L1 2019-2020, Compl´ements de Math´ematiques 2 : calcul int´egral
Antoine Douai February 10, 2020
Le but de ce chapitre est de d´efinir l’int´egrale de Riemann d’une fonction num´erique et de faire le lien avec les primitives. Pr´erequis : tableaux de primitives usuels, bornes sup/inf, continuit´e et d´erivabilit´e des fonctions (avec les ε) , convergence de suites (avec lesε) ...
1 Int´ egrale de Riemann
Soit [a, b] un intervalle ferm´e et born´e de R (on va voir que c’est une hypoth`ese essentielle). On appelle subdivision de [a, b] tout sous ensemble fini de [a, b] contenant aetbet on notera
σ ={x0=a < x1 <· · ·< xn−1 < xn=b}.
Le pas δ(σ) d’une subdivision est la valeurs maximale des xj −xj−1, j = 1,· · ·, n. On dit que σ0 est plus fine que σ si σ ⊂ σ0. Par exemple, si σ = {x0 = a < x1 < · · · < xn−1 < xn = b} et σ0 ={y0 =a < y1<· · ·< yr−1 < yr =b}, on note
σ∪σ0={c0=a < c1 <· · ·< cq−1 < cq =b}.
la subdivision de [a, b] obtenue en ordonnant{x0,· · ·, xn, y0,· · · , yr}, apr`es avoir identifi´e les points qui apparaissent plusieurs fois : σ∪σ0 est plus fine que les subdivisionsσ etσ0.
D´efinition 1.1 (Sommes de Darboux)
Sif est born´ee sur[a, b], ´etant donn´ee une subdivisionσ de[a, b], on d´efinit ses sommes de Darboux S−(f, σ) =
n−1
X
i=0
mi(xi+1−xi) o`u mi = infx∈[xi,xi+1]f(x) et
S+(f, σ) =
n−1
X
i=0
Mi(xi+1−xi) o`u Mi= supx∈[xi,xi+1]f(x).
Exemple(s) 1.2 1. Siσ={a, b}on a S−(f, σ) =m(b−a) o`um= infx∈[a,b]f(x) etS+(f, σ) = M(b−a) o`u M = supx∈[a,b]f(x).
2. Si f est constante, f(x) =kpour tout x∈[a, b], on a S−(f, σ) =S+(f, σ) =k(b−a).
Commen¸cons par deux remarques utiles :
Lemme 1.3 Si σ0 est plus fine queσ alors S−(f, σ)≤S−(f, σ0)) et S+(f, σ0)≤S+(f, σ).
Preuve. Supposons dans un premier temps que l’on ajoute un point α ∈]xj−1, xj+1[ `a la sub- division σ pour obtenir σ0 : comme infxj−1≤x≤αf(x) ≥ infxj−1≤x≤xjf(x) et infxj≥x≥αf(x) ≥ infxj−1≤x≤xjf(x) on a S−(f, σ) ≤ S−(f, σ0). On en d´eduit aussi le r´esultat si σ0 est obtenue `a partir deσ en ajoutant un nombre fini de points. Preuve analogue pour les sommes sup´erieures.
On a bien ´evidemment S−(f, σ)≤S+(f, σ) pour toute subdivision σ de [a, b] mais on a en fait bien mieux :
Lemme 1.4 . Pour toutes subdivisionsσ1 et σ2 de[a, b]on a S−(f, σ1)≤S+(f, σ2).
Preuve. Siσ1 etσ2 sont deux subdivisions de [a, b] on a
S−(f, σ1)≤S−(f, σ1∪σ2)≤S+(f, σ1∪σ2)≤S+(f, σ2) parce queσ1∪σ2 est plus fine queσ1 etσ2.
