1 D´ efinition de la notion d’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XV

Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Table des mati` eres

1 Définition de la notion d’intégrale généralisée 2

2 Th´eor`eme de dichotomie dans le cas positif 4

3 Interprétation géométrique de l’intégrale généralisée 5

4 Crit`ere de Riemann 6

5 Propriétés de l’intégrale généralisée 7

6 Deux études d’intégrales généralisées 7

6.1 Etude d’une intégrale généralisée `´ a l’aide d’une intégration par parties . . . 7 6.2 Etude d’une intégrale généralisée `´ a l’aide d’un changement de variable . . . 8

7 Le th´eor`eme de comparaison dans le cas positif 8

8 Le faux problème : cas où il existe un prolongement par continuité 9

(2)

1 D´ efinition de la notion d’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

On définit ici la notion d’intégrale généralisée, qui s’appuie à la fois sur la notion d’intégrale et sur la notion de limite (de fonctions).

Tout au long du chapitre, on portera un soin particulier aux types des intervalles que l’on considère. Jusqu’à présent, nous avons vu une définition de l’intégrale, pour des fonctions continues par morceaux sur des intervalles fermés bornés (i.e.^≪du type^≫ [a, b]).

Nous allons généraliser, lorsque cela sera possible, cette notion d’intégrale au cas des fonctions continues par morceaux sur des intervalles^≪d’un des autres types ^≫:

• semi-ouvert (i.e.^≪du type^≫ [a, b[ ou ]a, b]) ;

• ouvert (i.e.^≪du type^≫ ]a, b[).

Notation :On noteRla droite numérique achevée, définie par : R=R ∪ {−∞,+∞}.

On a une relation d’ordre naturelle surR, qui ´etend la relation d’ordre usuelle surR.

Définition (intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert)

1. Soient a∈Retb∈Rtels que a < b. Soitf: [a, b[→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b[.

(a) Pour toutX ∈[a, b[, l’int´egrale

I(X) = Z X

a

f(t)dt

est bien définie, car la fonction f est continue par morceaux sur l’intervalle fermé borné [a, X].

(b) On dit que l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest convergente si I(X) =

Z X a

f(t)dttend vers une limite finie quandX tend versb et on dit qu’elle est divergente sinon.

(c) Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dt est convergente, on note Z b

a

f(t)dtle nombre r´eel d´efini par : Z b

a

f(t)dt= lim

X→b

Z X a

f(t)dt.

2. Soient a∈Retb∈Rtels que a < b. Soitf: ]a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, b].

(a) Pour toutX ∈]a, b], l’int´egrale

I(X) = Z b

X

f(t)dt

est bien définie, car la fonction f est continue par morceaux sur l’intervalle fermé borné [X, b].

(b) On dit que l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest convergente si I(X) =

Z b X

f(t)dt tend vers une limite finie quandX tend versa et on dit qu’elle est divergente sinon.

(c) Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dt est convergente, on note Z b

a

f(t)dtle nombre r´eel d´efini par : Z b

a

f(t)dt= lim

X→a

Z b X

f(t)dt.

⋄ Exemple 1 :Etudier l’intégrale généralisée´ Z +∞

1

e^−tdt.

(3)

1

√1 t dt.

⋄ Exemple 3 :Etudier l’intégrale généralisée´ Z 1

0

√1 t dt.

Théorème 1 (relation de Chasles pour les intégrales généralisées)

1. Soienta, a^′∈R,b∈Rtels quea < a^′< b. Soitf: [a, b[→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b[.

(a) L’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtconverge si et seulement si l’intégrale généralisée Z b

a^′

f(t)dtconverge.

(b) Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dt converge, alors on a : Z b

a

f(t)dt

| {z }

intégrale généralisée

= Z a^′

a

f(t)dt

| {z }

int´egrale classique

+ Z b

a^′

f(t)dt

| {z }

.

2. Soienta∈R,b, b^′∈Rtels quea < b^′ < b. Soitf: ]a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, b].

(a) L’intégrale généralisée Z b

a

f(t) dt converge si et seulement si l’intégrale généralisée Z b^′

a

f(t) dt converge.

(b) Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dt converge, alors on a : Z b

a

f(t)dt

| {z }

= Z b^′

a

f(t)dt

| {z }

+ Z b

b^′

f(t)dt

| {z }

int´egrale classique

.

