 2. Montrer que toute fonction monotone deR dans R est bor´elienne.

Ex 3. Soit (f_n)n≥1 une suite de fonctions mesurables de (Ω,F) dans (R,Bor(R)).

Montrer que l’ensemble

C :={ω∈Ω; lim

n f_n(ω) existe dans R} est mesurable (i.e. queC ∈ F).

Ex 4. Soit f une fonction mesurable positive de (Ω,F) dans (R+,Bor(R+)). Pour tout n∈N^∗, on pose

A_n,k := f⁻¹ hk

n,k+ 1 n

h

, 0≤k≤n²−1, A_n,n² := f⁻¹([n,+∞]),

f_n :=

n²

X

k=0

k n1_An,k.

1) Montrer que (f_n)n≥1 est une suite de fonctions mesurables, et ´etudier sa limite au sens de la convergence simple.

2) La suite (f_n)_n≥1 est-elle croissante ?

L’exercice suivant utilise la notion de fonction de r´epartition qui n’a pas encore ´et´e vue explicitement en cours. N´eanmoins la fonction de Stieltjes d’une mesure finie sur les intervalles a ´et´e introduite en cours et ressemble beaucoup `a la fonction de r´epartition.

Voici ce qu’il faut savoir sur les f.d.r.

D´efinition 1. Soitµune mesure finiesur(R,Bor(R)). Sa fonction de r´epartition (f.d.r.) est l’application

F :R→R+, x7→F(x) :=µ ]− ∞, x]

.

Licence Math 304, 2004–05

Th´eor`eme 2 (propri´et´es des f.d.r.). Soit F la fonction de r´epartition d’une mesure finie µ sur (R,Bor(R)).

i) F est croissante surR.

ii) F est continue `a droite et pourvue d’une limite `a gauche en tout point (fonction c`adl`ag). De plus

x→−∞lim F(x) = 0, lim

x→+∞F(x) =µ(R).

iii) Pour tout a ∈ R, F(a)− F(a⁻) = µ({a}) et il n’y a qu’un ensemble au plus d´enombrable de points a o`u F(a)−F(a⁻)>0.

iv) Si deux mesures finies µ et ν sur (R,Bor(R)) ont mˆeme f.d.r., elles sont ´egales.

D´efinition 3. La fonction de r´epartition F d’une variable al´eatoire X est la fonction de r´epartition de sa loi P_X =P ◦X⁻¹. On a donc

∀x∈R, F(x) = P_X ]− ∞, x]

=P(X ≤x).

La f.d.r. de X caract´erise la loi de X : si les v.a. X et Y ont mˆeme f ;d.r., elles ont mˆeme loi.

Ex 5. On note [x] la partie enti`ere du r´eel x. Soit X une variable al´eatoire r´eelle ayant pour fonction de r´epartitionF :

F(x) =











0 six <0, ln(1 +x)

ln 2 si 0≤x≤1, 1 six >1.

1) Calculer :

P k ≤ 1

X ≤k+t

k ∈N^∗, t∈]0,1[.

2) Soit Y = _X¹ −₁

X

. Montrer que Y est une variable al´eatoire r´eelle de mˆeme loi queX.

Ex 6. La loi multinomiale

1) Montrer que le nombre N de fa¸cons de r´epartir une population de n individus enk groupes d’effectifs respectifs n1, . . . , nk o`u n1 +· · ·+nk =n est :

N = n!

n₁!. . . n_k!.

2) En d´eduire la formule du multinˆome : ∀(a₁, . . . , a_k)∈R^k : (a₁+· · ·+a_k)ⁿ= X

n1+···+n_k=n

n!

n₁!. . . n_k!aⁿ₁¹. . . aⁿ_k^k.

Indication : Consid´erer le premier membre comme un produit de nfacteurs et examiner la forme g´en´erale d’un terme du d´eveloppement de ce produit.

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3) Soient p₁, . . . , p_k des r´eels positifs tels quep₁+· · ·+p_k = 1.

a) Montrer que l’on d´efinit bien une loi de probabilit´e sur N^k en posant :

P({(n₁, . . . , n_k)}) =







0 si n1+· · ·+nk 6=n,

n!

n1!...nk!pⁿ₁¹. . . p_k^nk si n₁+· · ·+n_k =n.

On dit que P est la loi multinomiale de param`etres (n, p₁, . . . , p_k).

b) Soit X = (X₁, . . . , X_k) un vecteur al´eatoire discret `a valeurs dans N<sup>k</sup>, suivant la loi multinomiale P d´efinie ci-dessus. Montrer que X<sub>i</sub> suit la loi binomiale de param`etres n, pi.

c) Montrer que X₁+X₂ suit la loi binomiale de param`etres n,(p₁+p₂). G´en´eraliser au cas de :Y =P

i∈IX_i o`uI est une partie non vide de {1, . . . , k}.

d) On effectue une s´erie de n ´epreuves r´ep´et´ees dans des conditions identiques avec pour chacune d’ellesk r´esultats possibles de probabilit´es respectivesp1, . . . , pk. On note X_l le nombre total de r´esultats du type l,(1 ≤ l ≤ k). Quelle est la loi de (X₁, . . . , X_k) ?

4) On lance 6n fois un d´e, quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement n fois chacune des faces ? Majorer cette probabilit´e `a l’aide de la formule de Stirling :

∀n≥1, n! =√

2πn nⁿe⁻ⁿe^θn, 1

12n+ 1 < θ_n< 1 12n. Application num´erique : n = 100.

Ex 7. Loi uniforme sur un bor´elien

Soit (Ω,F,P) une espace probabilis´e, et B un bor´elien de R^d tel que 0 < λ_d(B) <

+∞, λ_d d´esignant la mesure de Lebesgue sur R^d. On rappelle que le vecteur al´eatoire X : Ω→R^d suit la loi uniforme sur B si

∀A∈Bor(R^d), P(X ∈A) = λ_d(A∩B) λ_d(B) .

Dans cet exercice, d = 2. On noteX₁ et X₂ les variables al´eatoires r´eelles composantes du vecteur al´eatoireX de loi uniforme sur B.

1) On prend B = [a, b]×[c, d], v´erifier que X1 et X2 suivent des lois uniformes (`a pr´eciser) sur des bor´eliens de R.

2) On prend pourB le disque unit´e :{(x₁, x₂)∈R²;x²₁+x²₂ ≤1}. Montrer que cette fois,X₁ ne suit pas la loi uniforme sur [−1,1] (projection de B sur l’axe des abscisses).

Indication : en vous inspirant d’un dessin, montrer que P(1/2< X₁ ≤1)<1/4.

3) On prend pour B le domaine convexe ayant pour fronti`ere le parall´elogramme de sommets (1,1), (4,1), (2,2), (5,2). D´eterminer les lois de X₁ etX₂ par leur fonction de r´epartition.

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