1.1 Int´ egrale convergente

Int ´ egration sur un intervalle quelconque

par Emmanuel AMIOT 30 janvier 2020

NB : dans tout ce chapitre, on se limite `a des fonctions continues par morceaux. C’est une limita- tion inh´erente `a notre programme et qui sera lev´ee dans la suite de vos ´etudes de math´ematiques.

Les hypoth`eses portant sur la r´egularit´e de la fonction int ´gr´ee sont donc moins importantes, voire superf´etatoires.

1 Int ´ egration sur [a, + ∞ [

On se place sur un intervalleI= [a,+∞[. avecafini. Une fonction continue, ou mˆeme continue par morceaux, a bien une int´egrale sur[a, x] :F(x) =

Zx a

fest bien d´efinie. Il est naturel de se demander siF(x)admet une limite quandx→+∞.

Exemple:

Consid´erons la fonction sinus cardinal (qui est mieux que C^∞ puisque DSE) sur I = [0,+∞[. On peut ´etablir que

1. La s´erie (P Z^(n+1)π

nπ

sinc) est altern´ee : par changement de variable on a

Z(n+1)π nπ

sinc = (−1)ⁿ

Zπ 0

sint t+nπdt.

2. Elle v´erifie le crit`ere sp´ecial : en effet comme sin est positive sur[0, π]on a

∀t∈[0, π]06 sint

t+ (n+1)π 6 sint

t+nπ et de plus 06 Zπ

0

sint t+nπ 6 1

n→0.

Donc la s´erie altern´ee converge, i.e.F(nπ)admet une limite quandn(entier) tend vers+∞.

3. Six∈Retnπ6x <(n+1)πalors|F(x) −F(nπ)|6 Zx

nπ

1 nπ 6 1

n.

On en d´eduit queF(x)admet bien une limite quandx(r´eel) tend vers+∞(on d´emontrera plus tard que cette limite vautπ/2).

Exemple:

•x7→e^−αxa une int´egrale convergente sur[0,+∞[pour toutα > 0(carRx

0e^−αtdt→1/α).

• la fonction ϕ : t 7→ ^t−btc_t2 est continue par morceaux seulement (discontinue en chaque point entier) mais son int´egrale sur[1,+∞[converge. En fait on peut calculer

Zn 1

ϕ(t)dt=lnn−

n−1X

k=1

Zk+1 k

k

t²dt=lnn−

n−1X

k=1

k 1

k − 1 k+1

=lnn−

n−1X

k=1

1− k

k+1

=lnn−

n−1X

k=1

1 k+1 et on retrouve la constante d’Euler en passant `a la limite ! d’o `u R_∞

1 ϕ = 1−γ (pour Rx

1 on dit que c’estRbxc

1 + uno(1)comme pour le sinc).

•attentionRn

0cos(πt)dt=0converge quandn→+∞(nentier) maisRx

0 n’a pas de limite en+∞(x r´eel) !

1.1 Int´ egrale convergente

oooo oooo oooo o

DEFINITION^´ 1.Une fonction f, continue par morceaux, de [a,+∞[ dans R ouC, a une int´egrale convergente si la fonctionF:x7→

Zx a

f a une limite en+∞. Dans ce cas on note Z+∞

a

f= lim

x→+∞F(x) = lim

x→+∞

Zx a

f.

Par passage `a la limite des propri´et´es connues de l’int´egrale sur le segment[a, x]il vient oooo

oooo oooo oooo oooo oooo ooo

PROPOSITION. — Sifest positive et a une int´egrale convergente alors Z_∞

a

f>0.

— Sif6get si Z_∞

a

fet Z_∞

a

gconvergent, alors Z_∞

a

f6 Z_∞

a

g.

— Si Z_∞

a

fet Z_∞

a

gconvergent alors Z_∞

a

λf+µgaussi et Z_∞

a

(λf+µg) =λ Z_∞

a

f+µ Z_∞

a

g.

— Sib>aalors la convergence de l’int´egrale Z+∞

a

f ´equivaut `a celle de Z+∞

b

f, et Z+∞

a

f= Z+∞

b

f+ Zb

a

f

1.2 Int´ egrabilit´ e sur I = [a, + ∞ [

oooo oooo

DEFINITION^´ 2.Une fonctionf, continue par morceaux de[a,+∞[dansRouCest diteint´egrable si l’int´egrale

Z+∞ a

|f|est convergente. On dit aussi bien (comme pour les s´eries) que l’int´egrale defestabsolument convergente.

Notons que ces deux d´efinitions sont bien diff´erentes ; certes, elles co¨ıncident pour des fonctions

`a valeurs positives, mais la fonction sinc ´etudi´ee ci-dessus n’est pas int´egrable bien qu’admettant une int´egrale ! (en effet

Znπ 0

|sinc|=

n−1X

k=0

Zπ 0

sint

t+kπdtet cette s´erie diverge car son TG est minor´e par Zπ

0

sint

kπ dt = 2

kπ, terme g´en´eral d’une s´erie harmonique). On parle dans ce cas d’int´egrale semi- convergente (cf. la s´erie harmonique altern´ee). Comme les gros th´eor`emes de la derni`ere partie ne fonctionnent que pour des fonctions int´egrables (et pas pour des int´egrales semi-convergentes) on va se concentrer sur cette condition plus forte et laisser de cˆot´e, sauf exception, les int´egrales semi-convergentes.

