Soitµune mesure sur la tribu bor´elienne d’un intervalle [a, b]⊂R

Calcul Int´egral (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen du 17 d´ecembre 2015, dur´ee : 3 heures¹

Les notes de cours ne sont pas autoris´ees Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints

Premi`ere partie

Questions. (5 points) Pour les questions 1–10, donner la r´eponse (vrai ou faux) sans aucune justification. Chaque bonne r´eponse donnera 0,5 point.

1. La tribu bor´elienne sur un intervalle [a, b]⊂Rcontient tous les ensembles ferm´es de Rqui sont inclus dans [a, b].

2. Soitµune mesure sur la tribu bor´elienne d’un intervalle [a, b]⊂R. Alors µ(∅) = 0.

3. Une fonctionf :R→Rbor´elienne born´ee est continue.

4. Une fonction ´etag´ee sur [0,1] est continue par morceaux.

5. Soit f : [a, b] → Rune fonction bor´elienne int´egrable par rapport `a une mesure finieµ. Alors

Z

[a,b]

|f(x)|µ(dx)<∞.

6. Soit h : X → R une fonction bor´elienne positive telle que R

Xhdµ = 0.

Alorshest ´egale `a z´eroµ-presque partout.

7. Soitµ une mesure finie sur l’intervalle [a, b], muni de sa tribu bor´elienne et fn : [a, b] → R une suite de fonctions bor´eliennes positives telle que, pour toutx∈[a, b],fn(x)→0 quandn→ ∞. Alors

Z

[a,b]

fndµ→0 quandn→ ∞.

8. SoitF une tribu sur un ensembleX et µune mesure (X,F). Pour toutes fonctionsF-mesurablesf, g:X →Ron a

Z

X

|f g|dµ≤ Z

X

|f|⁴dµ 1/4Z

X

|g|^4/3dµ 3/4

.

9. La transform´ee de Fourier d’une fonction int´egrablef :R→Rpeut avoir une discontinuit´e au pointξ= 0.

1La note de l’examenNEest calcul´ee par la formuleNE = min(N1,10) +N2, o`uN1et N2sont les notes pour les parties I et II.

1

10. Soientµ1,µ2 deux mesures finies sur un espaceX muni d’une tribuF et µ1⊗µ2 leur produit tensoriel. Alors (µ1⊗µ2)(X×X) =µ1(X)µ2(X).

Questions de cours. (5 points)

(a) D´efinir la notion de la limite inf´erieure d’une suite (an)⊂R. (b) Enoncer le lemme de Fatou.´

(c) D´emontrer le lemme de Fatou. Indication: on peut utiliser le th´eor`eme de convergence monotone.

Questions de TD. (5 points) Soitλla mesure de Lebesgue sur [0,1]. Cal- culer, en le justifiant, la limite

n→+∞lim Z

[0,1]

1 +nx (1 +x)ⁿλ(dx).

Deuxi`eme partie

Exercice 1. (5 points)Soitµune mesure finie surRmuni de sa tribu bor´eli- enne. On d´efinit F(t) =µ(]− ∞, t]) pour t∈R.

(a) Montrer queF est une fonction croissante telle que 0≤F(t)≤µ(R) pour toutt∈R.

(b) Montrer que F est continue `a droite en tout point t ∈ R et que F est continue au pointt∈Rsi et seulement siµ({t}) = 0.

(c) Montrer queF(t)→0 quandt→ −∞etF(t)→µ(R) quandt→+∞.

(d) Montrer que siµ([−R, R]) =µ(R) pour un r´eel R≥0, alors il existe des pointst0≤t1 tels queF(t0) = 0 etF(t1) =µ(R).

Exercice 2. (5 points)SoitX = [a, b], Bla tribu bor´elienne surX et µune mesure sur (X,B). ´Etant donn´e A ∈ B, on d´efinit µ_A(B) = µ(A∩B) pour B∈ B.

(a) Montrer queµA est une mesure absolument continue par rapport `aµ.

(b) Trouver la densit´e ^dµ_dµ^A.