Soit alors E ⊂ R l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour les sommes de Darboux inf´erieuresS−(f, σ) etF ⊂Rl’ensemble de toutes les valeurs possibles pour les sommes de Darboux sup´erieuresS+(f, σ). D’apr`es le lemme pr´ec´edent, E admet une borne sup´erieure et F admet une borne inf´erieure, ce qui justifie la :
D´efinition 1.5 On d´efinit
I−(f) := sup
σ
S−(f, σ) (1)
et
I+(f) := inf
σ S+(f, σ) (2)
o`u le supet leinf sont pris sur les subdivisions de[a, b]. Nous appelleronsI−(f) int´egrale inf´erieure de f et I+(f) int´egrale sup´erieure de f.
Proposition 1.6 Soit f une fonction born´ee sur [a, b]. On a 1. I−(f)≤I+(f),
2. 0≤I+(f)−I−(f)≤S+(f, σ)−S−(f, σ) pour toute subdivision σ de [a, b].
Preuve. L’in´egalit´e I−(f) ≤I+(f) est donn´ee par le lemme 1.4. Pour la seconde, remarquer que S−(f, σ)≤I−(f)≤I+(f)≤S+(f, σ) pour toute subdivision σ de [a, b].
D´efinition 1.7 Soit f : [a, b]→ R une fonction born´ee. On dit que f est Riemann-int´egrable si I−(f) =I+(f). Si c’est le cas, on note
Z b a
f(x)dx:=I−(f) =I+(f). (3)
On appelle ce nombre r´eel l’int´egrale de f entre aet b.
Dans la notationRb
af(x)dx la variablex est une variable “muette” : elle peut ˆetre remplac´ee par t,u... Cas particuliers : on d´efinit Ra
a f(x)dx= 0 etRa
b f(x)dx=−Rb
a f(x)dx sia < b.
Remarque(s) 1.8 (Int´egrale et aire)
Si on noteA(f) l’aire sous le graphe def, alors A(f) est un majorant de S−(f, σ) et un minorant de S+(f, σ) donc
I−(f)≤A(f)≤I+(f).
Si f est Riemann-int´egrable on a Rb
af(x)dx=I−(f) =I+(f) et donc A(f) =Rb
af(x)dx.
Exemple(s) 1.9 Soit f : [0,1]→ R la fonction d´efinie par f(x) = 1 si x∈ Q et f(x) = 0 sinon.
Alorsf est born´ee et comme dans tout intervalle il y a au moins un rationnel et un irrationnel, on voit que pour toute subdivision de[0,1]on a S+(f, σ) = 1 et S−(f, σ) = 0. On a doncI+(f) = 1 et I−(f) = 0 : f n’est donc pas Riemann-int´egrable sur [0,1].
Exemple(s) 1.10 Soitf : [a, b]→Rla fonction d´efinie parf(x) =kpour toutx∈[a, b]o`uk∈R. Alorsf est Riemann-int´egrable sur[a, b]etRb
af(x)dx=k(b−a): pour toute subdivision σ de[a, b]
on a S+(f, σ) =S−(f, σ) =k(b−a).
2 Classes de fonctions Riemann-int´ egrables
Nous montrons ici qu’une fonction continue est Riemann-int´egrable. Travailler avec des bornes sup´erieures et inf´erieures, cela peut ˆetre tr`es compliqu´e. Le th´eor`eme suivant donne un crit`ere plus pratique pour l’int´egrabilit´e :
Th´eor`eme 2.1 Soitf une fonction born´ee sur[a, b]. Alorsf est Riemann-int´egrable sur[a, b]si et seulement si, pour tout ε >0, il existe une subdivision σ de [a, b]telle que S+(f, σ)−S−(f, σ)≤ε.
Preuve. Soit ε > 0. Il r´esulte de la proposition 1.6 que 0 ≤ I+(f)−I−(f) ≤ ε si il existe une subdivisionσ telle queS+(f, σ)−S−(f, σ)≤ε. DoncI−(f) =I+(f) (un nombre r´eel positif ou nul major´e par n’importe quel nombre r´eel strictement positifε est nul) et f est Riemann-int´egrable sur [a, b]. R´eciproquement, si f est Riemann-int´egrable, il existe une subdivision σ1 telle que I−S−(f, σ1)≤ε/2 et il existe une subdivisionσ2telle queS+(f, σ2)−I ≤ε/2 (caract´erisation des bornes inf´erieures et sup´erieures). La subdivisionσ=σ1∪σ2 v´erifie doncS+(f, σ)−S−(f, σ)≤ε.
