Int´ egrale de Wallis et int´ egrale de Gauss

(1)

PCSI5

Lyc´ ee Saint Louis

Correction du devoir maison

DM10

Int´ egrale de Wallis et int´ egrale de Gauss

I. Int´ egrales de Wallis

1. On effectue le changement de variable x = π

2 − u d’o` u dx = −du. On obtient alors : W

n

= −

Z

₀

π 2

cos

ⁿ

π 2 − u

dx = Z

^π

2

0

sin

ⁿ

(u) dx

2. W

₀

= Z

^π

2

0

dt = π

2 et W

₁

= Z

^π

2

0

sin tdt =

− cos t

^π₂

0

= 1.

3. Soit n ∈ N , on a

W

n+1

− W

n

= Z

^π

2

0

(sin

ⁿ⁺¹

t − sin

ⁿ

t)dt = Z

^π

2

0

sin

ⁿ

t(sin t − 1)dt ≤ 0 puisque pour tout t ∈

0,

^π₂

, 0 ≤ sin t ≤ 1, donc sin

ⁿ

t(1 − sin t) ≤ 0. La suite (W

n

)

n∈N

est donc d´ ecroissante.

Soit n ∈ N . Comme pour tout t ∈ 0,

^π₂

, 0 ≤ sin t, donc 0 ≤ sin

ⁿ

t. Par positivit´ e de l’int´ egrale, on a W

_n

≥ 0. La suite (W

_n

)

n∈N

est d´ ecroissante et minor´ ee, elle converge par le th´ eor` eme de la limite monotone.

4. Soit n ∈ N. Par l’absurde, supposons que W

n

= 0. Comme la fonction t 7→ sin

ⁿ

(t) est continue et positive sur

0,

^π₂

, on en d´ eduit que la fonction t 7→ sin

ⁿ

(t) est nulle sur 0,

^π₂

ce qui est absurde (elle vaut 1 en π

2 ). Ainsi, W

_n

6= 0.

5. Soit n ∈ N . Par int´ egration par parties, les fonctions t 7→ cos t et t 7→ sin

ⁿ⁺¹

t ´ etant de classe C

¹

sur

0,

^π₂

, on a : W

n+2

=

Z

^π

2

0

sin t × sin

ⁿ⁺¹

t =

cos t sin

ⁿ⁺¹

t

^π₂

0

− Z

^π

2

0

cos t(n + 1)(− cos t sin

ⁿ

t)dt

= (n + 1) Z

^π

2

0

sin

ⁿ

t cos

²

tdt = (n + 1) Z

^π

2

0

sin

ⁿ

t cos

²

t(1 − sin

²

t)dt

= (n + 1)W

_n

− (n + 1)IW n + 2.

On en d´ eduit que (n + 2)W

_n+2

= (n + 1)W

_n

puis que W

_n+2

= n + 1 n + 2 W

_n

. 6. Pour n ∈ N , Notons J

n

= (n + 1)W

n

W

n+1

. On a

J

_n+1

− J

_n

= (n + 2)W

_n+1

W

_n+2

− (n + 1)W

_n

W

_n+1

= (n + 1)W

_n+1

W

_n

− (n + 1)W

_n

W

_n+1

= 0 donc (W

_n

)

n∈N

est constante, de valeur W

₀

= W

₀

W

₁

=

^π₂

.

7. Soit n ∈ N , on a W

n+2

≤ W

n+1

≤ I

n

(car la suite (W

n

)

n∈N

est d´ ecroissante). Comme W

n

> 0 (d’apr` es les questions 2 et 3), on en d´ eduit que :

n + 2

n + 1 = W

n+2

W

_n

≤ W

n+1

W

_n

≤ 1 avec la question 4.

Le th´ eor` eme de convergence par encadrement nous donne alors W

n+1

W

_n

−→

n→+∞

1 donc W

n

∼

n

W

n+1

.