⋄ Preuve du th´eor`eme 1

⋄ Exemple 1 (suite) : De l’étude faite dans l’exemple 1, on déduit que l’intégrale généralisée Z +∞

0

e⁻^t dt converge et que :

Z +∞ 0

e^−tdt= Z 1

0

e^−tdt

| {z }

[−e^−t]¹0= 1−¹

e

+ Z +∞

1

e^−tdt

| {z }

=

Définition (intégrale généralisée d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert) Soienta, c∈Rtels que a < c.Soitf: ]a, c[→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, c[.

Soitb∈Rtel que a < b < c.

1. On dit que l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente si : les intégrales généralisées

Z b a

f(t)dt

| {z }

probl`eme ena

et Z c

b

f(t)dt

| {z }

probl`eme enc

sont convergentes

et on dit qu’elle est divergente dans le cas contraire.

2. Si l’intégrale généralisée Z c

a

f(t)dtest convergente, on note Z c

a

f(t)dtle nombre r´eel d´efini par : Z c

a

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt.

(4)

Remarque 1 :A l’aide du théorème 1 (relation de Chasles pour les intégrales généralisées), on peut démontrer` que les points 1. et 2. de la précédente définition ne dépendent pas du pointbentreaetc choisi.

⋄ Exemple 4 :Soitf la fonction d´efinie par :

f:R → R

t 7→





 1

2 si 0≤t≤2 0 sinon.

1. Montrer que l’intégrale généralisée Z +∞

−∞

f(t)dtest convergente et calculer sa valeur.

2. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Commenter.

2 Th´ eor` eme de dichotomie dans le cas positif

Théorème 2 (résultat de dichotomie dans le cas positif )

1. Soient a∈Ret b∈Rtels que a < b. Soitf: [a, b[→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b[. On suppose que l’hypothèse suivante est vérifiée.

(H1) ∀t∈[a, b[, f(t)≥0.

SoitI la fonction d´efinie par :

I: [a, b[ → R X 7→ I(X) =

Z X a

f(t)dt.

(a) On suppose que la fonctionI est majorée sur [a, b[. Alors I(X) tend vers une limite finie quandX tend versb; l’intégrale généralisée

Z b a

f(t)dtest donc convergente. De plus on a : Z b

a

f(t)dt≥0.

(b) On suppose que la fonction I n’est pas majorée sur [a, b[. AlorsI(X) tend vers +∞quand X tend versb; l’intégrale généralisée

Z b a

f(t)dtest donc divergente.

2. Soient a∈Retb∈Rtels que a < b. Soitf: ]a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur ]a, b]. On suppose que l’hypothèse suivante est vérifiée.

(H2) ∀t∈]a, b], f(t)≥0.

SoitI la fonction d´efinie par :

I: ]a, b] → R X 7→ I(X) =

Z b X

f(t)dt.

(a) On suppose que la fonctionI est majorée sur ]a, b]. Alors I(X) tend vers une limite finie quandX tend versa; l’intégrale généralisée

Z b a

f(t)dt est donc convergente. De plus on a : Z b

a

f(t)dt≥0.

(b) On suppose que la fonctionI n’est pas majorée sur ]a, b], alorsI(X) tend vers +∞ quand X tend versa; l’intégrale généralisée

Z b a

f(t)dt est donc divergente.

(5)

Remarque 2

1. Ce théorème est admis. On souligne simplement que, dans le premier point, l’hypothèse (H1) implique la croissance de la fonctionI. C’est un point important de la démonstration. Le théorème 2 est à rapprocher du théorème d’analyse suivant. Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite croissante non majorée diverge vers +∞.

2. L’hypothèse (H1) peut être affaiblie. On peut la remplacer par l’hypothèse plus générale :

(H₁^′) f(t)≥0 pour tout t∈[a, b[, sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [a, b[.

sans que la conclusion du théorème ne soit modifiée. De même, on peut remplacer la condition (H2) par : (H₂^′) f(t)≥0 pour tout t∈]a, b], sauf éventuellement pour un nombre fini de points de ]a, b].

3 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal (O;−→ i ,−→

j). L’unité d’aire est l’aire du carré de côté OI, où I est l’unique point du plan tel que−→OI =−→i.

On a vu, dans le cours de calcul intégral, une interprétation géométrique du nombre Z b

a

f(t)dt, dans le cas o`u f est une fonction continue et positive sur [a, b] (a, b∈Rtels quea < b). On le rappelle : l’int´egrale

Z b a

f(t)dt est l’aire du domaine du plan délimité par la courbe représentative def et l’axe des abscisses et les deux droites d’équationsx=aetx=b.