L’int´erˆet est que (comme pour la convergence absolue des s´eries) il y a un lien, et que l’une est plus maniable que l’autre. En effet, on a pour les fonctions positives une CNS analogue `a celle sur les s´eries :

oooo ooo

LEMME1.L’int´egrale d’une fonctionfpositiveest convergente ssi les int´egrales sur des segments sont born´ees :

f>0 et ∃M ∀x>a F(x) = Zx

a

f6M

En effetFest alors croissante et major´ee, et r´eciproquement on peut prendreM= Z_∞

a

f.

Exemple fondamental: Les fonctionsx7→1/x^α sont int´egrables sur [1,+∞[ ssiα > 1, par calcul direct de

Zx a

dt t^α = 1

α−1

1− 1 x^α−1

6 1

α−1. On en d´eduit

TH ´EOR `EME1.Sifest int´egrable sur[a,+∞[alors l’int´egrale defest convergente (aussi).

2

C’est donc, comme pour les s´eries simples ou doubles, une CS pour que l’int´egrale existe mais pas une CN.

D ´emonstration. Commenc¸ons par supposerf `a valeurs r´eelles.

On utilise la d´ecomposition f = f+−f− o `u f+, f− sont des fonctions positives : il suffit de poser f+ = Max(f, 0) et f− = Max(−f, 0). On a de plus |f| = f++f−. Il en r´esulte que f+ et f− ont une int´egrale convergente, puisque (par exemple)

Zx a

f₊6 Zx

a

|f|6M.

Par lin´earit´e,faussi.

On ´etend ce r´esultat aux fonctions `a valeurs dansC, par combinaison des parties r´eelles et imagi- naires : en effet si|f|est int´egrable alors

|Ref|,|Imf|6|f|⇒ ∀x>a Zx

a

|Ref|,|Imf|6 Zx

a

|f|6M

et donc l’int´egrabilit´e de f prouve celle des ses parties r´elles et imaginaires, qui ram`ene au cas

pr´ec´edent. On conclut par lin´earit´e.

oooo oooo oo

REMARQUE 1.On peut comparer les deux int´egrales, celle de fet celle de sa valeur absolue : par passage `a la limite de l’in´egalit´e bien connue sur les segments, il vient (sifint´egrable surI)

Z

I

f 6

Z

I

|f|

1.3 Crit` eres

PROPOSITION (CRIT `oo ERE DE DOMINATION).fest int´egrable surIssi il existe une fonctiongpositive, notoirement int´egrable telle que|f|6g.

En pratique, comme on n’a pas de probl`eme pour int´egrer une fonction continue par morceaux sur un segment, et comme

F(x) = Zx

a

f= Zb

a

f+ Zx

b

=C^te+G(x),

il suffit d’avoir une telle domination au voisinage de+∞. En cons´equence, on a plus g´en´eralement oooo

oooo oo

PROPOSITION.Soitgune fonction positive int´egrable surI= [a,+∞[. Alors les conditions suivantes suffisent `a prouver l’int´egrabilit´e def(continue par morceaux surI) :

— |f|6gsurI;

— f(x) =O(g(x))quandx→+∞;

— f(x)∼g(x)quandx→+∞.

En particulier on a, comme pour les s´eries num´eriques, des comparaisons de r´ef´erence : oooo

o

PROPOSITION (CRIT `ERE DE RIEMANN).

Sif, continue par morceaux surI= [a,+∞[ (a > 0), v´erifief(x) =O(1/x^α)au voisinage de+∞ avecα > 1, alorsfest int´egrable.

On utilise parfois l’autre sens : si par exemple f(x) ∼ 1/x en +∞ ou plus g´en´eralement f(x) ∼ 1/x^β, β61en+∞, alors on a la non-int´egrabilit´e.

Bien entendu la r´eciproque est fausse, il n’est d’ailleurs mˆeme pas n´ecessaire quef tende vers 0 en∞pour ˆetre int´egrable.

ooo

EXERCICE1.Fabriquer une fonctionfcontinue, nulle en dehors des intervalles[n−1/n³, n−1/n³] pourn>2et telle quef(n) =navecfint´egrable sur[1,+∞[.

Exemple:Les fonctionsx7→ 1

x²+1, e^iωx

1+x²,ln(x+1)

x²+1 sont int´egrables surR+. Exemple:

1. L’int´egrale Z

[0,+∞[

dt

1+t² existe et vautπ/2=lim

+∞arctan.

2. L’int´egrale Z

[2,+∞[

dt

tlnt diverge.

1.4 Int´ egrer sur un intervalle quelconque

1.4.1 Intervalle semi-ouvert

oooo oooo o

DEFINITION^´ 3.SoitI= [a, b[o `ubest fini ou pas. On dit que Zb

a

fconverge si la fonctionF:x7→ Zx

a

f, d´efinie surI, admet une limite enb⁻.fest int´egrable surIssi

Zb a

|f|converge.

