Weens TD 2: Intégrale de Riemann et intégrale généralisé Exercice 1

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Université Pierre et Marie Curie LM260, Année 2009-2010 S. Mirrahimi, P. Gabriel, W. Weens TD 2: Intégrale de Riemann et intégrale généralisé

Exercice 1. Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Toute fonction int´egrable sur[a, b]est continue.

2. Sif est int´egrable sur [a, b], _dx^d R_x

a f(t)dt=f(x) pour tout x de [a, b].

3. Soitf une fonction sur [a, b] vérifiant la propriété : pour toutǫ >0, il existe g_ǫ intégrable sur [a, b] telle que ∀x∈[a, b], |f(x)−g_ǫ(x)| ≤ǫ; alors f est intégrable.

4. Sif est int´egrable sur [a, b], alors |f|est int´egrable sur [a, b].

5. Si|f|est int´egrable sur [a, b], alors f est int´egrable sur [a, b].

6. Si f et g sont des fonctions int´egrables sur [a, b], alors la fonction f g est int´egrable sur [a, b].

7. Sif etgsont des fonctions continues sur [a, b], alors la fonction f gest continue sur[a, b], et Rb

af(t)g(t)dt=Rb

af(t)dt·Rb

a g(t)dt.

Exercice 2. Soit ϕ une fonction born´ee sur[a, b]; comparer les assertions suivantes : 1. ϕa une primitive sur [a, b].

2. ϕest int´egrable sur [a, b].

3. ϕest continue sur [a, b].

4. ϕest d´erivable sur[a, b].

Exercice 3. Sans calculer les int´egrales, montrer que Z _π/2

0

sinⁿxdx= Z _π/2

0

cosⁿxdx.

Exercice 4. Calculer les limites suivantes : (1)lim

n→∞n

n−1

X

k=0

1

k²+n², (2) lim

n→∞

n

Y

k=1

1 + k²

n²

1 n

, (3) lim

n→∞

1 +√ 2 +√

3 +· · ·+√ n n√

n ,

(4)lim

n

X n

n²+p², (5)lim 1 n

n

Xln(3n+ 6p−4)(n+ 2p)²

3n³ .

(2)

Exercice 5. Intégrales de Wallis. On considère la suite I_n définie par I_n=R^π2

0 sinⁿxdx.

1. Montrer que (I_n)_n est positive d´ecroissante.

2. Montrer que In+2= ⁿ⁺¹_n+2In et expliciter In. En d´eduire R1

0(x²−1)ⁿdx.

3. Montrer que I_n∼I_n+1.

4. Calculer(n+ 1)I_nI_n+1. Montrer que I_n∼p _π

2n.

Exercice 6. Formule de Stirling. On consid`ere la suite (u_n)_n d´efinie, pour n∈N∗, par u_n= n!

√n e n

!n

.

1. On pose ν_n = ln(u_n), pour n∈N^∗. En étudiant ν_n+1−ν_n, démontrer que la suite (ν_n)_n converge. En déduire que la suite(u_n) converge vers une certaine limite l.

2. `A l’aide de la question 5.4, d´emontrer quel=√ 2π.

3. En d´eduire la formule de Stirling : n!∼ n e

!n

√2πn.

Exercice 7. Soit f : [a, b]→R continue, positive et M = supf(x). Montrer que

nlim→∞

Z b a

f(x)ⁿdx

1 n

=M.

Exercice 8. On consid`ere la suite de fonctions en escalier gn : [0,1] →R tel que gn(x) = 0 si x≥ _n¹ et g_n(x) =n six < _n¹.

1. Existe-t-il une fonction bornée définie sur[0,1] qui soit limite de cette suite ? 2. Soit la suite (u_n) définie par u_n = R₁

0 f(x)g_n(x)dx, o`u f est une fonction continue sur [0,1]. Calculer lim_n_→∞u_n.

