Int´ egrale de Lebesgue

(1)

Magist` ere et Licence de Physique Fondamentale

Math´ ematiques

T.D. n

^◦

3 Octobre 2007

Int´ egrale de Lebesgue

Questions de d´ efinitions

1 Exercice

Soit f une fonction continue par morceaux sur [0, +∞[.

1. f et |f | sont-elles int´ egrables sur [0, 1] au sens de Riemann? sont-elles sommables au sens de Lebesgue sur [0, 1]? Dans ce cas quelle diff´ erence y a-t-il entre les int´ egrales de Riemann et Lebesgue?

2. Rappeler:

• la d´ efinition de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee de f au sens de Riemann (vue en TD) sur [0, +∞[.

• la d´ efinition de la sommabilit´ e de f au sens de Lebesgue sur [0, +∞[.

3. Y a-t-il une diff´ erence entre dire que l’int´ egrale de Riemann sur [0, +∞[ de f est absolument convergente et dire que f est sommable sur [0, +∞[ au sens de Lebesgue?

4. Supposons que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee de Riemann sur [0, +∞[ de f existe. La fonction f est-elle pour autant sommable au sens de Lebesgue sur [0, +∞[ ?

5. Que peut-on dire de la sommabilit´ e de sin(x)/x sur [0, +∞[ ? Que peut-on dire de lim

_A→∞

R

[0,A]

dx sin(x)/x (o` u l’int´ egrale est ` a la fois celle de Riemann et de Lebesgue)?

Applications des th´ eor` emes de convergence de Lebesgue

2 Exercice (th´ eor` eme de convergence domin´ ee)

Cet exercice a pour but de montrer l’utilisation du th´ eor` eme de convergence domin´ ee.

1. Rappeler le th´ eor` eme.

2. Examiner la possiblit´ e d’appliquer le th´ eor` eme de convergence domin´ ee pour les suites de fonctions {f

n

}

_n∈N

suivantes:

(a) f

_n

(x) = e

^−nx

pour 0 ≤ x ≤ 1 et f

_n

(x) = 0 ailleurs.

(b) f

_n

(x) = x

ⁿ

pour 0 ≤ x ≤ 1 et f

_n

(x) = 0 ailleurs.

(c) f

n

(x) =

_sin(nx)

nx

²

e

^−x

pour x ≥ 0 et f

n

(x) = 0 ailleurs.

(2)

—2—

3 Exercice (th´ eor` eme de convergence domin´ ee)

On consid` ere la suite de fonctions {f

n

}

_n∈N

d´ efinies sur R

⁺

par:

(

∀x ∈ [0, √

n], f

_n

(x) =

cos

₂^πx^√_n

ⁿ

∀x > √

n, f

n

(x) = 0

(1) 1. Montrer que:

∀x ≥ 0, lim

n→∞

f

_n

(x) = e

⁻^π

2x2

8

(2)

2. Montrer successivement les deux in´ egalit´ es suivantes:

∀u > 0, ln(u) ≤ u − 1 (3)

∀x ∈ [0, π

2 ], cos(x) ≤ 1 − x

²

4 (4)

3. A partir de la question pr´ ec´ edente, d´ eduire un majorant ϕ(x) de |f

n

(x)| sur R

⁺

. 4. Trouver la valeur de lim

_n→∞

R

∞

0

f

_n

(x)dx.

5. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede l’´ equivalence suivante lorsque n tend vers +∞ : Z

1

0

dx cos πx

2

ⁿ

∼ r 2

πn (5)

4 Exercice (th´ eor` eme de Beppo-Levi)

Montrer que:

Z

+∞

0

xdx e

^x

− 1 =

∞

X

n=1

1 n

²

(6)

On utilisera un d´ eveloppement en s´ erie de l’int´ egrand et on appliquera le th´ eor` eme de Beppo-Levi.

Remarque : P

∞ n=1

1 n²

=

^π₆²

.

5 Exercice (Continuit´ e et d´ erivation sous le signe ^R )

Soit f une fonction (Lebesgue-) sommable sur [0, +∞[, et soit g la fonction d’une variable r´ eelle d´ efinie par:

g(x) = Z

+∞

0