1 Mesure et int´egrale 1.1 Tribu bor´elienne et fonctions mesurables

(1)

1 Mesure et int´ egrale

1.1 Tribu bor´ elienne et fonctions mesurables

SoitX = [a, b] un intervalle (le cas où b =∞ oua=−∞n’est pas exclu) et F une famille de sous-ensembles deX. On dit queF est unetribu surX si les conditions suivantes sont vérifiées :

(i) ∅, X∈ F;

(ii) siAi ∈ F pouri= 1,2, . . ., alors∪ⁱAi∈ F;

(iii) siA∈ F, alorsA^c∈ F, oùA^c désigne le complémentaire deAdansX. La tribu borélienne B = B^X est définie comme la tribu minimale sur X telle que :

(iv) pour tous ˜a <˜b, on a ]˜a,˜b[∩X ∈ B.

Proposition 1.1. La tribu borélienne est bien définie. De plus, pour tousã≤˜b vérifiant les inégalités ã≥aet˜b≤b on a[ã,˜b],[ã,˜b[,]ã,˜b]∈ B.

D´emonstration. Soit{F^α, α ∈ A}la famille de toutes les tribus v´erifiant (iv).

Alors l’intersection ∩^αF^α est la tribu borélienne. Montrons que B contient tous les intervalles. En effet, considérons, par exemple, le cas d’un intervalle fermé [ã,˜b]. Les propriétés (ii) et (iii) impliquent que siAi∈ B, alors∩ⁱAi∈ B. D’autre part, on a

[˜a,˜b] =

�∞ n=1

�˜a−¹n,˜b+_n¹�

∩X.

Comme les ensembles �

˜

a− n¹,˜b+ _n¹�

∩X appartiennent `a B, on conclut que [˜a,˜b]∈ B.

Proposition 1.2. Soit−∞ ≤a≤a˜≤˜b≤b≤+∞etΓ∈ B^[a,b]. AlorsΓ∩[˜a,˜b]

appartient à B[ã,˜b]. Réciproquement, si Γ ∈ B[ã,˜b], alors Γ est borélien en tant que sous-ensemble de [a, b].

D´emonstration. Soit

B�={Γ∈ B^[a,b]: Γ∩[˜a,˜b]∈ B[˜a,˜b]}.

AlorsB�est une tribu vérifiant (iv) avecX = [a, b]. Donc B ⊃ B� [a,b], et on voit que Γ∩[ã,˜b] ∈ B[ã,˜b] pour tout Γ ∈ B^[a,b]. La démonstration de la deuxième partie est similaire.

Soitf :X →Rune fonction. On dit quef est mesurablesi {x∈X :f(x)< α} ∈ B pour toutα∈R.

Exemples 1.3. 1) SoitA∈ B. Alors la fonction caract´eristiqueIAest mesurable.

2) Soit f : X → R une fonction continue. Alors f est mesurable. Cette propriété est conséquence de la proposition 1.4.

(2)

Proposition 1.4. Soientf,gdeux fonctions mesurables. Alorsf∨g,f∧g,f+g, f g,f /gsont des fonctions mesurables. De plus, si{fn}est une suite de fonctions mesurables, alors les fonctions sup_nfn, infnfn, lim sup_nfn, lim infnfn sont aussi mesurables. Enfin, sifn(x)→f(x)pour toutx∈X, alorsf est mesurable.

D´emonstration. On a :

{f∨g < α}={f < α} ∩ {g < α}, {f∧g < α}={f < α} ∪ {g < α}, {f+g < α}= �

r1+r2<α

{f < r1} ∩ {g < r2},

o`u r1 et r2 sont des nombres rationnels. Ces relations impliquent que f ∨g, f∧g,f+gsont des fonctions mesurables. La preuve de mesurabilit´e def g est un exercice.

Montrons maintenant que si g �= 0, alors f /g est mesurable. Il suﬃt de montrer que 1/gest mesurable. Supposons par exemple queα >0. Alors

{1/g < α}={1/g < α, g >0} ∪ {1/g < α, g <0}

={g >1/α, g >0} ∪ {g <1/α, g <0}, d’o`u on conclut que 1/gest mesurable.

Soit{fn} une suite de fonctions mesurables. Alors {sup_nfn< α}=

�∞ m=1

�∞ n=1

{fn< α−m¹},

{lim sup_nfn< α}=

�∞ m=1

�∞ N=1

�∞ n=N

{fn< α−m¹},

donc sup_nfn et lim sup_nfn sont mesurables. Comme infnfn=−sup_n(−fn) et lim infnfn = −lim sup_n(−fn), on conclut que ces fonctions sont aussi mesurables. Enfin, sifn(x)→f(x) pour toutx∈X, alorsf = lim sup_nfn, et doncf est aussi mesurable.