Ceci ach`eve la preuve.
Le th´eor`eme 2.1 a de nombreuses cons´equences pratiques. En fait, le seul th´eor`eme dont nous nous servirons est le suivant :
Th´eor`eme 2.2 Une fonction continue sur [a, b]est Riemann-int´egrable sur[a, b].
Preuve. Supposons f continue sur le compact [a, b] : elle est born´ee et uniform´ement continue sur [a, b]. Si σ={x0 =a < x1 <· · ·< xn−1< xn=b} est une subdivision de [a, b] on a
0≤S+(f, σ)−S−(f, σ) =
n−1
X
k=0
(xk+1−xk)(Mk−mk)
Siε > 0 il existe η >0 tel que|f(x0)−f(x)|< ε pour tout|x0−x|< η (par uniforme continuit´e, leη ne d´epend que du ε). Si on choisit une subdivision de pas strictement inf´erieur `a η on obtient donc
0≤S+(f, σ)−S−(f, σ)≤ε
n−1
X
k=0
(xk+1−xk) =ε(b−a).
La fonctionf est donc int´egrable d’apr`es le th´eor`eme 2.1.
Cons´equence : les fonctions usuelles (ln, exp, cos, sin et toutes les autres!) sont Riemann- int´egrable (chic).
On a aussi deux autres classes int´eressantes de fonctions Riemann-int´egrables. La premi`ere est celle des fonctions monotones:
Th´eor`eme 2.3 Une fonction monotone f sur [a, b] est Riemann-int´egrable sur [a, b].
Preuve. Supposons f croissante : alors f est born´ee car f(a) ≤ f(x) ≤f(b). Si σ ={x0 = a <
x1 <· · ·< xn−1 < xn =b} est une subdivision de [a, b] on amk=f(xk) etMk=f(xk+1) d’apr`es la croissance de f et donc
0≤S+(f, σ)−S−(f, σ) =
n−1
X
k=0
(xk+1−xk)(f(xk+1)−f(xk))
≤max
k (xk+1−xk)
n−1
X
k=0
(f(xk+1)−f(xk)) = max
k (xk+1−xk)(f(b)−f(a)) =δ(σ)(f(b)−f(a)) par ”t´elescopage”. Si ε > 0 il suffit donc de prendre une subdivision de pas inf´erieur ou ´egal `a
ε
f(b)−f(a) pour avoir l’encadrement 0≤S+(f, σ)−S−(f, σ) ≤ε. La fonction f est donc int´egrable d’apr`es le th´eor`eme 2.1. Preuve analogue si f est d´ecroissante.
Enfin, terminons par le cas classique des fonctions en escalier : D´efinition 2.4 (Fonctions en escalier)
On dit que la fonctionf est en escalier si il existe une subdivisionσ={x0 =a < x1 <· · ·< xn−1<
xn=b}telle que la restriction de f `a chaque intervalle ]xi, xi+1[soit une fonction constante, c’est
`
a dire f(x) =ci pour tout x∈]xi, xi+1[.
Th´eor`eme 2.5 Une fonction en escalier sur [a, b] est Riemann-int´egrable sur [a, b] et Z b
a
f(x)dx=
n−1
X
i=0
ci(xi+1−xi) (4)
Preuve. Pour une subdivision σ de [a, b] judicieusement choisie, on a S+(f, σ) = S−(f, σ) = Pn−1
i=0 ci(xi+1−xi).