Soientνune mesure finie qui n’est pas absolument continue par rapport `aµ, et m= sup{ν(E)|E∈ B, µ(E) = 0}.

(c) Montrer quem >0.

(d) Montrer qu’il existeA∈ Btel que µ(A) = 0 etν(A) =m.

(e) SoitAl’ensemble construit en (d) etA^c=X\A. Montrer queν=ν_A+ν_Ac

et queν_Ac est absolument continue par rapport `a µ.

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Corrig´e de l’examen pour le coursCalcul int´egral

Questions. 1. Vrai, 2. Vrai, 3. Faux, 4. Faux, 5. Vrai, 6. Vrai, 7. Faux, 8. Vrai, 9. Faux, 10. Vrai.

Questions de cours. (a)(1) lim inf

n→∞ an= lim

n→∞

k≥ninf ak

.

(b)(1) Soitfn :X →Rune suite de fonctions int´egrables positives sur un espace mesur´e (X,F, µ). Alors

Z

X

lim inf

n→∞ fn

dµ≤lim inf

n→∞

Z

X

fndµ. (1)

(c)(3) Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que le membre de droite dans l’in´egalit´e (1) (not´e A) est fini. On pose g_n = inf_k≥nf_k. Alors (g_n) est une suite croissante de fonctions int´egrables telle que R

Xgndµ≤ A pour tout n≥1. Le th´eor`eme de convergence monotone implique que le limite

f = lim

n→∞gn= lim inf

n→∞ fn

est une fonction int´egrable et son int´egrale est major´e parA.

Questions de TD. La suitefn(x) = _(1+x)^1+nxn converge simplement vers une fonc- tionf ´egale `a z´ero pour toutx >0. En plus, elle est born´ee par 1 pour tout x≥0. Le th´eor`eme de Lebesgue sur la convergence domin´ee implique que la limite est ´egale `a z´ero.

Exercice 1. (a)(1) Sit₁≤t₂, alors ]− ∞, t₁]⊂]− ∞, t₂] et doncF(t₁)≤F(t₂).

Du plus, comme∅⊂]− ∞, t]⊂R, on a 0≤F(t)≤µ(R).

(b)(2) Si (t_n)⊂Rest une suite d´ecroissante qui converge verst, alors ]− ∞, t] = \

n≥1

]− ∞, tn].

On voit que

F(t) = lim

s→t⁺F(s).

D’autre part, si (t_n)⊂Rest une suite croissante qui converge verst, alors ]− ∞, t[= [

n≥1

]− ∞, t_n],

d’o`u on conclut que F(t<sub>n</sub>) →µ(]− ∞, t[). Cette limite est ´egale `a F(t) si et seulement siµ(t) = 0.

(c)(1) Il suffit de remarquer que

\

n≥1

]− ∞,−n] =∅, [

n≥1

]− ∞, n] =R.

(d)(1) On v´erifie queF(R−1) = 0 etF(R) =µ(R).

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Exercice 2. (a)(0.5) Siµ(B) = 0, alorsµA(B)≤µ(B) = 0.

(b) (1) On v´erifie directement que la densit´e est donn´ee par la fonction caract´eristiqueIA(x).

(c)(1) Supposons que m= 0. Soit Γ∈ Btel queµ(Γ) = 0. Alors, d’apr`es l’hypoth`ese, on a ν(Γ)≤m= 0, d’o`u on conclut que ν µ. La contradiction obtenue montre le r´esultat cherch´e.

(d) (1) Soit (An) ⊂ B une suite telle que µ(An) = 0 pour tout n ≥ 1 et µ(An)→mquandn→ ∞. Alors A=∪nAn v´erifie les propri´et´es cherch´ees.

(e)(1.5) Pour tout B∈ B, on a

ν(B) =ν(A∩B) +ν(A^c∩B) =νA(B) +νA^c(B).

De plus, siµ(B) = 0, alors ν(B) =ν(A∩B) (et donc νA^c(B) = 0). En effet, dans le contraire, on a

ν A∪(A^c∩B)

) =ν(A) +ν(A^c∩B)> m, µ A∪(A^c∩B) ) = 0, et on obtient une contradiction avec la d´efinition dem.

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