1

(2)

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Lyc´ ee Saint Louis

8. On sait W

_n+1

∼

n

W

_n

donc J

_n

∼

n

nW

_n²

. Or, pour tout n ∈ N , J

_n

= π

2 . Ainsi, nW

_n²

∼

n

π 2 . Finalement, on en d´ eduit que W

n

∼

n

r π

2n . Ainsi, lim

n→+∞

W

n

= 0.

9. De la relation de r´ ecurrence de la question 4, on obtient, pour p ∈ N : W

2p

= 2p − 1

2p I

2p−2

= (2p − 1)(2p − 3) (2p)(2p − 2) I

2p−4

= (2p − 1)(2p − 3)(2p − 5)

(2p)(2p − 2)(2p − 4) I

2p−6

= · · · = (2p − 1) × (2p − 3) × · · · × 1 (2p) × (2p − 2) × · · · × 2 W

₀

.

= [(2p − 1) × (2p − 3) × · · · × 1] × [(2p) × (2p − 2) × · · · × 2]

[(2p) × (2p − 2) × · · · × 2]

²

× π 2

= (2p)!

(2

^p

p!)

²

× π

2 = (2p)!

4

^p

(p!)

²

× π 2 et de mˆ eme :

W

2p+1

= 2p

2p + 1 I

2p−1

= (2p)(2p − 2)

(2p + 1)(2p − 1) I

2p−3

= (2p)(2p − 2)(2p − 4)

(2p + 1)(2p − 1)(2p − 3) I

2p−5

= · · · = (2p) × (2p − 2) × · · · × 2 (2p + 1) × (2p − 1) × · · · × 3 W

₁

= [(2p) × (2p − 2) × · · · × 2]

²

[(2p + 1) × (2p − 1) × · · · × 3] × [(2p) × (2p − 2) × · · · × 2]

= (2

^p

p!)

²

(2p + 1)! = 4

^p

(p!)

²

(2p + 1)!

II. Int´ egrale de Gauss

1. La fonction F est une primitive de x 7→ e

^−x²

(continue sur R ), elle est donc d´ erivable, et pour x ∈ R , F

⁰

(x) = e

^−x²

> 0. F est donc strictement croissante.

2. Pour x ∈ [1, +∞[, on a 1 ≤ x, donc en multipliant par x > 0, x ≤ x

²

et −x

²

≤ −x. En appliquant exp, croissante sur R, on en d´ eduit que e

^−x²

≤ e

^−x

.

3. Soit x ∈ [1, +∞[. Par la relation de Chasles, F(x) =

Z

1 0

e

^−t²

dt + Z

x

1

e

^−t²

dt = F (1) + Z

x

1

e

^−t²

dt ≤ F (1) + Z

x

1

e

^−t

dt

= F (1) +

− e

^−t

x

1

= F (1) + e − e

^−x

≤ F (1) + e

puisque, par la question pr´ ec´ edente, pour tout t ∈ [1, x], e

^−t²

≤ e

^−t

, donc par croissance de l’int´ egrale,

Z

x

1

e

^−t²

dt ≤ Z

x

1

e

^−t

dt.

Par suite, F est croissante et major´ ee (par F (1) + e). Elle admet donc une limite en +∞.

4. Soit f :] − 1, +∞[→ R , u 7→ u − ln(1 + u). f est d´ erivable sur ] − 1, +∞[ (comme combinaison lin´ eaire de fonctions qui le sont), et pour u ∈]−1, +∞[, f

⁰

(u) = 1 −

_1+u¹

=

_1+u^u

est de mˆ eme signe que u. f est donc d´ ecroissante sur ] − 1, 0] et croissante sur [0, +∞[, donc admet un minimum en 0.

On a f (0) = 0, donc pour tout u ∈] − 1, +∞[, f (u) ≥ f(0) = 0, ce qui montre que ln(1 + u) ≤ u.

5. Soit n ∈ N

^∗

.