Proposition 1.5. Si f :X →Rest une fonction mesurable, alors f⁻¹(Γ) ={x∈X :f(x)∈Γ} ∈ B^X pour toutΓ∈ BR.

De plus, si f : R→R et g : X → Rsont deux fonctions mesurables, alors la fonction compos´eef ◦g est aussi mesurable.

D´emonstration. Soit F = {Γ ∈ BR : f⁻¹(Γ) ∈ B^X}. Alors F est une tribu contenant les intervalles de la forme ]− ∞, α[ pour toutα∈R. Il s’ensuit queF contient tous les intervalles de R, et donc F doit contenir la tribu bor´elienne deR.

Montrons que la fonction composéef ◦g est mesurable. Soit Γ∈ BR. Alors (f ◦g)⁻¹(Γ) = g⁻¹(Γ1), où Γ1 = f⁻¹(Γ). D’après la première propriété de la proposition, on a Γ1∈ BR, d’où on conclut que Γ∈ B^X.

(3)

Une fonction f : X → Rmesurable est dite ´etag´ee si elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs :

f(x) =

�N

k=1

ckIΓk(x), Γk∩Γn=∅,

�N

k=1

Γk=X.

Théorème 1.6. Soit f : X → R une fonction mesurable. Alors il existe une suite de fonctions étagées fn :X →Rtelles que

fn(x)→f(x) pour toutx∈X quandn→ ∞. (1.1) De plus, si f ≥0, alors on peut construire une suite croissante v´erifiant (1.1).

Enfin, si f est born´ee, alors il existe une suite croissante {fn} telle que la convergence (1.1)soit uniforme.

Démonstration. Comme tout fonctionf est représentable comme la somme de deux fonctions positives, sans perte de généralité on peut supposer que f ≥0.

On va donc montrer qu’il existe une suite croissante {fn} qui converge versf. Pour tout entier n ≥1, considérons la subdivision de l’intervalle [0, n] définie par les points yⁿ_k =₂n^kn,k= 0, . . . ,2ⁿn. On définit les fonctions

fn(x) =

2ⁿn

�

k=1

y_k−1ⁿ IΓⁿ_k(x),

o`u Γⁿ_k ={yⁿ_k₋₁ ≤f(x)< yⁿ_k} pour 1≤k < 2ⁿn et Γⁿ₂ⁿ_n ={f(x)≥yⁿ₂ⁿ_n₋₁}. Alors {fn} est croissante et converge versf. De plus, si f est born´ee, alors la convergence est uniforme.

1.2 Mesure

Soit X = [a, b] et B la tribu borélienne. Une mesure sur (X,B) est une fonctionµ:B →R+ vérifiant les propriétés suivantes :

– µ(∅) = 0 ;

– Pour toute suite d’ensembles{An} ⊂ Bdeux `a deux disjoints on a µ

��∞ n=1

An

�

=

�∞ n=1

µ(An).

On appelleµ(X) lamasse totaledeµ. Siµ(X)<∞, alors on dit queX est une mesurefinie.

Proposition 1.7. Soitµune mesure sur(X,B^X). Alors les propri´et´es suivantes ont lieu.

(a) SiA, B∈ B etA⊂B, alorsµ(A)≤µ(B).

(4)

(b) Soit{An} ⊂ B une suite telle queA1⊂A2⊂ · · ·. Alors

µ

��∞ n=1

An

�

= lim

n→∞µ(An). (1.2)

De mˆeme, si {An} ⊂ B est une suite d´ecroissante telle que µ(A1) <∞, alors

µ

��∞ n=1

An

�

= lim

n→∞µ(An). (1.3)

D´emonstration. (a)SoitC=B\A. AlorsB=A∪Cet A∩C=∅, et donc µ(B) =µ(A) +µ(C)≥µ(A).

(b)On note

A˜1=A1, A˜2=A2\A1, . . . ,A˜n =An\An−1. Alors

�∞ n=1

A˜n=

�∞ n=1

An, A˜n∩A˜m=∅ pourm�=n.

Donc, µ

��∞ n=1

An

�

=

�∞ n=1

µ( ˜An) =µ(A1) +

�∞ n=2

�µ(An)−µ(An−1)�

= lim

n→∞µ(An).

Pour d´emontrer (1.3), on remarque que A1\

�∞ n=1

An =

�∞ n=1

(A1\An), d’o`u, d’apr`es la formule (1.2), on obtient

µ

� A1\

�∞ n=1

An

�

= lim

n→∞µ(A1\An) =µ(A1)− lim

n→∞µ(An).