On a les mˆemes propri´et´es, notamment l’int´egrabilit´e entraˆıne la convergence de l’int´egrale. On a pourb <+∞un crit`ere de Riemann fini,qui est l’exact inverse de celui en+∞:

ooo

PROPOSITION.La fonctionx7→ 1

(b−x)^α est int´egrable surI= [a, b[ssiα < 1 C’est le mˆeme r´esultat pour la fonctionx7→ 1

|b−x|^α par d´efinition de l’int´egrabilit´e.

Retenir que 1

√x est int´egrable en0⁺mais pas 1

x^3/2, alors que c’est le contraire en+∞.1/xquant `a elle n’est int´egrable ni en 0 ni en+∞.

oooo oooo oooo oooo o

REMARQUE2.

1. Sif est continue (par morceaux) surI= [a, b]un segment, on a l’int´egrale habituelle ! En fait, pour une fonction int´egrable ( `a valeurs positives), l’existence d’une int´egrale sur[a, b]donne l’existence des int´egrales sur]a, b],[a, b[,]a, b[.

2. Il ne faut pas croire qu’une fonction int´egrable sur[0,+∞[par exemple soit n´ecessairement nulle `a l’infini, ou mˆeme born´ee : un exemple simple de fonction non born´ee d’int´egrale nulle estx7→x²1_N(x).

1.4.2 Chasles

Observons que si f est int´egrable sur un intervalle I = [a, b[ alors f l’est encore sur tout sous- intervalle (imm´ediat en revenant `a la d´efinition, le seul cas `a consid´erer ´e´tant[c, b[). Dans ce cas on a de plus (par passage `a la limite de la relation usuelle)

Zb a

f= Zc

a

f+ Zb

c

f

Ceci est pratique mais permet surtout de d´efinir 1.4.3 Int´egration sur un intervalle ouvert

oooo oooo ooo

DEFINITION^´ 4.f est int´egrable surI =]a, b[(a, bfinis ou pas) ssi pour unc ∈Iquelconque on a f int´egrable sur]a, c]et sur[c, b[. On pose alors

Zb a

f= Zc

a

f+ Zb

c

f

En vertu du principe de Jules Cesar, “divide et impera”, il suffit donc d’´etudier l’int´egrabilit´e aux 4

bornes de l’intervalle. C’est ainsi qu’on ´etablit l’int´egrabilit´e : d’abord la continuit´e `a l’int´erieur de I, ensuite ´etude en chaque borne.

Attention `a ne pas omettre de v´erifier la qualit´e de la fonction DANS l’intervalle I. Par exemple x7→1/x² est bien int´egrable en+∞et en−∞, mais pas sur R(gros souci en 0).

Exemple:La fonction 1

√

1−x² est int´egrable sur] −1, 1[, soit

— par comparaison : 1

√

1−x² ∼ 1

p2(1−x) (resp.∼ 1

p2(1+x)) au voisinage de1(resp. de−1) qui est notoirement int´egrable par le crit`ere de Riemann.

— par le crit`ere pour les fonctions positives tout simplement puisque

∀X∈[0, 1[

ZX 0

dx

√

1−x² =Arc sinX6π/2 et de mˆeme pour] −1, 0].

Attention `a cette derni`ere m´ethode qui ne marche que pour des fonctions positives. En revanche elle nous donne imm´ediatement la valeur de l’int´egrale, soitπ.

Exemple:Soitx > 0fix´e. La fonctiont7→t^x−1e^−test

— Continue pourt∈]0,+∞[=I.

— ∼t^x−1= 1

t^1−x quandt→0⁺ et donc int´egrable en0, car1−x < 1.

— =o(1

t²)en+∞par croissance compar´ee et donc int´egrable en+∞.

Elle est donc int´egrable surI, et on poseΓ(x) = Z+∞

0

t^x−1e^−tdt.

1.4.4 Relations de comparaison

On a un raffinement de la condition d’int´egrabilit´e ci-dessus : oooo

oooo oooo oooo oooo oooo oooo

TH ´EOR `EME (INT ´EGRATION DES RELATIONS DE COMPARAISON). Soit fcontinue par morceaux sur l’intervalleI= [a, b[et soitgune fonction positive et int´egrable. Alors au voisinage deb

— Sif=O(g)), on a vu quefest int´egrable ; et de plus quandx→bon a Zb

x

f=O Zb

x

g

! .

— Sif=o(g)alorsfest toujours int´egrable et par surcroˆıt Zb

x

f=o Zb

x

g

! .

— Si f ∼ g alors non seulement les deux int´egrales sont de mˆeme nature, mais Zb

x

f ∼ Zb

x

g→0dans le cas de convergence, et Zx

a

f∼ Zx

a

g→+∞dans le cas de divergence.

Ce th´eor`eme r´esulte facilement des pr´ec´edents, la r´edaction de sa d´emonstration est laiss´ee au lec- teur `a titre d’entraˆınement. Attention, on parle bien d’int´egrabilit´e et pas de convergence d’int´egrale : par exemple l’int´egrale de de

Z_∞

0

sint

t dtconverge, mais la fonction ´equivalente sint

t +sin²t tlnt a une int´egrale divergente (croyez-moi sur parole).

