Math2 – Chapitre 3 Int´egrales multiples

Math2 – Chapitre 3 Int´ egrales multiples

3.1 – Int´ egrales de Riemann (rappels de TMB) 3.2 – Int´ egrales doubles

3.3 – Int´ egrales triples

3.4 – Aire, volume, moyenne et centre de masse

3.1 – Int´ egrales de Riemann (rappels de TMB)

Dans cette section:

‚ Subdivisions, somme de Riemann et int´ egrale de Riemann d’une fonction d’une variable

‚ Aire sous le graphe d’une fonction

‚ Primitives et techniques d’int´ egration

Subdivision, somme et int´ egrale de Riemann

Rappels – Soit f : ra, bs Ñ R une fonction d’une variable:

‚ subdivision de ra, bs: S

“ ta “ a

ă a

ă ¨ ¨ ¨ ă a

“ bu

R

‚ a“a0

‚an“b

‚ a1

x|1

‚ a2

x|2

‚ a3

x|3

‚ a4

x|4

‚ a5

x|5

δ

¨ ¨ ¨

‚ somme de Riemann de f aux points x

P ra

, a

s:

R

pf ; tx

uq “

n

ÿ

i“1

f px

q δ.

fpxq

‚a

b‚

´ ` ´

‚ int´ egrale de Riemann de f sur ra, bs:

ż

a

f pxq dx “ lim

nÑ8 toutxi

R

pf ; tx

uq

x fpxq

‚a

‚b

si la limite existe, est finie, et ne d´ epend pas des x

.

L’int´ egrale donne l’aire sous le graphe

Rappels -

‚ ż

a

f pxq dx “ aire “alg´ ebrique” sous le graphe de f

‚ ż

a

|f pxq| dx “ aire sous le graphe de f (positive)

x y “fpxq

´

` `

´

`

|f| f “ |f| |f|

Exemple: L’aire du disque

D“ px,yq PR²|x²`y²ď1( se calcule comme une int´egrale:

AirepDq “2AirepD^`q “2 ż1

´1

a1´x²dx

x y “?

1´x² D^`

Primitives et techniques d’int´ egration

Pour connaitre l’int´egral, il suffit de connaitre une primitive:

‚Uneprimitive def sur ra,bsest une fonctionF d´erivable telle que F¹pxq “fpxqpour toutxP ra,bs. On noteFpxq “

ż

fpxqdx.

‚Th´eor`eme fondamental:

żb

a

fpxqdx“Fpbq´Fpaq “ rFpxqs^b_a.

‚Int´egration par changement de variable: x“hptq ż

fpxqdx“ ż

f` hptq˘

h¹ptqdt, o`uhest un diff´eomorphisme (bijection d´erivable avec

r´eciproqueh^´1d´erivable).

‚Int´egration par parties:

ż

fpxqg¹pxqdx“fpxqgpxq ´ ż

f¹pxqgpxqdx.

Probl`eme –Pas d’analogue pour les fonctions de plusieurs variables!

Exemple: aire d’un disque

Aire d’un disque –

D “ px, y q P R

| x

` y

ď 1 (

x y “?

1´x² D^`

Aire pD q “ 2Aire pD

q “ 2 ż

´1

a

1 ´ x

dx

Calcul par changement de variable: x “ sin t pour t P r´

,

s, car

? 1 ´ x

“ cos t. Alors dx “ cos t dt et

Aire pDq “ 2 ż

´π{2

cos

t dt

“ 2 ż

´π{2

cosp2tq ` 1

2 dt

“

” 1

2 sinp2tq ` t ı

´π{2

“ ` 0 ` π

2 ´ 0 ` π 2

˘ “ π.

3.2 – Int´ egrales doubles

Dans cette section:

‚ Subdivisions des domaines du plan

‚ Sommes de Riemann des fonctions de deux variables

‚ Int´ egrale double

‚ Volume sous le graphe d’une fonction

‚ Th´ eor` eme de Fubini

‚ Th´ eor` eme du changement de variables

Subdivisions d’un domaine du plan

Soit D Ă R

un ensemble born´ e, avec bord BD lisse

.

D´ efinition – Pour tout δ ą 0, on appelle subdivision de D l’ensemble S

des carr´ es K

de cot´ e δ du plan qui couvrent D dans n’importe quel grillage de pas δ.

En particulier, on consid` ere deux recouvrements:

‚ un ` a l’ext´ erieur S

,

‚ un ` a l’int´ erieur S

.