Cette interprétation géométrique de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a, b] (a, b∈R tels que a < b). s’étend au cas de :

• l’intégrale généralisée d’une fonction continue et positive sur [a, b[ (a∈R,b∈Rtels quea < b) ;

• l’intégrale généralisée d’une fonction continue et positive sur ]a, b] (a∈R,b∈Rtels quea < b) ;

• l’intégrale généralisée d’une fonction continue et positive sur ]a, b[ (a∈R,b∈Rtels quea < b).

Pour alléger l’étude, on ne considère ici que le cas d’une fonction continue et positive sur un intervalle [a,+∞[ (a∈R). Les autres cas se traitent de fa¸con analogue.

Soit f: [a,+∞[→ R une fonction continue et positive sur [a,+∞[ (a ∈ R). On note D le domaine du plan délimité par la courbe représentative def, l’axe des abscisses, la droite d’équationx=a.

Ce domaineDétant^≪ouvert à droite^≫, son aire peut être finie ou infinie.

D’après le théorème 2, on sait que la limite :

X→lim+∞

Z X a

f(t)dt

existe et qu’elle est soit égale à un nombre réel, soit égale à +∞. Dans les deux cas, cette limite co¨ıncide avec l’aire du domaineD. Ainsi, si lim

X→+∞

Z X a

f(t)dt est finie (i.e. si l’int´egrale Z +∞

a

f(t)dtest convergente), on a l’égalité de nombres réels :

Z +∞ a

f(t)dt= lim

X→+∞

Z X a

f(t)dt= Aire deD.

⋄ Exemple 5 :Soitf la fonction d´efinie par :

f: ]0,+∞[ → R

t 7→ 1

t². Calculer l’aire du domaine du plan gris´e ci-dessous.

Cf

D _b

1

(6)

4 Crit` ere de Riemann

Rappel :Soitα∈R\ {1}.

1. Pour toutt∈]0,+∞[, le nombre 1

t^α est d´efini par : 1

t^α =t⁻^α=e⁻^α^ln(t). 2. La fonction

fα: ]0,+∞[ → R t 7→ t^−α= 1

t^α est continue et positive sur ]0,+∞[.

3. La fonctionfα admet pour primitive la fonction : Fα: ]0,+∞[ → R

t 7→ 1

1−αt¹^−α= 1 1−α

1 t^α⁻¹

Théorème 3 (critère de Riemann) :Soitα∈R\ {1}. 1. Soitα∈]− ∞,1[.

(a) L’intégrale généralisée Z 1

0

1

t^α dt est convergente.

(b) L’intégrale généralisée Z +∞

1

t^α dtest divergente.

2. Soitα∈]1,+∞[.

(a) L’intégrale généralisée Z 1

0

1

t^α dt est divergente.

(b) L’intégrale généralisée Z +∞

1

t^α dtest convergente.

3. Les intégrales généralisées Z 1

0

1 t dtet

Z +∞ 1

1

t dt sont divergentes.

⋄ Exemple 6 :Donner la nature des intégrales généralisées suivantes, en appliquant le critère de Riemann.

1.

Z 1 0

1 t³ dt

2.

Z +∞ 1

1 t³ dt

3.

Z +∞ 1

√1 t dt

4.

Z +∞ 2

1 t⁵ dt

(7)

5 Propri´ et´ es de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee

Théorème 4 (propriétés de l’intégrale généralisée)

Soienta∈Retb∈Rtels quea < b. Soientf: [a, b[→Retg: [a, b[→Rdeux fonctions continues par morceaux sur l’intervalle [a, b[.

1. Linéarité de l’intégrale généralisée Soient λ, µ∈R. Si les intégrales généralisées

Z b a

f(t)dt et Z b

a

g(t)dt sont convergentes, alors l’intégrale généralisée

Z b a

λf(t) +µg(t)dt est convergente et on a l’´egalit´e :

Z b a

λf(t) +µg(t)dt=λ Z b

a

f(t)dt

! +µ

Z b

a

g(t)dt

! .

2. Croissance de l’int´egrale

On suppose que l’hypoth`ese (H) suivante est satisfaite.

(H) ∀t∈[a, b[, f(t)≤g(t).

Si les intégrales généralisées Z b

a

f(t)dtet Z b

a

g(t)dtsont convergentes, alors on a l’in´egalit´e suivante : Z b

a

f(t)dt ≤ Z b

a

g(t)dt.

Remarque 3

1. Le th´eor`eme 4 reste vrai

• si l’on remplace partout [a, b[ par ]a, b] (a∈R,b∈Rtels quea < b) ;

• si l’on remplace partout [a, b[ par ]a, b[ (a∈R,b∈Rtels quea < b).