1.5 Techniques de calcul

1.5.1 Primitivation

Le plus simple (comme pour les int´egrales ordinaires) est d’exhiber une primitivequi admette des limites enaet enb: on a alors

oooo o

PROPOSITION. Zb

a

f= [F]^b_a=lim

b F−lim

a F o `u F⁰=f sur ]a, b[

Exemple: Z1

0

lntdt=

tlnt−t1

0= −1. De mˆeme, Z+∞

0

dt 1+t² =

arctant+∞ 0 = π

2. Il est licite d’utiliser la notation[F]^b_a=lim

b F−lim

a F a condition que ces limites existent !` (ce qui se justifiera le plus souvent par croissance compar´ee), quea, bsoient finis ou pas.

NB : cette technique – primitive. . .– fonctionne pour des int´egrales convergentes comme absolu- ment convergentes.

1.5.2 Changement de variable

Il est possible aussi de faire des changements de variable, avec un peu plus de pr´ecautions que dans le cas d’un segment :

oooo oooo oooo oooo

PROPOSITION.Soit ϕest une bijection de classe C¹de IsurJ,strictement croissante; alors Z

J

f

et Z

I

(f◦ϕ)×ϕ⁰ sont de mˆeme nature, et on a en cas de convergence Z

I

f(ϕ(t)).ϕ⁰(t)dt= Z

J

f

D ´emonstration. Pour fixer les id´ees prenonsI=]α, β[etJ=]a, b[(on peut montrer queJest n´ecessairement ouvert quandIl’est –ϕ⁻¹est continue aussi `a cause de la croissance). Alors pourγ∈I, c=ϕ(γ)∈J on a par des int´egrales sur des segments

Zx γ

f(ϕ(t)).ϕ⁰(t)dt= Zϕ(x)

c

f=F◦ϕ(x) quandx→βon a bienϕ(x)→bet donc a les int´egralesRb

γf(ϕ(t)).ϕ⁰(t)dtet Rb

cf qui sont bien de mˆeme nature (convergentes, absolument convergentes), et ont mˆeme valeur en cas de convergence.

De mˆeme du cˆot´e dea, tout ceci parce que l’int´egrale est fonction continue de sa borne sup´erieure

(Fest continue).

Exemple:CalculonsI= Zπ

0

1

2+cosxdx.

D’abord on ´ecrit par d´ecoupage et changement de variableI= Zπ/2

0

4

4−cos²xdx.

Ensuite on pose l´egalementt=tanx(r`egle de BIOCHE) ce qui donne I= 4

3 Z_∞

0

1

4/3+t²dt= 4 3

"r 3

4arctan x r3

4

!#∞

0

= π

√3

Dans le cas o `u le changement de variable est strictement d´ecroissant on adapte facilement le th´eor`eme pr´ec´edent, grˆace `a la convention

Za b

f= − Zb

a

f: on aura alors Z

I

f(ϕ(t)).ϕ⁰(t)dt= − Z

J

f

Exemple:Consid´erons Z_∞

0

sinωt

t dt.Quandω > 0,I=J= [0,+∞[et on peut ´ecrire sans ambages Z_∞

0

sinωt t dt=

Z_∞

0

sinx x dx

par l’homoth´etie t 7→ ωt. Mais attention ! pour ω < 0, notre bijection devient d´ecroissante et d’ailleursJ=] −∞, 0[! On a alors

Z_∞

0

sinωt t dt=

Z−∞ 0

sinx

x dx= − Z0

−∞

sinx x dx 6

c’est `a dire le r´esultat oppos´e. En fait

ω7→ Z_∞

0

sinωt t dt=







π/2 siω > 0

−π/2 siω < 0

0 siω=0

Exemple:L’int´egrale Z

R

sin(e^t)dtest convergente (mais pas absolument convergente), car le chan- gement de variable bijectif strictement croissant etcx=e^tram`ene `a l’int´egrale du sinus cardinal Z_∞

0

sinc. Encore un exemple d’une int´egrale convergente bien que la fonction ne tende carr´ement pas vers 0 en∞. . . Remarque : le programme stipule que des changements de variable simples (translation, homoth´etie, puissance, logarithme) peuvent ˆetre appliqu´es sans faire de chichis. En revanche, un changement de variable en x= sint,tant par exemple n´ecessitera de bien pr´eciser quels sont les intervalles utilis´es et de v´erifier que la fonction est bien bijective et strictement croissante.

Exemple:Il n’est pas judicieux de fairet=tanxpour calculer Zπ

0

dx

1+cos²x. La r`egle de Bioche le recommande certes, mais trouver une int´egrale de 0 `a 0 n’est pas satisfaisant !

1.5.3 Int´egration par parties

Enfin, on peut de mˆeme faire (toujours en passant `a la limite sr les relations connues sur les segments) des int´egrations par parties :

oooo oooo oooo oooo

PROPOSITION.Sif etgsont deux applications de classeC¹telles quef⁰getfg⁰ soient int´egrables, ET SIf.gadmet des limites aux bornes de I=]a, b[alors les int´egrales

Zb a

f⁰get Zb

a

fg⁰ sont de mˆeme nature, avec dans le cas de convergence

Zb a

f⁰g= fg^b

a− Zb

a

fg⁰ o `u fg^b

a=lim

b fg−lim

a fg

En fait, il suffit que deux des trois quantit´es fassent sens pour que l’´egalit´e ait lieu (CV + CV = CV).