Sint

Sext

D

BD

Puisque D est born´ e, les subdivisions contiennent un nombre fini de carr´ es, et on a S

Ă S

.

Les carr´ es dans S

zS

couvrent exactement le bord BD.

Sommes de Riemann d’une fonction de deux variables

Soit f : D ÝÑ R une fonction de deux variables.

D´ efinition – Pour tout choix de points px

, y

q P K

X D, on appelle sommes de Riemann de f associ´ ees aux subdivisions S

et aux points tpx

, y

qu les sommes

R

pf , tpx

, y

quq “ ÿ

KiPS_δ^ext{int

f px

, y

q δ

,

o` u chaque terme f px

, y

q δ

repr´ esente le volume alg´ ebrique (= ˘ volume) du parall´ elepip` ede de base

K

et hauteur f px

, y

q.

‚

x

y fpx,yq

D

Int´ egrale double

Th´ eor` eme – Si les limites lim

δÑ0

R

pf ; tpx

, y

quq existent et elles sont ind´ ependantes du choix des points px

, y

q P K

X D, alors elles coincident.

D´ efinition – Dans ce cas:

‚ on appelle int´ egrale double de f sur D cette limite:

ij

D

f px, yq dx dy “ lim

δÑ0

R

pf ; tpx

, y

quq.

‚ on dit que f est int´ egrable sur D selon Riemann si l’int´ egrale ij

D

f px, y q dx dy est finie (= nombre, pas ˘8).

Proposition – Toute fonction f continue est int´ egrable selon

Riemann sur un ensemble D born´ e ` a bord lisse

.

Signification g´ eom´ etrique de l’int´ egrale double

Corollaire –

‚ ij

D

f px, yq dx dy “ volume “alg´ ebrique” sous le graphe de f .

‚ ij

D

|f px, yq| dx dy “ volume sous le graphe de f .

y z

x

positif n´egatif f “ |f| |f|

f

Exemple 1: volume d’une boule

Volume d’une boule – Le volume de la boule B “ px, y, z q P R

| x

` y

` z

ď 1 ( est deux fois le volume de la demi-boule

B

“ px, y, z q P R

| x

` y

` z

ď 1, y ě 0 ( , qui se trouve sous le

graphe de la fonction z “ a

1 ´ x

´ y

.

‚

‚ y

z

x

px,yq z“a

x²`y<sup>2</sup> B<sup>`</sup>

On a alors

Vol pBq “ 2 ij

D

a 1 ´ x

´ y

dx dy o` u D “ px , yq P R

| x

` y

ď 1 (

est le disque unitaire.

Propri´ et´ es des int´ egrales doubles

Propri´ et´ es – 1q Pour tout λ, µ P R , on a ij

D

` λ f ` µ g ˘

dx dy “ λ ij

D

f dx dy ` µ ij

D

g dx dy .

2q Si D “ D

Y D

et D

X D

= courbe ou point ou H, alors ij

D

f px, yq dx dy “ ij

D1

f px, yq dx dy ` ij

D2

f px, y q dx dy .

3q ˇ ˇ ˇ

ij

D

f px, yq dx dy ˇ ˇ ˇ ď

ij

D

|f px, yq| dx dy .

4q Si f px, y q ď g px, y q pour tout px, yq P D, alors ij

D

f px, yq dx dy ď ij

D

g px, y q dx dy .

Th´ eor` eme de Fubini sur un rectangle

Th´ eor` eme de Fubini sur un rectangle – Soit f : D ÝÑ R une fonction continue et D “ ra, bs ˆ rc , d s un rectangle. Alors on a

ij

D

f px, y q dx dy “ ż

a

ˆż

c

f px, y q dy

˙ dx

“ ż

c

ˆż

f px, y q dx

˙ dy

Notation – ż

a

dx ż

c

dy f px, y q “ ż

a

ˆż

c

f px, y q dy

˙ dx

Corollaire – ij

ra,bsˆrc,ds

f

pxq f

pyq dx dy “ ż

a

f

pxqdx ż

c

f

pyqdy

Exemple 2: calcul d’int´ egrales doubles

Exemples –

‚ ij

r0,1sˆr0,π{2s

x cos y dx dy “ ż

0

x dx ż

0

cos y dy

“

” 1 2 x

ı

” sin y

ı

0

“ 1

2

‚ ij

r´1,1sˆr0,1s

px

y ´ 1q dx dy “ ż

´1

dx ż

0

px

y ´ 1q dy

“ ż

´1

dx

„ 1

2 x

y

´ y



“ ż

´1

ˆ 1 2 x

´ 1

˙ dx “

„ 1 6 x

´ x



´1

“ ´ 5

3

Th´ eor` eme de Fubini

Lemme – Soit D Ă R

un ensemble born´ e quelconque.