2

(3)

PCSI5

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(a) Pour t ∈ [0, √

n[, la question pr´ ec´ edente donne (puisque −

^t_n²

∈] − 1, 0]) ln

1 −

^t_n²

≤ −

^t_n²

. Comme n > 0, on en d´ eduit que n ln

1 −

^t_n²

≤ −t

²

et comme exp est croissante,

exp

n ln

1 − t

²

n

≤ e

^−t²

i.e.

1 − t

²

n

≤ e

^−t²

. Cette derni` ere in´ egalit´ e reste vraie lorsque t = √

n, donc par croissance de l’int´ egrale, Z

√n

0

1 − t

²

n

dt ≤ Z

√n

0

e

^−x²

dx.

(b) Le changement de variable t = √

n cos u ´ equivaut ` a u = arccos

√t

n

. Il donne dt =

− √

n sin udu et les bornes deviennent

^π₂

et 0 : Z

√n

0

1 − t

²

n

dt = Z

0

π 2

(1 − cos

²

u)

ⁿ

(− √

n sin u)du = √ n

Z

^π

2

0

(sin

²

u)

ⁿ

sin udu

= √ n

Z

^π

2

0

sin

²ⁿ⁺¹

udu = √

nw

_2n+1

.

Finalement,

√ nW

_2n+1

≤ Z

√n

0

e

^−x²

dx

6. Soit n ∈ N

^∗

.

(a) Pour t ∈ R,

^t_n²

∈ R

+

, et par la question 1, ln

1 +

^t_n²

≤

^t_n²

. Comme −n < 0, on en d´ eduit que −n ln

1 +

^t_n²

≥ −t

²

. Comme exp est croissante on en d´ eduit que :

e

^−t²

≤ exp

−n ln

1 + t

²

n

=

1 + t

²

n

−n

.

(b) On pose le changement de variable t = √

n tan u dans l’int´ egrale propos´ ee, qui ´ equivaut

`

a u = arctan

√t n

. Ceci transforme dt en √

n(1 + tan

²

u)du et les bornes en 0 et B = arctan (1) = π

4 . On obtient donc : Z

√n

0

1 + t

²

n

−n

dt = Z

^π

4

0

(1 + tan

²

u)

⁻ⁿ

√

n(1 + tan

²

u)du

= √ n

Z

^π₄

0

1 cos

²

u

n−1

du = √ n

Z

^π₄

0

cos

^2p

udu avec p = n − 1.

(c) On pose le changement de variable u =

^π₂

− t pour trouver : Z

B

0

cos

^2p

tdt = Z

^π

2−B

π 2

cos

^2p

π 2 − u

(−du) = Z

^π

2

π 2−B

sin

^2p

udu.

(d) D’apr` es la question (b) et par croissance de l’int´ egrale, on a : Z

√n

0

e

^−t²

dt ≤ Z

√n

0

1 + t

²

n

−n

dt = √ n

Z

^π

4

0

cos

²ⁿ⁻²

tdt = √ n

Z

^π

2

π 4

sin

²ⁿ⁻²

udu ≤ √

nW

2n−2

puisque sin

²ⁿ⁻²

u ≥ 0 sur [0,

^π₄

].

3

(4)

PCSI5

Lyc´ ee Saint Louis

7. D’apr` es les questions 6. et 7., on a pour tout n ∈ N

^∗

,

√ nW

2n+1

≤ Z

√n

0

e

^−x²

dx ≤ √

nW

2n−2

Or, d’apr` es A.8, on a √

nW

_2n+1

∼

n

√ nW

_2n

∼

n

√ n r π

4n d’o` u √

nW

_2n+1

∼

n

√ π

2 donc

n→+∞

lim

√ nW

2n+1

=

√ π 2 . De mˆ eme, √

nW

2n−2

∼

n

√ nW

_2n

π 4 ∼

n

√ π

2 donc lim

n→+∞

√ nW

2n−2

=

√ π 2 . Par passage ` a la limite dans l’in´ egalit´ e, on obtient

Z

+∞

0

e

^−x²

dx =

√ π 2 .

A RETENIR. ` Valeur de l’int´ egrale de Gauss : Z

+∞

0

e

^−x²

dx =

√ π 2 .

4