En pratique, on part d’une int´egrale et il faudra v´erifier la convergence du crochet (en g´en´eral par croissance compar´ee) pour en d´eduire la convergence de l’autre int´egrale.

Exemple: Z1

0

−lnt.tⁿdt=

−lnttⁿ⁺¹ n+1

¹

0+ Z1

0

tⁿ⁺¹

t(n+1) = 1

(n+1)² car par croissance compar´eetⁿ⁺¹lnt→ 0en 0.

Par ailleurs, on (re)d´emontre que l’int´egrale du sinus cardinal est convergente par une int´egration par parties : Z_∞

0

sint t dt=

1−cost t

∞ 0

+ Z_∞

0

1−cost t² dt→

Z_∞

0

1−cost t² dt car la fonction 1−cost

t² , continue car DSE ( ! ! !), est int´egrable surR+ par comparaison `a1/t²en +∞(contrairement au sinus cardinal). Noter le choix habile de la primitive1−cos de sin qui permet un prolongement par continuit´e des fonctions consid´er´ees.En particulier le crochet fait sens[et vaut 0], par continuit´e en 0 et par croissance compar´ee en+∞(c’est l´egal de proc´eder directement

`a l’i.p.p. sur cet intervalle maisa condition de bien justifier l’existence du crochet).` Un dernier exemple classique : pourx∈Non aΓ(x+1) =x!. En effet

Γ(x+1) = Z+∞

0

t^xe^−tdt=

−e^−tt^x+∞

0 +

Z+∞ 0

e^−tx t^x−1dt=0 ( par c.c.) +xΓ(x) et on reconnaˆıt la r´ecurrence des factorielles, avec la mˆeme initialisation puisqueΓ(1) =

Z+∞ 0

e^−tdt= −e^−t+∞

0 = 1. La fonction Γ interpole donc sur les r´eels positifs la fonction factorielle qui n’a de sens que pour les entiers.

1.6 Espace des fonctions int´ egrables

Notons bien que Z

I

f peut tr`es bien ˆetre nulle quand f est une fonction positive non nulle : par exemple, sif=1_N. Pour avoir une norme digne de ce nom, on se restreindra aux fonctions conti- nues :

oooo oooo oo

TH ´EOR `EME 3.Soit L¹_C(I) l’espace vectoriel des applications continues, int´egrables, de I dans C.

Alors on d´efinit une norme surL¹_C(I), dite norme de la convergence en moyenne, par l’appli- cation

f∈ L¹_C(I)7→N₁(f) =kfk1= Z

I

|f|

La v´erification est imm´ediate, en particulier l’in´egalit´e triangulaire d´ecoule de celle qui est connue pour les int´egrales sur un segment et

Z

I

|f|=0⇒

Z

[a,b]

|f|=0⇒f|[a,b]=0(par continuit´e def)

pour tout segment[a, b]⊂Ipuisque|f|>0! Le fameux – et pr´ecieux – lemme est donc encore vrai sur un intervalle qui n’est pas un segment :

LEMMEoo 2.Une fonction positive,continue, int´egrable surI, a une int´egrale nulle ssi c’est la fonc- tion nulle surI.

Dire que la suite(fn)convergeen moyenneversfsignifie donc quekf−fnk1= Z

I

|f−fn|→0.

On a donca fortiori Z

I

f_n → Z

I

f, puisque Z

I

(f−fn) 6

Z

I

|f−fn|

Dans le cadre des int´egrales sur un segment, on avait vu qu’en cas de convergenceuniformede la suite(fn)versf, on avait convergence en moyenne, et en particulier

lim Z

fn= Z

limfn

Ceci n’est plus vrai sur un intervalle quelconque : ainsi pourfn(t) = tⁿ

n!e^−t et I= [0,+∞[ on a la convergence uniforme vers l’application nulle¹, et pourtant

Z

I

fn=16→0. Cependant, avec la mˆeme d´emonstration que sur un segment, on a

oooo o

TH ´EOR `EME 4.Si une suite de fonctions int´egrables (fn) de L¹_C(I) converge uniform´ement sur I born´e, alors on a aussi convergence en moyenne, et surtoutlim

Z fn =

Z limfn

D ´emonstration. En effet, en notantf la limite (continue comme on sait) defn on a, en notant spdg I=]a, b[,

Z

I

f− Z

I

fn

= Z

I

(f−fn) 6

Z

I

|f−fn|6 Zb

a

kf−fnk_∞= (b−a)kf−fnk_∞→0

(cette preuve est d´eficiente car on a pass´e sous silence l’existence de l’int´egrale de f. Mais ce th´eor`eme sera rendu inutile par le th´eor`eme de convergence domin´eeinfra).

1. ´Etudier la fonction pour trouver le maximumfn(n)et utiliser la formule de Stirling.

8

oooo o

REMARQUE 3.On peut aussi d´efinir des espaces de fonctions de carr´e int´egrable (voire mˆeme d’autres puissances) et les normes associ´es (comme la norme en convergence quadratique), mais cela est hors-programme.