D’autre part, µ

� A1\

�∞ n=1

An

�

=µ(A1)−µ

��∞ n=1

An

� . Ces deux relations impliquent (1.3).

Exemples 1.8. 1)Mesure de Dirac. Soitx0∈X. Pour toutA∈ B, on d´efinit δx0(A) =

�1, x0∈A, 0, x0∈/A.

(5)

2)Mesure de comptage :

µ(A) = nombre d’´el´ements deA.

3) Soit{xn} ⊂Xune suite de points deux `a deux disjoints et{αn}une suite de nombre positifs. On pose

µ(A) = �

xn∈A

αn.

Théorème 1.9 (sans démonstration). SoitX = [a, b]et B la tribu borélienne.

Alors il existe une unique mesure λsur (X,B) telle que λ([˜a,˜b]) = ˜b−a˜ pour tousa≤˜a≤˜b≤b.

Voir chapitre II dans [Far06] ou chapitre V dans [KF75] pour la d´emonstration de ce r´esultat. On appelleλlamesure de Lebesgue sur [a, b].

1.3 Int´ egrale

SoitX = [a, b] un intervalle muni de sa tribu borélienneBet µune mesure sur (X,B). On définit d’abord la notion d’intégrale pour des fonctions positives.

Soitf une fonction ´etag´ee positive : f(x) =

�N

k=1

ckIΓk(x), Γk∈ B, Γk∩Γn=∅. On pose

�

X

f dµ=

�N

k=1

ckµ(Γk).

Proposition 1.10. Soitf une fonction de la forme

f(x) =

�n

i=1

αiIAi(x), αi≥0, Ai∈ B. Alorsf est une fonction ´etag´ee positive et

�

X

f dµ=

�n

i=1

αiµ(Ai).

D´emonstration. Il existe des ensembles Γk ∈ B, k = 1, . . . , N, deux `a deux disjoints tels que

Ai=

ni

�

j=1

Γ_kⁱ

j.

(6)

Cette relation implique que IAi =

�N

k=1

εⁱ_kIΓk, εⁱ_k= 0 ou 1.

Il s’ensuit que

µ(Ai) =

�N

k=1

εⁱ_kµ(Γk),

f(x) =

�n

i=1

αi

��^N

k=1

εⁱ_kIΓk

�

=

�N

k=1

��ⁿ

i=1

αiεⁱ_k

� IΓk.

En utilisant la d´efinition de l’int´egrale, on obtient

�

X

f dµ=

�N

k=1

��ⁿ

i=1

αiεⁱ_k

�

µ(Γk) =

�n

i=1

��^N

k=1

εⁱ_kµ(Γk)

� αi.

Soit maintenant f : X → R⁺ une fonction mesurable. D’après le théo- rème 1.6, il existe une suite de fonctions étagéesfn:X →R⁺ telle que

fn(x)≤fn+1(x), fn(x)→f(x) pour toutx∈X. (1.4) Il est facile `a voir que�

Xfndµest une suite croissante. On d´efinit l’int´egrale (de Lebesgue) de f par la formule

�

X

f dµ= lim

n→∞

�

X

fndµ.

Théorème 1.11. La valeur de l’intégrale def ne dépend pas de la suite{fn}. De plus,

�

X

f dµ= sup

��

X

gdµ;g≥0est une fonction ´etag´ee telle que g≤f

� . (1.5) Démonstration. On noteI(f) le membre de droite de (1.5). Il est clair que pour toute suite {fn} vérifiant (1.4) la limite des intégrales est majorée par I(f).

Montrons l’inégalité réciproque.

Soitε >0 etg≥0 une fonction ´etag´ee telle que I(f)≤

�

X

gdµ+ε.

Soitc∈]0,1[ etEn={x∈X :fn(x)≥cg(x)}. AlorsEn ⊂En+1et∪ⁿEn =X. Il s’ensuit que

�

X

fndµ≥

�

X

fnIEndµ≥c

�

X

gIEndµ→c

�

X

gdµ≥cI(f)−cε,

(7)

d’o`u on conclut que �

X

f dµ≥cI(f)−cε.

Commec∈]0,1[ etε >0 ´etaient quelconques, on arrive `a la relation (1.5).

Une fonction positive f est dite int´egrable si �

Xf dµ < ∞. La proposition suivante établit quelques propriétés de l’intégrale.

Proposition 1.12. (a) Si0≤f ≤g, alors

�

X

f dµ≤

�

X

gdµ.