3 Propri´ et´ es de l’int´ egrale de Riemann
Les propri´et´es dont on se sert toujours (pour les deux premi`eres, inutile de retenir la preuve, il s’agit de jouer avec les subdivisions comme nous l’avons fait jusqu’`a pr´esent, rien de neuf `a apprendre) : Proposition 3.1 (Chasles)
Soit f une fonction Riemann-int´egrable sur[a, b]et a < c < b. Alors Z b
a
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx.
Preuve. Soit ε >0 et une subdivision σ de [a, b] telle que S+(f, σ)−S−(f, σ)≤ε(cela existe car f est Riemann-int´egrable). On l’affine en rajoutant le pointc et cela donne une subdivision σ1 de [a, c] et une subdivisionσ2 de [c, b] telles queS+(f, σi)−S−(f, σi)≤ε,i= 1,2.
Proposition 3.2 (Lin´earit´e)
Soit f etg deux fonction Riemann-int´egrable sur [a, b]. Alors f +g etλf le sont aussi (λ∈R) et Z b
a
f(x) +g(x)dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx,
Z b a
λf(x)dx=λ Z b
a
f(x)dx.
Proposition 3.3 (In´egalit´es de la moyenne)
Soit f une fonction Riemann-int´egrable sur [a, b] telle que m ≤ f(x) ≤ M pour tout x ∈ [a, b].
Alors
m(b−a)≤ Z b
a
f(x)dx≤M(b−a).
Preuve. Consid´erer la subdivision σ={a, b}.
Proposition 3.4 (Positivit´e)
Soit f une fonction Riemann-int´egrable sur[a, b]telle que f(x)≥0 pour tout x∈[a, b]. Alors Z b
a
f(x)dx≥0.
Preuve. Sif est positive, toutes les sommes de Darboux sont positives (ou bien utiliser la propo- sition pr´ec´edente avecm= 0).
Corollaire 3.5 (Int´egration des in´egalit´es)
Soit f etg deux fonctions Riemann-int´egrables sur [a, b] telle que f(x)≥g(x) pour tout x∈[a, b].
Alors
Z b a
f(x)dx≥ Z b
a
g(x)dx.
Preuve. Appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent `af −g et utiliser la lin´earit´e.
Corollaire 3.6 (Int´egration et valeur absolue) Soit f une fonction continue sur[a, b]. Alors
| Z b
a
f(x)dx| ≤ Z b
a
|f(x)|dx.
Preuve. Si f est continue sur [a, b] alors |f| est aussi continue donc Riemann-int´egrable sur [a, b].
Comme−|f| ≤f ≤ |f|, on peut utiliser le corollaire pr´ec´edent pour conclure.
Moralit´e: pour encadrer une int´egrale on encadre ce qu’il y a `a l’int´erieur !!
4 Int´ egrales et primitives
L’objectif de ce paragraphe est de montrer que toute fonction continue admet des primitives et que l’int´egrale de Riemann d’une fonction continue peut se calculer `a l’aide d’une primitive.
D´efinition 4.1 Soit I un intervalle deR et f une fonction d´efinie sur I. On dit que la fonction F est une primitive def sur I si F est d´erivable surI etF0(x) =f(x) pour tout x∈I.
Il n’y a aucune raison qu’une fonction f donn´ee admette des primitives. C’est cependant le cas si f est continue:
Th´eor`eme 4.2 Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et a∈I. Alors la fonction F :I →R d´efinie par
F(x) = Z x
a
f(t)dt
est d´erivable sur I et F0(x) =f(x) pour tout x∈I : F est une primitive de f sur I (c’est mˆeme LA primitive de f sur I qui s’annule en a).
Preuve. Soit x0 ∈ I. On doit montrer que limh→0F(x0+h)−F(x0)
h =f(x0). On a tout d’abord, en utilisant Chasles,
F(x0+h)−F(x0)
h = 1
h
Z x0+h x0
f(t)dt.