‚ Pour tout px, y q P D il existe a, b P R tels que a ď x ď b.

‚ Pour tout x P ra, bs il existe c pxq, d pxq P R tels que cpxq ď y ď d pxq.

Au final:

x y

x b a cpxq dpxq

D “ px, yq P R

| x P ra, bs, y P rc pxq, d pxqs (

Th´ eor` eme de Fubini sur D – Soit f : D ÝÑ R une fonction continue, alors

ij

D

f px, yq dx dy “ ż

a

˜ ż

f px, y q dy

¸

dx

Th´ eor` eme de Fubini (suite)

Alternative –

L’ensemble D est d´ ecrit par

x y

d y c

apyq bpyq

D “ px, y q P R

| y P rc, d s, x P rapyq, bpyqs (

Th´ eor` eme de Fubini sur D –

ij

D

f px, yq dx dy “ ż

c

˜ ż

apyq

f px, yq dx

¸

dy

Exemple 3: calcul d’int´ egrale double

Exemple – Soit D la partie du plan xOy d´ elimit´ ee par l’arc de parabole y “ x

en bas, et la droite y “ 1 en haut.

x y

y “1 y “x² 1‚

On peut d´ ecrire D comme

D “ px, y q P R

| x P r´1, 1s, y P rx

, 1s ( .

Par cons´ equent:

ij

D

x

y dx dy “ ż

´1

x

dx ż

x²

y dy

“ ż

´1

x

„ 1 2 y



x²

dx

“ ż

´1

1

2 px

´ x

q dx

“ 1 2

„ 1 3 x

´ 1

5 x



“ 2

15

Exemple 4: volume de la boule

Exemple – Rappelons que le volume de la boule unitaire est Vol pBq “ 2

ij

D

a 1 ´ x

´ y

dx dy

o` u D “ px , yq P R

| x

` y

ď 1 ( .

x y

‚ ‚

´1 1

D

´? 1´x²

?1´x²

On peut d´ ecrire D comme l’ensemble D “

!

px, yq P R

| x P r´1, 1s, y P “

´

a 1 ´ x

, a

1 ´ x

‰ ) .

‚ Voici donc le calcul du volume de la boule:

Vol pBq “ 2 ż

´1

dx ż

?1´x²

´? 1´x²

a 1 ´ x

´ y

dy

“ 2 ż

´1

dx ż

?1´x²

´

?1´x²

a 1 ´ x

d

1 ´ y

1 ´ x

dy.

‚ On pose

1´x²

“ sin t pour avoir b

1 ´

“ | cos t|.

Exemple 4: volume de la boule (suite)

‚ y “ ?

1 ´ x

sin t dy “ ?

1 ´ x

cos t dt

‚ ´ ?

1 ´ x

ď y ď ?

1 ´ x

ñ ´1 ď sin t ď 1 ñ ´

ď t ď

et

b

1 ´

“ cos t

Vol pBq “ 2 ż

´1

dx ż

?1´x²

´

?1´x²

a 1 ´ x

d

1 ´ y

1 ´ x

dy

“ 2 ż

´1

dx ż

´π{2

a

1 ´ x

cos t a

1 ´ x

cos t dt

“ 2 ż

´1

p1 ´ x

q dx ż

´π{2

cos

t dt

‚ puisque 2 ż

´π{2

cos

t dt “ π (voir ex. pr´ ec´ edent)

Vol pBq “ π ż

´1

p1 ´ x

q dx “ π

„ x ´ 1

3 x



´1

“ 4π

3 .

Changement de variables

D´ efinition – Un changement de variables px, y q “ hpu, v q “ `

xpu, v q, y pu, v q ˘

est un diff´ eomorphisme h : ˜ D Ñ D : pu, v q ÞÑ hpu, vq “ px, y q, c’est-` a-dire une bijection de classe C

avec r´ eciproque

h

: D Ñ D ˜ : px, y q ÞÑ h

px, yq “ pu, vq de classe C

.