(b) Si f, g≥0 etc≥0, alors

�

X

cf dµ=c

�

X

f dµ,

�

X

(f+g)dµ=

�

X

f dµ+

�

X

gdµ.

Démonstration. (a)On noteE la famille de fonctions étagées et E⁺ la famille de fonctions h∈ E positives. Commef ≤g, on a

{h∈ E⁺, h≤f} ⊂ {h∈ E⁺, h≤g}, d’o`u on conclut que

sup

��

X

hdµ, h∈ E⁺, h≤f

�

≤sup

��

X

hdµ, h∈ E⁺, h≤g

� .

(b)Soit fn ∈ E⁺ une suite croissante qui converge vers f. Alors {cfn} est aussi croissante et converge verscf. Donc,

�

X

cf dµ= lim

n→∞

�

X

cfndµ=c lim

n→∞

�

X

fndµ=c

�

X

f dµ.

La d´emonstration de la deuxi`eme relation est similaire.

On définit maintenant l’intégrale d’une fonction quelconque. Soitf :X →R une fonction mesurable. On dit que f estintégrable si �

X|f|dµ < ∞. Dans ce

cas, on pose �

X

f dµ=

�

X

f⁺dµ−

�

X

f⁻dµ, o`uf⁺=f∨0 etf⁻ = (−f)∨0.

Proposition 1.13. L’intégrale possède les propriétés suivantes.

(a) Sif =f1−f2 est int´egrable etfi≥0, alors

�

X

f dµ=

�

X

f1dµ−

�

X

f2dµ.

(8)

(b) Si f, gsont des fonctions int´egrables et c∈R, alors

�

X

(cf+g)dµ=c

�

X

f dµ+

�

X

gdµ.

(c) Si f est int´egrable, alors

��

�

X

f dµ

��

��≤

�

X|f|dµ.

Démonstration. Nous n’allons montrer que la propriété (a), car les deux autres propriétés sont des conséquences simples de (a) et de la définition de l’intégrale.

Etant donn´ees deux fonctions fi≥0, on peut ´ecrire

f1=f+g1, f2=f +g2, f =f1∧f2. Alorsg1≥0,g2≥0 etg1∧g2≡0. Il s’ensuit que

g1= (f1−f2)⁺, g2= (f1−f2)⁻. En utilisant la d´efinition de l’int´egrale, on obtient

�

X

f dµ=

�

X

g1dµ+

�

X

g2dµ.

D’autre part, d’apr`es la proposition 1.12, on a

�

X

fidµ=

�

X

f dµ+

�

X

gidµ, i= 1,2.

Ces deux relations impliquent le r´esultat cherch´e.

Signalons que tous les r´esultats obtenus ci-dessus restent vrais dans le cas de fonctions `a valeurs complexes.

1.4 Int´ egrales de Riemann et de Lebesgue

Théorème 1.14. Soit X = [a, b] avec a > −∞ et b < ∞. On munit X de la mesure de Lebesgue. Alors pour toute fonction bornée intégrable à la fois au sens de Riemann et de Lebesgue les valeurs des deux intégrales sont confondues.

Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que 0 ≤ f ≤ 1.

Consid´erons une partition ∆ = {x0 =a < x1 <· · · < xN =b} de l’intervalle [a, b] et les somme de Darboux correspondantes :

I⁺(f,∆) =

�N

k=1

(xk−x_k−1) sup

[xk−1,xk]

f, I⁻(f,∆) =

�N

k=1

(xk−x_k−1) inf

[x_k−1,xk]f.

Comme f est int´egrable au sens de Riemann, pour toute ε > 0 il existe une partition ∆εtelle que

I⁺(f,∆ε)−I⁻(f,∆ε)< ε. (1.6)

(9)

On introduit des fonctions ´etag´eesf_ε⁺ etf_ε⁻ par f_ε⁺(x) = sup

[xk−1,xk]

f pourx∈[x_k−1, xk[, f_ε⁻(x) = inf

[x_k−1,xk]f pourx∈[x_k−1, xk[.

Alorsf_ε⁻≤f ≤f_ε⁺,

�

X

f_ε⁻dλ=I⁻(f,∆ε)≤

� b a

f dx≤I⁺(f,∆ε) =

�

X

f_ε⁻dλ. (1.7) Les relations (1.6), (1.7) impliquent que les valeurs des int´egrales de Lebesgue et de Riemann sont ´egales.

Exemple 1.15. Consid´erons la fonction f(x) =

�1, x∈Q, 0, x /∈Q.

Cette fonction n’est pas intégrable au sens de Riemann, mais son intégrale de Lebesgue vaut zéro.