On suppose tout d’abord que h >0. Soit ε >0 : comme f est continue en x0 il existe η > 0 tel que −ε < f(t)−f(x0) < ε pour tout t tel que |t−x0|< η. Si 0< h < η on en d´eduit donc (en utilisant ”l’int´egration des in´egalit´es”)
1
h(f(x0)−ε) Z x0+h
x0
1dt≤ F(x0+h)−F(x0)
h ≤ 1
h(f(x0) +ε) Z x0+h
x0
1dt.
On a de plusRx0+h
x0 1dt=x0+h−x0 =h et on obtient finalement f(x0)−ε≤ F(x0+h)−F(x0)
h ≤f(x0) +ε
pour tout h tel que 0 < h < η. On a donc limh→0+ F(x0+h)−Fh (x0) = f(x0). Calculs analogues si h <0.
On en d´eduit un moyen tr`es efficace pour calculer des int´egrales :
Corollaire 4.3 Soitf une fonction continue sur [a, b]. Alors f admet des primitives sur [a, b]et Z b
a
f(t)dt=G(b)−G(a) pour toute primitive G def sur [a, b].
Preuve. Soit F la fonction d´efinie sur [a, b] par F(x) =Rx
a f(t)dt. Si f est continue, le th´eor`eme pr´ec´edent montre queF est une primitive def. Par d´efinition, on aF(a) = 0 etF(b) =Rb
af(t)dt.
Si Gest une primitive quelconque de f alorsG0 =F0 doncG=F +k o`u k∈R : on aF(a) = 0 doncG(a) =k et commeF(b) =Rb
af(t)dt on en d´eduit G(b)−G(a) =Rb
af(t)dt.
5 Applications aux calculs d’int´ egrales
Voici enfin deux r´esultats que l’on utilise assez volontiers pour calculer des int´egrales. Ils se d´eduisent du Corollaire 4.3 :
Corollaire 5.1 (Int´egration par parties)
Soient u et v deux fonctions de classeC1 sur [a, b]. Alors Z b
a
u0(t)v(t)dt= [u(t)v(t)]ba− Z b
a
u(t)v0(t)dt.
Preuve. Remarquer que uv est une primitive de u0v+v0u et utiliser le Corollaire 4.3 (noter que u0v+v0u est continue caru etv sont de classeC1).
Corollaire 5.2 (Changement de variable)
Soit f :I →R une fonction continue et ϕ:J →I une fonction de classe C1. Alors Z ϕ(b)
ϕ(a)
f(u)du= Z b
a
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt pour tout a, b∈J.
Preuve. Remarquer que si F est une primitive de f alors F ◦ϕ est une primitive de (f ◦ϕ)ϕ0 et utiliser le Corollaire 4.3.
On dit que l’on a fait le changement de variable ”u = ϕ(t)” : pour s’en souvenir, noter que
”du=ϕ0(t)dt” et que si t=aalors u=ϕ(a) et si t=balors u=ϕ(b) (ne pas oublier de changer les bornes d’int´egration).
6 Sommes de Riemann
Dans ce paragraphe, on noteraI(f) =Rb
af(x)dx. Le seul r´esultat `a retenir est le th´eor`eme 6.2 : le reste est technique et peut ˆetre pass´e en premi`ere lecture.
Le r´esultat qui suit montre que, si f est Riemann-int´egrable, les sommes de Darboux de pas assez petit s’approchent aussi pr`es que l’on veut de l’int´egraleI(f) (ce qui est somme toute conforme
`
a l’intuition).
Proposition 6.1 Soit f une fonction Riemann-int´egrable sur [a, b]. Soit ε > 0. Alors il existe η >0 tel que
I(f)−ε≤S−(f, σ)≤I(f)≤S+(f, σ)≤I(f) +ε (5) pour toute subdivision de pas strictement inf´erieur `a δ.
Preuve. (A laisser de cˆot´e en premi`ere lecture.)