Exercice 9. Soit f une application continue de [a, b] dans R. On suppose que pour toute application g∈E([a, b]) on aRb

af(x)g(x)dx= 0. Montrer que f = 0.

Exercice 10. Soit f une fonction réglée sur un intervalle [a, b]. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable.

(3)

Exercice 11. Calculer les primitives des fonctions suivantes:

(i) a(t) = (t+ 1)e^2t, (ii) b(t) =t²e^t³, (iii) c(t) =e^2tcos(3t), (iv) d(t) = _t(1+t¹ 4), (v) e(t) = _t2 ¹

(t²+1)², (vi)f(t) =_1+t^t³4, (vii) g(t) = _1+cos^sin³^(t)2

(t), (viii) h(t) = ^sin_cos⁴2^(t)

(t), (ix)i(t) = ^sh_ch(t)²^(t), (x)j(t) = √ ^t

1−t², (xi) k(t) =t√ⁿ

1 +t, (xii) l(t) =

√3

1+√⁴

√ t t . Exercice 12. Soitf ∈C⁰([0, π],R).

1. Montrer `a l’aide d’un changement de variables que l’on a Z π

0

xf(sin(x))dx= π 2

Z π 0

f(sin(x))dx.

2. En d´eduire la valeur de

I = Z π

0

xsin(x) 1 + cos²(x)dx.

Exercice 13. Soit∀x∈R₊, I(x) =R_x

0

arctan(t)

1+t² dt et J(x) =R_x

0

arctan(t) (1+t)² dt.

1. (i) D´eterminer la valeur de I(x) en fonction de x.

(ii) En d´eduire l’existence et la valeur de la limite de la fonction I en +∞. 2. (i) D´eterminer la valeur de J(x) en fonction de x.

(ii) En d´eduire l’existence et la valeur de la limite de la fonction J en +∞.

Exercice 14. Soit∀x∈R, f(x) =Rx² x

cos(t)+1 1+t² dt.

1. Montrer que f est d´efinie et de classeC¹ sur R.

2. Calculer la dérivée de f et en déduire que f est de classe C^∞ sur R. 3. Montrer que f est positive sur]− ∞,0] et [1,+∞[, et négative sur [0,1].

4. Pour quelles valeurs de x la fonction f s’annule-t-elle ?

Exercice 15. D´eterminer la nature des int´egrales suivantes:

(i) R1 0

ln(1+t)

t dt; (ii) R^π2

0

cos(t)−1

sin²(t) dt; (iii) R1 0 1−t²

1−√

tdt; (iv)R+∞

0 e⁻^t²dt; (v)R+∞ 0

sin(t) 1+cos(t)+e^tdt;

(vi) R₊_∞

0 t³−5t²+1

2t⁴+2t³+t²+1dt; (vii) R^π2

0 tan(t)

t dt; (viii)R₁

0 √ dt

t(1−t)²; (ix)R₊_∞

0

ln(t)²

√|t²−1|(√ t+2)dt;

1 dt +∞ α −^√¹

(4)

Exercice 16. Les int´egrales suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, calculer leur valeur.

(i) R_∞

0

arctan(t)

1+t² dt; (ii) R₊_∞

0 dt

(1+e^t)(1−e⁻^t); (iii) R^π₄

0 dt

tan²(t); (iv)R₁

0 √dt

t(1−t); (v) R₁

−1√ t 1−t²dt;

(vi)R₊_∞

1 ln(t)

t^α dt, o`u α∈R; (vii) R₊_∞

0 dt

(t+√

t²+1)^α, o`uα ∈R.

Exercice 17. Soitf ∈C⁰([a, b],R) avec (a, b)∈R². D´eterminer la nature de l’int´egrale R_b

a

f(t)

√(b−t)(t−a)dt.

On suppose que f(b)6= 0. D´eterminer la nature de l’int´egrale R_b

a

f(t)²ln(t−a) (b−t)² dt.

Exercice 18. Soitf ∈C⁰([0,1],R). On suppose que f(0) = 0 et quef est d´erivable en 0.

