L1 Analyse Exos11 : 25/11/09
Int´ egrales et aires
1.
Dessiner une int´ egrale
Dessiner R3
2 lnxdx, R5
4 sinxdx,R3
0 cosxdx, Rπ
−∞e−x2dx, R1
0 lnxdx.
2.
Calculer un trap` eze
Calculer, d’abord par int´egration puis g´eom´etriquement,R6
1(2 + 3x)dx et R6
1(4−x)dx.
3.
Ramener un calcul d’aire ` a un calcul d’int´ egrale
Dessiner la r´egion du plan d´efinie par les in´egalit´es suivantes et calculer son aire de deux fa¸cons :
|x|<2 et|y|<2 et 2x+ 3y <5; 2< x <4 etx3y2 = 64; x >0 ety >0 et(y+ 1)ex <3.
4.
Calculer par changement de variables
a) Calculer R1
0 3x2ex3dx.
b) Calculer R8 1
dx x+√3
x en posant x=t3. c) Calculer R π2
0 sin3tdten posant x= cost.
5.
Approcher une int´ egrale par la m´ ethode des trap` ezes
a) Calculer une approximation de ln 2 :=R2 1
dx
x par une m´ethode `a deux trap`ezes. Faire un dessin.
b) Calculer une approximation de R π2
0 sinxdx par une m´ethode `a trois trap`ezes. Faire un dessin.
6.
Encadrer par la m´ ethode des trap` ezes
a) Encadrer ln 2 :=R4 2
dx
x par une m´ethode `a quatre trap`ezes. Faire un dessin.
b) Encadrer R
√ 2 2
−
√ 2 2
√1−x2dx par une m´ethode `a deux trap`ezes. Faire un dessin.
7.
D´ emontrer la formule fondamentale
a) En dessinant les rectangles correspondants, encadrer, pour x >2 puis pour 1< x <2 : Rx
1 dt
t −R2 1
dt t
x−2 .
b) Expliquer le rapport entre cet encadrement et l’in´egalit´e de la moyenne, et avec la d´eriv´ee de ln en 2.
c) Soit f d´erivable sur R. On suppose que pour tout r´eel x, on a|f0(x)| ≤3.
Dans la ligne de ce qui pr´ec`ede, expliquer pourquoi la d´eriv´ee dex7→Rx
e f(t)dt enπ estf(π).