Partons d’une subdivisionσ et d´efinissons la subdivisionσ0en rajoutant un pointαdans l’intervalle ]aj−1, aj[. On a
S−(f, σ0)−S−(f, σ) = (α−aj−1) inf
aj−1≤x≤αf(x) + (aj −α) inf
α≤x≤ajf(x)−(aj−aj−1)mj donc
0≤S−(f, σ0)−S−(f, σ)≤(aj−aj−1)(M−m)≤δ(σ)(M−m)
o`u M d´esigne la borne sup´erieure de f sur [a, b] etm d´esigne la borne inf´erieure def sur [a, b].
Si on passe de σ1 `aσ2 en K ´etapes on en d´eduit
S−(f, σ2)≤S−(f, σ1) +Kδ(σ1)(M−m) De mˆeme,
S+(f, σ2)≥S+(f, σ1)−Kδ(σ1)(M−m) si bien que
S+(f, σ2)−S−(f, σ2)≥S+(f, σ1)−S−(f, σ1)−2Kδ(σ1)(M−m). (6) Soit maintenant ε >0 : par d´efinition de la borne sup´erieure et inf´erieure, il existeσ telle que I(f)−ε ≤ S−(f, σ) ≤ I(f) et il existe σ0 telle que I(f) ≤ S+(f, σ0) ≤ I(f) +ε. En prenant la r´eunion des deux, on obtient une subdivision σ00 telle que
I(f)−ε≤S−(f, σ00)≤I(f)≤S+(f, σ00)≤I(f) +ε. (7) Soit K le nombre de points deσ00. Siσ1 est une subdivision quelconque, soit σ2 =σ1∪σ00. Alors, d’apr`es (6),
S+(f, σ2)−S−(f, σ2) + 2Kδ(σ1)(M −m)≥S+(f, σ1)−S−(f, σ1)
Mais on a bien sˆurS+(f, σ2)−S−(f, σ2)≤S+(f, σ00)−S−(f, σ00) et doncS+(f, σ2)−S−(f, σ2)≤2ε d’apr`es (7). Finalement,
S+(f, σ1)−S−(f, σ1)≤2ε+ 2Kδ(σ1)(M−m)
et doncS+(f, σ1)−S−(f, σ1)≤3εpour toute subdivisionσ1 telle que 2Kδ(σ1)(M−m)≤ε.
Pratiquement, on obtient le r´esultat suivant qui nous permettra d’´etudier la convergence de certaines suites :
Th´eor`eme 6.2 (Th´eor`eme des sommes de Riemann) Soit f une fonction Riemann-int´egrable sur [a, b]. Alors,
1. on a
n→+∞lim b−a
n [f(a) +f(a+b−a
n ) +f(a+ 2b−a
n ) +· · ·+f(a+ (n−1)b−a n )] =
Z b a
f(x)dx, (8) 2. on a
n→+∞lim b−a
n [f(a+b−a
n ) +f(a+ 2b−a
n ) +· · ·+f(a+ (n−1)b−a
n ) +f(b)] = Z b
a
f(x)dx (9)
(on utilisera l’une de ces deux formules selon les exercices propos´es).
Preuve. Montrons la premi`ere formule (la preuve de la seconde est analogue). Notons Sn =
b−a
n [f(a) +f(a+b−an ) +f(a+ 2b−an ) +· · ·+f(a+ (n−1)b−an )]. Soitσn la subdivision de [a, b] de pas uniforme b−an ,
σn={a < a+b−a
n < a+ 2b−a
n <· · ·< a+ (n−1)b−a n < b}.
Alors,
S−(f, σn)≤Sn≤S+(f, σn) parce que infx∈[a,a+b−a
n ]f(x)≤f(a)≤supx∈[a,a+b−a
n ]f(x) etc... Siε >0 est donn´e, pour tout ntel que b−an < δ(o`uδ est le nombre r´eel associ´e `a εpar la proposition 6.1) on a donc
I(f)−ε≤Sn≤I(f) +ε
soit encore|Sn−I(f)|< ε. Ceci signifie que la suite (Sn) converge et que sa limite vaut pr´ecis´ement Rb
af(x)dx.