Th´ eor` eme – Soit f : D Ñ R une fonction des variables px , yq et px, y q “ hpu, v q un changement de variables. Alors

ij

D

f px, y q dx dy “ ij

D˜

f ˜ pu , vq ˇ ˇ

ˇ det J

pu, vq ˇ ˇ ˇ du dv

o` u ˜ f pu , vq “ f phpu, vqq, D ˜ “ pu, vq | hpu, vq P D ( et det J

pu, v q “

´

est le Jacobien de h.

Passage en polaire – dx dy “ ρ d ρ d ϕ

Exemple 5: volume d’une boule en polaires

Volume de la boule en coordonn´ ees polaires – On calcul Vol pBq “ 2

ij

D“tx²`y²ď1u

a 1 ´ x

´ y

dx dy

en coordonn´ ees polaires px, yq “ hpρ, ϕq “ pρ cos ϕ, ρ sin ϕq.

‚ Puisque x

` y

“ ρ

, on a : D ˜ “ pρ, ϕq P s0, 8rˆr0, 2πr ˇ

ˇ ρ ď 1 (

“ s0, 1s ˆ r0, 2πr

‚ on utilise dx dy “ ρ d ρ d ϕ, a

1´x

´y

“ a

1´ρ

et Fubini:

Vol pBq “ 2 ż

0

a 1 ´ ρ

ρ d ρ ż

0

d ϕ “ 4π ż

0

a 1 ´ ρ

ρ d ρ

‚ enfin, on pose t “ 1 ´ ρ

donc dt “ ´2ρ d ρ : Vol pBq “ ´ 4π

2 ż

1

t

dt “ 2π ż

0

t

dt “ 2π 2 3

” t

ı

0

“ 4π

3 .

3.3 – Int´ egrales triples

Dans cette section:

‚ Subdivisions des solides

‚ Sommes de Riemann des fonctions de trois variables

‚ Int´ egrales triples

‚ Th´ eor` eme de Fubini

‚ Th´ eor` eme du changement de variables

Int´ egrale triple

Soit Ω Ă R

un ensemble born´ e avec bord BΩ lisse (par morceaux), et soit f : Ω ÝÑ R une fonction de trois variables.

D´ efinition –

‚ On choisit une subdivision S

de Ω en petits cubes K

de taille δ

, avec δ qui tend vers z´ ero.

‚ ‚ D ‚ ‚

R³

‚ On d´ efinit l’int´ egrale triple de f sur Ω comme la limite (quand elle existe) de la somme de Riemann associ´ ee ` a S

et ` a des points px

, y

, z

q P K

X Ω quelconque:

¡

Ω

f px, y , z q dx dy dz “ lim

δÑ0

ÿ

KiPSδ

f px

, y

, z

q δ

.

‚ On dit que f est int´ egrable si son int´ egrale est finie.

Proposition – Toute fonction f continue est int´ egrable selon

Riemann sur un ensemble Ω born´ e ` a bord lisse

.

Signification g´ eom´ etrique et propri´ et´ es

Signification g´ eom´ etrique – Le graphe de f est une hyper-surface de R

:

‚

¡

Ω

f px, y, z q dx dy dz “ quadri-volume “alg´ ebrique”

sous le graphe de f .

‚

¡

Ω

|f px, y,zq| dx dy dz “ quadri-volume sous le graphe de f .

Propri´ et´ es – 1q Pour tout λ, µ P R , on a

¡

Ω

` λ f ` µ g ˘

dx dy dz “ λ

¡

Ω

f dx dy dz ` µ

¡

Ω

g dx dy dz .

2q Si Ω

X Ω

= surface ou courbe ou point ou H, alors

¡

Ω1YΩ2

f dx dy dz “

¡

Ω1

f dx dy dz `

¡

Ω2

f dx dy dz.

etc

Th´ eor` eme de Fubini

Th´ eor` eme de Fubini – Soit f : Ω Ă R

ÝÑ R continue.