2 Th ´ eor ` emes sur les suites d’int ´ egrales

L’int´erˆet de la notion de fonction int´egrable — qui pose certains probl`emes, notamment avec les int´egrales impropres qui ´echappent `a cette th´eorie — est la puissance des th´eor`emes de conver- gence que nous allons ´enoncer dans cette partie. Ils sont bien plus commodes, et plus faciles `a utiliser, que ceux qui concernent la convergence uniforme (en revanche, les d´emonstrations sont difficiles !).

La philosophie g´en´erale est la suivante : sous r´eserve d’une hypoth`ese de domination (par une fonction positive int´egrable), on aura le droitd’intervertir les limites, et par exemple d’´ecrire que la limite des int´egrales est l’int´egrale de la limite, etc. . .

2.1 Convergence domin´ ee

On fait connaissance d’une classe tr`es importante, et tr`es utile, de th´eor`emes : ceux o `u l’on sup- pose la domination de tous les termes par un mˆeme objet. Ici, on prend une suite(fn)de fonctions

`a valeurs r´eelles ou complexes, continues par morceaux et telles qu’il existe une fonction domi- nanteϕ(continue par morceaux, positive, int´egrable) ie

∀n∈N |fn|6ϕ

On suppose bien ´evidemment quefn →f simplement, le probl`eme ´etant d’arriver `a une formule

du genre Z

I

limfn=lim Z

I

fn

Bien s ˆur, une telle formule est fausse en g´en´eral (sans l’hypoth`ese de convergence domin´ee)² comme le montre l’exemple suivant :

Rπ/2

0 (n+1)sinⁿtcostdt=1alors que(n+1)cosⁿ tsint→0en touttr´eel.

On mesure mieux l’int´erˆet de l’hypoth`ese de convergence domin´ee en observant le graphe de cette fonction, qui poss`ede unebosse glissantede hauteur arbitrairement grande (prendret≈π/2n).

Un autre contre-exemple, d´ej `a mentionn´e : on a Z+∞

0

tⁿe^−t

n! dt = 1 ∀n ∈N bien que l’int´egrande tende vers 0 – et mˆeme uniform´ement sur I! Mais si on trace les graphes de cette famille de fonctions, onvoitqu’une fonction qui majorerait toute la famille seraitdu genredet7→1/√

t qui n’est pas int´egrable, cf. Fig.??.

Enfin, un exemple qui marche : Z+∞

0

e^itx

t²+x²dt→0 quandx→+∞ en prenantϕ(t) = 1

t²+1 – pourx>1!

Voici l’´enonc´e :

2. Noter que cette hypoth`ese est uniforme – surn.

FIGURE1 – Une ´eventuelle fonction ”dominante” serait non int´egrable

oooo oooo oooo oooo oooo oooo

TH ´EOR `EME DE CONVERGENCE DOMIN ´EE.

• Si(fn)est une suite de fonctions continues par morceaux, domin´ees parϕint´egrable sur I: c’est `a dire que

∃ϕcontinue par morceaux, int´egrable surI|∀n|fn|6ϕ,

•et si fn→f, continue par morceaux, simplement surI, alors

— fest int´egrable ;

— la suite( Z

I

f_n)converge ;

— Z

I

f= Z

I

limfn=lim Z

I

fn

Exemple:• Z+∞

0

e^−t

1+ntdt→0 quandn→+∞car on a la domination par

e^−t 1+nt

6e^−t, int´egrable surR+,

et l’int´egrande tend simplement vers 0.³

•En revanche la suite Z_∞

0

e^−t/n

n dt ne tend pas vers 0 ! On peut s’amuser `a chercher la meilleure ϕ possible dans ce cas (Sup

n∈N^∗

e^−t/n

n = 1/t) pour comprendre que l’hypoth`ese de domination ne fonctionne pas.

3. Pas ent =0, o `u la suite de fonctions reste ´egale `a 1, mais la fonction limite estpresquela fonction nulle, et d’int´egrale ´egale `a 0.

10

oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo ooo

REMARQUE4.

•La d´emonstration est admise (elle fait trois pages en petits caract`eres). N´eanmoins on peut envisager de la faire avec des hypoth`eses plus fortes :

• fest int´egrable car `atfix´e on|f(t)|= lim

n→∞|fn(t)|6ϕ(t)int´egrable.

• Par d´efinition,R

Iϕ =limR

Jϕ o `u Jest un segment dont les bornes tendent vers celles de l’intervalleI; donc il existe un segmentJ⊂Itel que

Z

I\J

ϕ= Z

I

ϕ− Z

J

ϕ6εdonn´e.

• En supposant de surcroˆıt qu’il y a convergence uniforme de fn vers f sur tout segment(allez voir le lemme de Cousin sur la toile), on a sur le segmentJpr´ec´edent

∃n₀∀n>n₀

Z

J

f− Z

J

f_n 6ε

par le th´eor`eme d’int´egration de la limite uniformesur un segment.