1. Montrer que l’int´egrale R1 0

f(t)

t³² dt est convergente.

2. On suppose que f^′(0)6= 0. Montrer que l’int´egrale R₁

0 f(t)

t² dt est divergente.

Exercice 19. SoitI =−R1 0

ln(t)

√t(1−t)³²dt.

1. Montrer que l’int´egrale I est convergente.

2. Calculer la d´eriv´ee de la fonction t7→q

t

1−t sur l’intervalle ]0,1[.

3. En d´eduire que

I = 2π.

Exercice 20. 1. Montrer que les deux int´egralesR₁

0 ln(t)

1+t²dt etR₊_∞

1

ln(t)

1+t²dt sont convergentes.

2. En d`eduire que l’int´egrale R₊_∞

0

ln(t)

1+t²dt est convergente, et que sa valeur est ´egale `a Z ₊_∞

0

ln(t)

1 +t²dt= 0.

3. Soita >0. A l’aide d’un changement de variables appropri´e, en d´eduire que Z ₊_∞

0

ln(t)

a²+t²dt= π 2aln(a).

(5)

Exercice 21. Sans les calculer, dire si les int´egrales suivantes sont convergentes ou divergentes : (1)

Z _∞

0

t³−5t²+ 1

2t⁵−2t³+t²+ 1 dt, (2) Z _∞

1

t² lnt−1 t+ 1 dt (3

Z _∞

0

dt

targ cosht, (4) Z 1

0

sin1 t dt, Exercice 22. 1. Montrer que l’int´egrale R1

0 sin(t)

t dt est convergente.

2. Montrer que l’int´egrale R₊_∞

1

cos(t)

t² dt est convergente.

3. Soit∀x∈[1,+∞[, I(x) =Rx 1

sin(t) t dt.

(i) Montrer que la fonctionI est d´efinie et de classeC¹ sur[1,+∞[, et qu’elle a une limite en+∞.

(ii) En d´eduire que l’int´egrale R+∞ 0

sin(t)

t dt est convergente.

Remarque. La valeur de l’int´egrale R+∞ 0

sin(t)

t dt est ^π₂. Exercice 23. SoitI =R₊_∞

0

arctan(πt)−arctan(t)

t dt.

1. Montrer que l’int´egrale I est convergente.

2. (i) Soit∀a∈R^∗₊,Ra 0

arctan(πt)−arctan(t)

t dt. Montrer que

∀a >0, I(a) = Z πa

a

arctan(t)−^π2

t dt+π

2 ln(π).

(ii) Montrer que la fontion t7→ ^arctan(t)⁻

π 2

t est int´egrable au voisinage de +∞. (iii) En d´eduire que

I = π 2 ln(π).

Exercice 24. Soit∀x∈R^∗₊,Γ(x) =R₊_∞

0 t^x⁻¹e⁻^tdt.

1. Montrer que la fonction Γ est d´efinie surR^∗₊ et que Γ(1) = 1.

2. Montrer que

∀x >0,Γ(x+ 1) =xΓ(x).

3. En d´eduire la valeur de Γ(n) pour tout entier n∈N^∗.

+∞ ²

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1. Montrer que la suite (I_n)_n_∈N est bien d´efinie.

2. Montrer que

∀n∈N, I_n+2 = n+ 1 2 I_n. 3. En d´eduire la valeur de In en fonction de n.

Remarque. On admettra que R+∞

0 e⁻^t²dt= ^√₂^π.

Exercice 26. 1. Montrer que∀x >−1 ln(1 +x)≤x.

2. Soitn∈N∗.Montrer que ∀x∈[0, n] (1−^x_n)ⁿ ≤e⁻^x ≤(1 +_n^x)⁻ⁿ. 3. En d´eduire que

Z ^√n 0

1−t²

n n

dt≤ Z ^√n

0

e⁻^t²dt ≤ Z ^√n

0

1

1 + ^t_n²ndt.

