Exercices - Int´ egrales multiples

Exercices - Int´ egrales multiples

Int´ egrations successives

Exercice 1 - - L2/Math Sp´e - ?

Soit Dle domaine : D=(x, y)∈R²; x≥0, y≥0, x+y≤1 .Calculer^{R R}_Df(x, y)dxdy dans les cas suivants :

a)f(x, y) =x²+y² b)f(x, y) =xy(x+y).

Exercice 2 - - L2/Math Sp´e - ?

Calculer l’int´egrale double suivante^{R R}_Df(x, y)dxdy, avec

1. f(x, y) =x etD=ⁿ(x, y)∈R²;y≥0, x−y+ 1≥0, x+ 2y−4≤0^o. 2. f(x, y) =x+y etD=ⁿ(x, y)∈R²; 0≤x≤1; x²≤y≤x^o.

3. f(x, y) = cos(xy) etD=

(x, y)∈R²; 1≤x≤2, 0≤xy ≤ π 2

.

4. f(x, y) =xy etD=ⁿ(x, y)∈R²; x≥0, y≥0, xy+x+y≤1.^o. 5. f(x, y) = _(x+y)¹ 3 etD=ⁿ(x, y)∈R²; 1< x <3, y >2, x+y <5^o. Exercice 3 - - L2/Math Sp´e - ?

Soit Dle domaine :

D=ⁿ(x, y)∈R²; −1≤x≤1 etx² ≤y≤4−x^3o. Calculer l’aire deD.

Exercice 4 - - Deuxi`eme ann´ee -??

On pose :

D=ⁿ(x, y)∈R²; −1≤x≤1, 0≤y≤1, x²+y² ≥1^o.

Calculer Z

D

xy

1 +x²+y²dxdy.

Exercice 5 - Dans l’espace -L2/Math Sp´e - ? On se propose de calculer

I = Z Z Z

D

xdxdydz,

o`uD=(x, y, z)∈R³; x >0, y >0, z >0, x+y+z <1 .On noteT_z l’intersection deDet d’un plan P_z de cotez.

1. D´eterminer pour quelles valeurs de z l’ensembleT_z est non-vide.

2. Pour une valeur dez fix´ee telle queT_z est non-vide, calculer I =

Z

(x,y)∈Tz

xdxdy.

3. En d´eduire la valeur deI.

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4. Etudier l’intersectionD_x,y de Det d’une droite d’´equation X=x,Y =y o`u (x, y)∈R². Retrouver la valeur deI.

Exercice 6 - Toujours l’espace !- Deuxi`eme ann´ee - ??

Calculer ^{R R R}_Df(x, y, z)dxdydz pour :

1. f(x, y, z) = cosx etD=(x, y, z)∈R³; x²+y²+z²<1 . 2. f(x, y, z) = √ ^z

x²+y² etD=(x, y, z)∈R³; x²+y²≤a² et0< z < a .

Changements de variables

Exercice 7 - Coordonn´ees polaires- Deuxi`eme ann´ee -? Calculer l’int´egrale double

Z Z

∆

1

1 +x²+y²dxdy o`u ∆ =(x, y)∈R²; 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0< x²+y² ≤1 .

Exercice 8 - Coordonn´ees polaires toujours- Deuxi`eme ann´ee - ? Soit D=(x, y)∈R²; x²+y²−2x≤0 .

1. Montrer queDest un disque.

2. Calculer Z Z

D

q

x²+y²dxdy.

Exercice 9 - Et encore... -Deuxi`eme ann´ee - ? Calculer ^{R R}_Df(x, y)dxdy dans les cas suivants :

1. D=(x, y)∈R²; x≥0, y≥0, 1≤x²+y²≤4 etf(x, y) = xy x²+y². 2. D=(x, y)∈R²; x≥0, 1≤x²+y² ≤2y etf(x, y) =^px²+y². Exercice 10 - Changement de variables `a suivre -Deuxi`eme ann´ee - ??