On a alors

Z

I

f− Z

I

f_n

= (

Z

J

f− Z

J

f_n) + ( Z

I

f− Z

J

f) − ( Z

I

f_n− Z

J

f_n)

6 Z

I\J

|f|+ Z

J

f− Z

J

fn

+ Z

I\J

|fn|62 Z

I\J

|ϕ|+ Z

J

f− Z

J

fn

63ε ce qui donne bien la convergence.

•Attention : le motdomin´e, dans ce contexte, n’a pas le sens d’unO(utilisercontrˆol´e), mais celui demajor´e en valeur absolue par.

• Ce th´eor`eme permet de d´emontrer enfin simplement que, par exemple, Zπ/2

0

sinⁿtdt →0 quandn→+∞, ce qui paraˆıt ´evident mais ne l’est pas du tout sans ce nouvel outil. En fait, la suite de fonctions converge vers 0 g´eom´etriquement, mais comme on sait la suite d’int´egrales converge lentement (en n^−1/2) donc ce n’´etait pas si ´evident que cela (et devient faux si on rajoute unndevant).

• Les th´eor`emes de convergence uniforme sur un segment apparaissent comme des cas particuliers de ces th´eor`emes de CV domin´ee : en effet, une suite uniform´ement conver- gente (d’applications continues) sur un segment y est domin´ee par une fonction constante ! L’´enonc´e plus g´en´eral est important :

oooo oooo oooo oooo

TH ´EOR `EME DE CONVERGENCE BORN ´EE.

Soit (fn) une suite de fonctions continues par morceaux qui converge simplement vers f continue par morceaux sur l’intervalle Iborn´e. Si la suite (kfnk_∞) est born´ee (i.e. domin´ee par une constante !) , alorsfest born´ee, int´egrable et surtout

Z

I

f_n→ Z

I

f

Exemple:On a ainsi sans calcul Rπ/2

0 cosⁿtdt → 0 car cosⁿ → 0 sur]0, π/2] et 1 majore la suite de fonctions. Pourtant on n’a pas convergence uniforme. On peut donc voir le TCD comme un

th´eor`eme d’interversion limite-int´egrale version 2.0!

2.2 Int´ egration terme ` a terme

On admet aussi le th´eor`eme suivant, d’emploi tr`es fr´equent.

oooo oooo oooo oooo o

TH ´EOR `EME D’INT ´EGRATION TERME `a TERME V. 2.0.

Soit (P

u_n)une s´erie de fonctions continues par morceaux sur I, int´egrables, qui converge simplement vers une fonctionfcontinue par morceaux. Si de plus la s´eriePZ

I

|un|

converge, on a l’int´egrabilit´e defet

X

n>0

Z

I

u_n= Z

I

X

n>0

u_n

Bien entendu, tout repose sur l’hypoth`esePZ

I

|un|

<+∞.

AtTeNtIoN ! ! !

I

u_n converge, comme le montre l’exemple suivant : X

n>1

(n+1)sinⁿt−nsinⁿ⁻¹t

cost= −cost

or si la somme des int´egrales sur[0, π/2[est parfaitement d´efinie et vaut 0, en revanche l’int´egrale de la somme est -1. Qu’est-ce qui cloche ? Le th´eor`eme ne s’applique pas, car quand on met les valeurs absolues DANS les int´egrales on trouve une s´erie qui diverge vers+∞.

D ´emonstration. On ne sait jamais, je joins une d´emonstration partielle (qui r´esulte du TCD).

Pour montrer quefest int´egrable : en effet si l’on poseϕ=|u0|+. . .|un|+. . .=P

|un|, il vient|f|6ϕ

et donc Z

I

|f|6 Z

I

ϕ= Z

I

X∞ n=0

|u_n|= X∞ n=0

Z

I

|u_n| par convergence domin´ee (appliqu´ee `a la suitesn=|u0|+. . .|un|6ϕ).

Toujours par convergence domin´ee, mais appliqu´ee `a Sn = u0+. . . un sans les valeurs absolues (mais n´eanmoins domin´ee aussi parϕ), on conclut `a l’interversion.

Cette preuve contient une petite escroquerie, elle zappe l’existence et la nature deϕ. . . qui s’´eclairera avec la notion d’int´egrale de Lebesgue : en faitϕest d´efiniepresque partout, c’est `a dire que la s´erie desP

|un| ne peut pas diverger ailleurs que sur une partie riquiqui de I – une partie demesure

nulle.

Exemple: (x > 0)

Z+∞ 0

X

n>0

(−1)ⁿtⁿe^−t/x

(n!)² dt= X

n>0

Z+∞ 0

(−1)ⁿtⁿe^−t/x

(n!)² dt= X

n>0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹

n! =x.e^−x la seule justification ´etant que P

n>0

Z+∞ 0

tⁿe^−t/x

(n!)² dt= X

n>0

xⁿ⁺¹

n! converge. Pratique, n’est-ce pas.

Un autre exemple : ln(1−t)lnt

t = − P

n>0

tⁿlnt n+1.

Les termes de cette s´erie sont tous positifs sur]0, 1[, on peut omettre les valeurs absolues.

Par une int´egration par parties, on calcule Z1

0

−tⁿlnt

n+1 dt= 1

(n+1)³ qui est bien le TG d’une s´erie convergente. Donc Z1

0

ln(1−t)lnt

t dt= X

n>0

1

(n+1)³ =ζ(3).