‚ Si Ω est un parall´ el´ epip` ede, alors

Ω “ ra, bsˆrc, d sˆre , g s

¡

Ω

f px, y, z q dx dy dz “ ż

a

dx ż

c

dy ż

e

dz f px, y, zq

(on int` egre dans l’ordre qu’on veut)

‚ Si Ω est un ensemble born´ e quelconque, alors:

Ω “ px,y ,z q ˇ

ˇ x P ra, bs, y P rc pxq, d pxqs, z P re px,yq, g px,yqs (

¡

Ω

f px, y , zq dx dy dz “ ż

a

dx ż

cpxq

dy

ż

epx,yq

dz f px, y, zq

(l’ordre d’int´ egration est forc´ e)

Exemple 1: calcul d’int´ egrales triples

Exemple – Ω “ r0, 1sˆr1, 2sˆr2, 3s Ă R

¡

Ω

px

´ 2yzq dx dy dz “ ż

2

dz ż

1

dy ż

0

dx px

´ 2yzq

“ ż

2

dz ż

1

dy

” 1

3 x

´ 2xyz ı

x“0

“ ż

2

dz ż

1

dy

´ 1 3 ´ 2yz

¯

“ ż

2

” 1

3 y ´ y

z ı

y“1

dz

“ ż

2

´ 2

3 ´ 4z ´ 1 3 ` z

¯

dz “ ż

2

´ 1 3 ´ 3z

¯ dz

“

” 1 3 z ´ 3

2 z

ı

2

“ 3

3 ´ 27 2 ´ 2

3 ` 12 2

“ 1 3 ´ 15

2 “ ´ 43

6

Exemple 2: calcul d’int´ egrales triples

Exemple – On veut calculer

¡

Ω

p1 ´ 2yzq dx dy dz o` u Ω est le cylindre plein de hauteur 3 et de base le disque

D “ px, y , zq P R

| x

` y

ď 1, z “ 0 )

.

‚ D’abord, on d´ ecrit explicitement Ω : Ω “ px, y, zq | x

` y

ď 1, 0 ď z ď 3

)

“ px, y, zq | x P r´1, 1s, y P “

´ ?

1´x

, ? 1 ´x

‰

, z P r0, 3s )

‚ Ensuite on applique Fubini:

¡

Ω

p1 ´ 2yzq dx dy dz “ ż

0

dz ij

D

p1 ´ 2yzq dx dy

“ ż

0

dz ż

´1

dx ż

?1´x²

´

?1´x²

dy p1 ´ 2yzq

Exemples 2 (suite)

Exemple (suite) –

¡

Ω

p1 ´ 2yzq dx dy dz “ ż

0

dz ż

´1

dx ż

?1´x²

´? 1´x²

p1 ´ 2yzq dy

“ ż

0

dz ż

´1

”

y ´ y

z ı

?1´x² y“´?

1´x²

dx

“ ż

0

dz ż

´1

´a

1´x

´ p1´x

qz ` a

1´x

` p1´x

qz

¯ dx

“ ż

0

dz ż

´1

2 a

1 ´ x

dx

“ 3 ż

´π{2

2 cos

t dt

“ 3π

Changement de variables

D´ efinition – Un changement de variables

~ x “ px, y, z q “ hpu, v , w q “ `

xp~ uq, yp~ uq, z p~ uq ˘ est un diff´ eomorphisme h : ˜ Ω Ñ Ω : ~ u ÞÑ hp~ uq “ ~ x (bijection C

avec r´ eciproque h

p~ xq “ ~ u aussi C

).

Th´ eor` eme – Soit f : Ω Ă R

Ñ R une fonction de ~ x et ~ x “ hp~ uq un changement de variables. Alors

ij

D

f p~ xq dx dy dz “ ij

Ω˜

f ` hp~ uq ˘ ˇ

ˇ

ˇ det J

p~ uq ˇ ˇ

ˇ du dv dw

o` u Ω ˜ “ ~ u | hp~ u q P Ω (

et det J

p~ uq est le Jacobien de h.

Passage en coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques –

dx dy dz “ ρ d ρ d ϕ dz “ r

sin θ dr d ϕ d θ

Exemple 3: int´ egrale par changement de variables

Exemple – Consid´ erons ` a nouveau

¡

Ω

p1 ´ 2yzq dx dy dz o` u Ω est le cylindre de hauteur 3 et de base le disque D.

‚ En coordonn´ ees cylindriques, on a

Ω “ pρ, ϕ, z q | ρ P s0, 1s, ϕ P r0, 2πr, z P r0, 3s )

‚ Puisque dx dy dz “ ρ d ρ d ϕ dz, on a

¡

Ω

p1 ´ 2yzq dx dy dz “ ż

0

dz ż

0

ρ d ρ ż

0

p1 ´ 2ρ sin ϕzq d ϕ

“ ż

0

dz ż

0

ρ d ρ

”

ϕ ` 2ρ cos ϕz ı

ϕ“0

“ ż

0

dz ż

0

´

2π ` 2ρz ´ 2ρz

¯ ρ d ρ

“ ż

0

dz ż

0

2π ρ d ρ “ 3 π

” ρ

ı

0

“ 3π

3.4 – Aire, volume, moyenne, centre de masse

Dans cette section:

‚ Aire d’un domaine du plan

‚ Volume d’un solide

‚ Quantit´ es totale et moyenne

‚ Centre de masse et moment d’in´ ertie

Motivation pour la d´ efinition g´ en´ erale d’aire

Remarque – Si D est un domaine born´ e de R

, l’int´ egrale ij

D

dx dy

repr´ esente le volume sous le graphe de la fonction f px, y q “ 1.

y z

x D

1

Ce solide Ω est un cylindre de hauteur H “ 1 et de base D:

ij

D

dx dy “ Vol pΩq “ Aire pDqˆH “ Aire pDq.

Aire d’un domaine du plan

D´ efinition – L’aire d’un domaine D born´ e de R

est

Aire pDq “ ij

D

dx dy

x y

D

Proposition – Si D est la portion du plan sous le graphe d’une fonction f :ra, bs Ñ R positive, c’est-` a-dire si

D “ px, yq | x P ra, bs, y P r0, f pxqs ( ,

alors: Aire pDq “ ż

a

f pxq dx

x y

f D a b

‚ En effet:

ij

D

dx dy “ ż

a

dx ż

0

dy “ ż

a

f pxq dx .

Exercice: aire d’un domaine du plan

´ Enonc´ e – Calculer l’aire du domaine born´ e D Ă R

d´ elimit´ e par les courbes d’´ equation y “ x

` 2x ` 1 et y “ x

` 1.

R´ eponse – D’abord on dessine D et on trouve les deux points d’intersection des courbes: p´1, 0q et p0, 1q.

x y

y“ px`1q<sup>2</sup> y“x<sup>3</sup>`1

‚

‚

On a donc D “

!

px, y q P R

| ´ 1 ď x ď 0, x

` 2x ` 1 ď y ď x

` 1 )

.

Ensuite on applique Fubini:

Aire pDq “ ij

D

dx dy “ ż

´1

dx

ż

x²`2x`1

dy

“ ż

´1

` x

`1´x

´2x ´1 ˘ dx

“

„ 1 4 x

´ 1

3 x

´x



´1

“ ´ 1 4 ´ 1

3 `1 “ 5

12

Volume d’un solide

D´ efinition – Le volume d’un solide Ω born´ e de R

est

Vol pΩq “

¡

Ω

dx dy dz

y z

x

Ω

Proposition – Si Ω est l’espace sous le graphe d’une fonction f :D Ă R

Ñ R

, c’est-` a-dire si

Ω “ px, y , z q | px, y q P D, z P r0, f px, y qs ( ,

alors: Vol pΩq “ ij

D

f px, yq dx dy

x y

z f

Ω D

‚ Car

¡

Ω

dx dy dz “ ij

D

dx dy

ż

0

dz “ ij

D

f px, yq dx dy .

Exemple 1: volume d’une boule en sph´ eriques

Volume de la boule en coordonn´ ees sph´ eriques – En coordonn´ ees sph´ eriques, la boule unit´ e B s’´ ecrit

B “ pr , ϕ, θq | r P r0, 1s, ϕ P r0, 2πr, θ P r0, πs ( .

Puisque dx dy dz “ r

sin θ dr d ϕ d θ, on a Vol pB q “

¡

B

dx dy dz

“

¡

r0,1sˆr0,2πrˆr0,πs

r

sin θ dr d ϕ d θ

“ ż

0

r

dr ż

0

d ϕ ż

0

sin θ d θ

“ 1 3 2π

”

´ cos θ ı

0

“ 2π

3 p1 ` 1q “ 4π

3 .

Quantit´ es totale et moyenne

D´ efinition – En physique, si f : Ω ÝÑ R

repr´ esente une concentration de mati` ere (une densit´ e volumique), ou une densit´ e de courant ou d’´ energie, alors on appelle

‚ quantit´ e totale de mati` ere / courant / ´ energie en Ω le nombre

¡

Ω

f px, y, z q dx dy dz

‚ quantit´ e moyenne de mati` ere / courant / ´ energie en Ω le nombre

1 Vol pΩq

¡

Ω

f px, y, z q dx dy dz

Exemple 2: moyenne

Exemple – Un mat´ eriau est r´ eparti dans un cube Ω “ r0, Rs

selon la densit´ e volumique f px, y, zq “

.