Rappel (int´egrales de Wallis) : I_n= Z ^π₂

0

(cos(θ))ⁿdθ∼ r π

2n. 4. Montrer que

Z _∞

0

1

(1 +u²)ⁿdu existe et vautI_2n₋₂. 5. Montrer que

Z _∞

0

e⁻^x²dx existe et vaut ^√₂^π. Exercice 27. Etude de :´

f :R→R x7→

Z x 1

e^t tdt.

Donner un ´equivalent de f en 0 et en +∞.

Exercice 28. Soitf une application continue deR⁺ dans R et F de R⁺^∗ dans R d´efinie par :

∀x∈R⁺^∗, F(x) = 1 x

Z _x

0

f(t)dt.

1. Montrer que si f admet une limite ℓ en+∞, alors F a aussi la limite ℓen +∞. 2. Donner un exemple o`u f n’a pas de limite en +∞ mais o`uF tend vers 0.

3. Montrer que si f → ∞ quand x→ ∞, alors F → ∞ quand x→ ∞.

(7)

Exercice 29. Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : Z _∞

0

f(u)du existe mais telle qu’on n’ait pas :

xlim→∞f(x) = 0.

Donner un exemple de fonction continue positive telle que : Z _∞

0

f(u)du existe mais telle que :

Z _∞

0

f²(u)du n’existe pas.

Exercice 30. Soit f une fonction positive d´ecroissante de R⁺ dans R, telle que R_∞

0 f existe.

Montrer que :

f(x) =o(1 x) quand x→ ∞.

Exercice 31. Soit f une application continue de R⁺ dans R telle que R_∞

0 f² existe. Montrer que quand x→ ∞:

Z x 0

f(t)dt=o(√ x).

Exercice 32. Soient f et g deux fonctions de R⁺ dans R telles que f ≥0, g ≥0, g =o(f) en +∞,et R_∞

0 f n’existe pas. Montrer alors : Z _x

0

g(u)du=o Z _x

0

f(u)du

quand x→ ∞.

Exercice 33. Soitf une application C² de R dans R telle que f +f^′′≥0.Montrer que :

∀x∈R, f(x) +f(x+π)≥0.

Exercice 34. Etudier la fonction :´

h:x→ Z x²

x

dt logt.

Domaine de définition, continuité et dérivabilité, variations, limites aux bornes de ce domaine, et lim

x→∞

h(x) x ,lim

x→0 h(x)

x ,.

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Exercice 35. Soitf : [1,∞[→ R⁺ continue telle que Z _∞

1

f(t)dt converge. Montrer que

xlim→∞

1 x

Z _x

1

tf(t)dt= 0.

Exercice 36. Soitϕ la fonction d´efinie sur [0,1[ par ϕ(x) =

Z x² x

dt lnt.

Montrer que ϕ(x) a une limite quand x tend vers 1 et la calculer. (Indication : comparer `a Z _x²

x

1/(tlnt) dt).

Exercice 37. Soitf : [0,1]→R une application continue strictement croissante telle que : f(0) = 0, f(1) = 1.

Calculer :

nlim→∞

Z ₁

0

fⁿ(t)dt.

Exercice 38. Soitf une fonction C¹ sur[a, b]`a valeurs dansR. On supposef(a) = 0.Montrer que :

Z b a

f²(u)du≤ (b−a)² 2

Z b a

f^′²(u)du.

Exercice 39. Soitf continue sur[0,1]`a valeurs dans[a, b]. On supposea <0< betR1

0 f(t)dt= 0.Montrer que :

Z ₁

0

f²(t)dt≤ −ab.

Exercice 40. Soientu et v deux fonctions d´erivables surR et f une fonction continue sur R. 1. On pose F(x) =

Z v(x) u(x)

f(t)dt. Montrer queF est dérivable surR et calculer sa dérivée.

2. Calculer la d´eriv´ee de G(x) = Z _2x

x

dt 1 +t²+t⁴.