Calculer les int´egrales doubles^{R R}_Df(x, y)dxdy dans les cas suivants, en suivant le change- ment de variables indiqu´e :

1. D=ⁿ(x, y)∈R²; x≥0, y≥0, x^2/3+y^2/3 ≤1^oetf(x, y) =xy. On poserax=rcos³θ ety=rsin³θ.

2. D=(x, y)∈R²; 0< x < y, a < xy < b, y²−x²<1 etf(x, y) = (y²−x²)^xy(x²+y²).

On posera u=xy etv=y²−x².

Exercice 11 - Coordonn´ees elliptiques- Deuxi`eme ann´ee -??

Soit D=ⁿ(x, y)∈R²; x≥0, y≥0,^x_a²2 +^y_b2² ≤1^o. Calculer l’int´egrale :

J = Z Z

D

(2x³−y)dxdy.

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Exercice 12 - Changement de variables dans l’espace -Math Sp´e - ???

Soit B la boule unit´e, eta >1. Calculer : Z Z Z

B

dxdydz

px²+y²+ (z−a)².

Green-Riemann

Voir la feuille sur les int´egrales curvilignes.

Applications

Exercice 13 - Volume d’un ellipso¨ıde - Deuxi`eme ann´ee -??

D´eterminer le volume int´erieur `a l’ellipsoide d’´equation : x²

a² +y² b² +z²

c² = 1, o`u a,b etcd´esignent trois r´eels strictement positifs.

Exercice 14 - Volume d´etermin´e par une surface de l’espace - Deuxi`eme ann´ee - ??

Soit a un nombre tel que 0 < a < 1, et S l’ensemble des points de R³ de la forme (ucost, usint,sint) pour t∈[0, π], eta≤u≤1.

1. Trouver une ´equation de S de la forme z=f(x, y),(x, y)∈D.

2. Calculer le volume limit´e parS et le plan(xOy).

Exercice 15 - Un centre de gravit´e dans le plan- Deuxi`eme ann´ee - ??

Calculer les coordonn´ees du centre de gravit´e du domaine : D=

(

(x, y)∈R²; x² a² +y²

b² ≤1, x≥0 ety≥0 )

.

Exercice 16 - Calcul d’une int´egrale simple- Math Sp´e - ??

Soit l’int´egraleI = Z 1

0

ln(1 +x) 1 +x² dx.

1. Montrer que pour tout r´eel x de l’intervalle]−1,+∞[, on a : ln(1 +x) =

Z 1 0

xdy 1 +xy. En d´eduire queI =

Z Z

D

xdxdy

(1 +x²)(1 +xy)dxdy, o`uD est le pav´e [0,1]². 2. En intervertissant les rˆoles de x ety, montrer que

2I = Z Z

D

(x+y)dxdy (1 +x²)(1 +y²). En d´eduire queI = ^π₈ln 2.

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Exercice 17 - Centre de gravit´e d’une demi-boule - Deuxi`eme ann´ee - ???

D´eterminer le centre de gravit´e d’une demi-boule homog`ene.

Exercice 18 - Aire comprise entre deux hyperboles- Math Sp´e - ???

Calculer l’aire du compactDdu quart de planR^+∗×R^+∗ d´elimit´e par les droites d’´equation y=ax ety= ¹_ax, et par les hyperboles d’´equation y= _x^b ety= _bx¹.

Exercice 19 - Calcul d’une int´egrale impropre- L2/Math Sp´e -??

On se propose dans cet exercice de calculer ^R_−∞^+∞e^−x2dx.

1. Justifier la convergence de cette int´egrale.

2. Soit a >0. On note K_a le carr´e de centreO de cˆot´e 2aetC_a le disque de centreO et de rayona. On d´efinit une fonction f surR² par

f(x, y) =e^−x2−y2.

Justifier que Z

Ca

f(x, y)dxdy ≤ Z

Ka

f(x, y)dxdy ≤ Z

C_a^√₂

f(x, y)dxdy.

3. En effectuant un changement de variables en coordonn´ees polaires, calculer Z

Ca

f(x, y)dxdy.

4. D´eduire des questions pr´ec´edentes la valeur de ^R_−∞^+∞e^−x2dx.

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