‚ La quantit´ e totale du mat´ eriau est alors

¡

Ω

f px, y , zq dx dy dz “ ż

0

dx ż

0

px ` yq dy ż

0

1 pz ` 1q

dz

“ ż

0

” xy ` 1

2 y

ı

y“0

dx

”

´ 1 z ` 1

ı

“ ż

0

´ Rx ` 1

2 R

¯ dx

´

1 ´ 1 R ` 1

¯

“

” 1

2 Rx

` 1 2 R

x

ı

0

R

R ` 1 “ R

R ` 1 .

‚ Puisque Vol pΩq “ R

, la quantit´ e moyenne est 1

Vol pΩq

¡

Ω

f px, y, z q dx dy dz “ 1 R

R

R ` 1 “ R

R ` 1 .

Barycentre

D´ efinition – Si µ : Ω ÝÑ R

denote la densit´ e de masse d’un mati´ eriau contenu dans Ω, on appelle

‚ masse totale le nombre M “

¡

D

µpx, y, zq dx dy dz

‚ centre de masse (ou centre d’inertie, ou barycentre) le point G de coordonn´ ees

x

“ 1 M

¡

D

x µpx, y , zq dx dy dz

y

“ 1 M

¡

D

y µpx, y, z q dx dy dz

z

“ 1 M

¡

D

z µpx, y , zq dx dy dz

Moment d’inertie

D´ efinition (suite) – Si rpx, y, zq est la distance d’un point px, y , zq ` a un point fix´ e P ou ` a une droite ∆:

‚ le moment d’inertie par rapport ` a P ou ` a ∆ est le nombre 1

M

¡

Ω

r

px, y, zq µpx, y, zq dx dy dz .

Nota – Un mat´ eriau est dit homog` ene si sa densit´ e de masse µ est constante. Dans ce cas, sa masse dedans Ω est donn´ ee par l’int´ egrale

M “ µ

¡

Ω

dx dy dz “ µ Vol pΩq,

et les formules du centre de masse et du moment d’in´ ertie se

modifient en cons´ equence.

Exemple 3: centre de masse

Exemple – On cherche ` a d´ eterminer le centre de masse du demi-cylindre homog` ene (µ “ 1)

Ω “ px, y, zq P R

| x

` y

ď R

, z P r0, Hs, y ě 0 ( .

‚ Il est naturel de travailler en coordonn´ ees cylindriques et d’´ ecrire le demi-cylindre comme

Ω ˜ “ pρ, ϕ, zq | ρ P r0, Rs, ϕ P r0, πs, z P r0, Hs ( .

‚ Le calcul de la masse totale donne

M “

¡

Ω

dx dy dz “

¡

Ω˜

ρ d ρ d ϕ dz

“ ż

0

ρ d ρ ż

0

d ϕ ż

0

dz “ π R

H

2 .

Exemple 3 (suite)

‚Le centre de masseG a pour coordonn´ees cart´esiennes xG “ 1

M

¡

Ω

x dx dy dz

“ 1 M

¡

Ω˜

pρcosϕqρdρdϕdz “ 1 M

żR

0

ρ²dρ żπ

0

cosϕdϕ żH

0

dz “0

y_G “ 1 M

¡

Ω

y dx dy dz

“ 1 M

żR

0

ρ²dρ żπ

0

sinϕdϕ żH

0

dz“ 2 πR²H

R³

3 2 H“4R 3π zG “ 1

M

¡

Ω

z dx dy dz

“ 1 M

żR

0

ρdρ żπ

0

dϕ żH

0

z dz“ 2 πR²H

R² 2 π H²

2 “ H 2 AinsiG “

´

0,^4R_3π,^H₂¯ .

Exercice 1: quantit´ e totale et moyenne

´Enonc´e – De la farine s’´eparpille au sol selon la densit´e fpx,yq “ 1

`ax<sup>2</sup>`y²`1˘2, o`upx,yq PR².

Trouver la quantit´e totale et moyenne de farine ´eparpill´ee sur un disque D de rayon Rą0 centr´e en l’origine.

R´eponse – En coord. polaires, on a fpρ, ϕq “ 1

pρ`1q² et D“ pρ, ϕq |ρP r0,Rs, ϕP r0,2πr(

. Ainsi:

Quantit´e totale“ ij

D

1

pρ`1q² ρdρdϕ

“ żR

0

´ ρ`1

pρ`1q<sup>2</sup> ´ 1 pρ`1q²

¯ dρ

ż2π

0

dϕ

“2π żR

0

´ 1

ρ`1 ´ 1 pρ`1q²

¯ dρ

“2π

”

lnpρ`1q ` 1 ρ`1

ıR

0 “2π

´

lnpR`1q ´ R R`1

¯ .