2. On peut relaxer l’hypoth`ese (H) et la remplacer par l’hypoth`ese :

(H^′) f(t)≤g(t), pour toutt∈[a, b[, sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [a, b[

sans changer la conclusion du th´eor`eme.

0

2

1 +t²+ 3e^−tdt.

6 Deux ´ etudes d’int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

6.1 Etude d’une int´ ´ egrale g´ en´ eralis´ ee ` a l’aide d’une int´ egration par parties

♥ Exemple 8 :Soientλ∈]0,+∞[. Soitf la fonction d´efinie par :

f:R → R

t 7→

λ e^−λtsit≥0 0 sinon.

1. Montrer que l’intégrale généralisée Z 0

−∞

|t|f(t)dtconverge et calculer sa valeur.

0 |t|f(t)dtconverge et calculer sa valeur.

3. En déduire que l’intégrale généralisée Z +∞

|t|f(t)dtconverge et calculer sa valeur.

(8)

6.2 Etude d’une int´ ´ egrale g´ en´ eralis´ ee ` a l’aide d’un changement de variable

⋄ Exemple 9

1. Montrer que l’intégrale généralisée Z 0

−∞

1

2 +t² dtconverge et calculer sa valeur.

0

1

2 +t² dt converge et calculer sa valeur.

3. En déduire que l’intégrale généralisée Z +∞

−∞

1

2 +t² dtconverge et calculer sa valeur.

7 Le th´ eor` eme de comparaison dans le cas positif

Théorème 5 (théorème de comparaison dans le cas positif )

Soienta∈Retb∈Rtels quea < b. Soientf: [a, b[→Retg: [a, b[→Rdeux fonctions continues par morceaux sur l’intervalle [a, b[.

On suppose que l’hypoth`ese (H) suivante est satisfaite.

(H) ∀t∈[a, b[, 0≤f(t)≤g(t).

1. Si l’intégrale généralisée Z b

a

g(t)dtest convergente, alors l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest aussi convergente et on a :

Z b a

f(t)dt ≤ Z b

a

g(t)dt.

2. Si l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest divergente, alors l’intégrale généralisée Z b

a

g(t)dt est aussi divergente.

Remarque 4

1. Le th´eor`eme 5 reste vrai

• si l’on remplace partout [a, b[ par ]a, b] (a∈R,b∈Rtels quea < b) ;

• si l’on remplace partout [a, b[ par ]a, b[ (a∈R,b∈Rtels quea < b).

2. On peut relaxer l’hypoth`ese (H) et la remplacer par l’hypoth`ese :

(H^′) 0≤f(t)≤g(t), pour toutt∈[a, b[, sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points de [a, b[

sans changer la conclusion du th´eor`eme.

3. Ce théorème est un outil très utile pour étudier une intégrale généralisée d’une fonction positive,lorsque l’on ne peut pas calculer de primitive de la fonction f. Il s’agit essentiellement du résultat de dichotomie dans le cas positif (cf. théorème 2) revisité. La formulation du théorème 5 le rend plus commode à appliquer.

♥ Exemple 10

1. D´emontrer que :

∀t∈[1,+∞[, 0≤e⁻^t

2

2 ≤e⁻^t². 2. En déduire que l’intégrale généralisée

Z +∞ 0

e⁻^t

2

2 dtest convergente. On admet que : Z +∞

0

e⁻^t

2 2 dt=

√2π 2 . 3. Montrer que l’intégrale généralisée

Z 0

−∞

e⁻^t

2

2 dtest convergente et que : Z 0

−∞

e⁻^t

2 2 dt=

√2π 2

`

a l’aide du changement de variableu=−t.

4. Que peut-on alors dire de l’intégrale généralisée Z +∞

−∞

e⁻^t

2 2 dt?

(9)

8 Le faux probl` eme : cas o` u il existe un prolongement par continuit´ e

Propri´et´e : Soienta, b∈Rtels quea < b.

1. Soitf: [a, b[→Rune fonction continue sur [a, b[.

On suppose que f admet un prolongement par continuit´e `a tout l’intervalle [a, b], i.e. quef(t) tend vers une limite finie quand ttend versb.

Alors l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest convergente.

2. Soitf: ]a, b]→Rune fonction continue sur ]a, b].

On suppose que f admet un prolongement par continuit´e `a tout l’intervalle [a, b], i.e. quef(t) tend vers une limite finie quand ttend versa.

Alors l’intégrale généralisée Z b

a

f(t)dtest convergente.

⋄ Preuve de la propri´et´e

⋄ Exemple 11 : Montrer que l’intégrale généralisée Z 1

0

sin(t)

t dtest convergente.