Exercice 1 (suite)

Au final:

Quantit´e totale“2π

´

lnpR`1q ´ R R`1

¯ .

Puisque

AirepDq “ ij

D

ρdρdϕ“ żR

0

ρdρ ż2π

0

dϕ“R²

2 2π“πR², on a

Quantit´e moyenne “ 1 AirepDq

ij

D

1

pρ`1q² ρdρdϕ

“ 2 R²

´

lnpR`1q ´ R R`1

¯ .

Exercice 2: centre de masse

Exercice – Calculer le centre de masse du solideΩcompos´e de la demi-boule B et du cylindre C suivants:

B “

!

pr, ϕ, θqˇ

ˇr P r0,Rs, ϕP r0,2πs, θP rπ{2, πs )

C “

!

pρ, ϕ,zqˇ

ˇ ρP r0,Rs, ϕP r0,2πs, z P r0,Rs )

,

et avec la densit´e de masseµpx,y,zq “z².

R´eponse – Puisque Ω“BYC, etBXC = courbe, le centre de masse G a coordonn´ees

x_G “ 1 M_Ω

¡

Ω

xµpx,y,zqdx dy dz (idem poury_G etz_G),

o`u MΩ“MB `MC et

¡

Ω

“

¡

B

`

¡

C

.

‚Les int´egrales se calculent:

en coordonn´ees sph´eriques surB, o`uµpr, ϕ, θq “r<sup>2</sup>cos<sup>2</sup>θ, en coordonn´ees cylindriques surC, o`uµpρ, ϕ,zq “z².

Exercice 2 (suite)

‚Calcul de la masse de Ω:

MB “

¡

B

r²cos²θr²sinθ dr dϕdθ

“ żR

0

r⁴dr ż2π

0

dϕ żπ

π{2

cos²θsinθdθ

“ R⁵ 5 2π

”

´1 3cos³θ

ıπ

π{2 “ 2πR⁵ 15 MC “

¡

C

z²ρdρdϕdz

“ żR

0

ρdρ ż2π

0

dϕ żR

0

z²dz “ R² 2 2π R³

3 “ πR⁵ 3 Au final: MΩ“MB`MC “

ˆ2 15`1

3

˙

πR⁵“ 7πR⁵ 15 .

Exercice 2 (suite)

‚Puisque ż2π

0

cosϕdϕ“0 et ż2π

0

sinϕdϕ“0, on a:

xG “ 1 MΩ

¡

Ω

xµpx,y,zqdx dy dz

“ 1 MΩ

żR

0

r⁵dr ż2π

0

cosϕdϕ żπ

π{2

cos²θsin²θdθ

` 1 M_Ω

żR

0

ρ²dρ ż2π

0

cosϕdϕ żR

0

z²dz “0 yG “ 1

MΩ

¡

Ω

yµpx,y,zqdx dy dz

“ 1 M_Ω

żR

0

r⁵dr ż2π

0

sinϕdϕ żπ

π{2

cos²θsin²θdθ

` 1 MΩ

żR

0

ρ²dρ ż2π

0

sinϕdϕ żR

0

z²dz “0

Exercice 2 (suite)

Enfin:

zG “ 1 MΩ

¡

Ω

zµpx,y,zqdx dy dz

“ 1 M_Ω

żR

0

r⁵dr ż2π

0

dϕ żπ

π{2

cos³θsinθdθ

` 1 MΩ

żR

0

ρdρ ż2π

0

dϕ żR

0

z³dz

“ 15 7πR³

ˆR⁶ 6 2π”

´1

4cos⁴θıπ π{2`R²

2 2πR⁴ 4

˙

“ 15πR⁶ 7πR³

ˆ

´1 12`1

4

˙

“ 15R³ 7

2 12

“ 5R³ 14 .

Exercice 2 (suite)

‚En conclusion, le barycentreG de Ω a pour coordonn´ees G “ p0,0,5R³{14q

Puisque 5R³{14ą0, il se trouve dans la partie cylindrique.

‚Le barycentre se trouve `a l’int´erieur de Ω si 5R<sup>3</sup>{14ďR c’est-`a-dire si Rďa

14{5.