2.3 Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre

L’hypoth`ese de domination donne des ´enonc´es tr`es agr´eables pour les int´egrales d´ependant d’un param`etre. `A noter que l’int´egrabilit´e, ou le caract`ereC^∞ de l’int´egrande, sont loin de suffire : la fonctionχ_R^∗:x7→

Z

R+

x²e^−x2tdt= 1 ssix6=0, et 0 six=0,n’est mˆeme pas continue en0!(poseru=x²t) 12

2.3.1 Continuit´e sous le signe Z

oooo oooo oooo oooo oooo oo

TH ´EOR `EME (DE CONTINUIT ´E SOUS LE SIGNE Z

).

Soitfune application deA×IdansC, o `uAest une partie deR^ptelle que ,

— f(x, t)est continue par rapport `ax, et continue par morceaux par rapport `at;

— fest domin´ee par une fonctionϕind´ependante de x:

∀(x, t)∈A×I |f(x, t)|6ϕ(t)

o `uϕest une fonction positive, int´egrable surI.

Alors la fonctionFd´efinie parF(x) =R

If(x, t)dtest continue surA.

D ´emonstration. Remarquons d´ej `a que, par domination, pour tout x∈A la fonctiont 7→f(x, t) est int´egrable surI.

Montrons que pour toute suite (xn) de A tendant vers x on a F(xn) → F(x). En effet, on a vu en Topologie que cela ´equivaut `a la continuit´e deFenx.

On pose fn(t) = f(xn, t). Alors le th´eor`eme de convergence domin´ee s’applique : |fn(t)| 6 ϕ(t) et donc quandntend vers+∞on af<sub>n</sub>(t)→f(x, t)(par continuit´e def `a gauche) et donc

Z

I

f(x_n, t)dt→ Z

I

f(x, t)dt.

La continuit´e ´etant une propri´et´e locale, on a le oooo

o

COROLLAIRE 1.La mˆeme conclusion est encore vraie si l’hypoth`ese de domination est v´erifi´ee seulement sur tout compact inclus dansA(typiquement si Aest un intervalle deR, il suffit de v´erifier la domination sur tout segment⊂A. Cas tr`es fr´equent en pratique).

Exemple:la fonction Gamma d´efinie par Γ(x) = Z+∞

0

t^x−1e^−tdt est continue sur [1, n], comme on le voit en majorant l’int´egrande par la fonction e^−t (voire par 1. . .) pour t ∈ [0, 1] et e^−ttⁿ pour t > 1: cette fonction est int´egrable (comparer `a1/t<sup>2</sup>comme d’habitude) et le th´eor`eme s’applique.

La relation de r´ecurrenceΓ(x+1) =x Γ(x)permet d’en d´eduire la continuit´e sur]0, 1]. Finalement, on la continuit´e deΓ sur]0,+∞[. On peut mˆeme en d´eduire un ´equivalent quandx→0⁺, lequel ? EXERCICE2.D´emontrer directement la continuit´e sur]0, 1] `a l’aide de segments bien choisis.

Enfin on a le cas simple desfonctions continuesquandIest unsegment, car on peut dominer par une fonction constante (quitte `a restreindreA `a un compact). Il faut mentionner cet argument

`a chaque fois, car l’´enonc´e suivant est hors-programme :

COROLLAIRE2.SiIest un segment et sif est continue surA×IalorsFest continue surA.

Exemple:Par exemple,x7→Rπ

0ln(1+xsin²t)dtest continue surR+par le corollaire.

EXERCICE3.Montrer la continuit´e sur] −1,+∞[et mˆeme sur[−1,+∞[.

oooo oooo oooo oooo oo

REMARQUE 5.Le th´eor`eme ne contient h´elas pas le cas o `u x → ±∞ (bien que la d´emonstration soit identique). Dans le cadre du programme, il est tol´er´e d’admettre que cela marche quand mˆeme. Cela se prouve par l’artifice suivant :

— On prend une suite (xn) quelconque qui tend vers ∞, et on applique le th´eor`eme de convergence domin´ee `ag_n :t7→f(x_n, t).

— On en d´eduit, vu queF(x_n)converge d`es quex_n→ ∞, queFadmet une limite en∞.

Par exemple, on prouve ainsi que Z_∞

0

e^ixt

1+x²t²dt→0quandx→±∞.

2.3.2 D´erivation sous le signe somme

Attention ! comme pour les th´eor`emes sur la convergence uniforme, les hypoth`eses portent surtout sur la d´eriv´ee. Si elles ne sont pas satisfaites on a des contre-exemples :

1. Par changement de variable on a vu que F(x) =

Z_∞

0

sin(xt) t dt= π

2sgn(x)

En particulier F⁰ est nulle (sauf en 0). Mais la d´erivation “ `a l’arrache” donnerait F⁰(x) = Z_∞

0

cos(xt)dtqui ne converge pas.

2. Plus troublant, si on poseF(x) = Z1

0

f(x, t)dt o `uf(x, t) = x³t

(x²+t²)² pour (x, t)6= (0, 0), il vient en posanty=x²+t²

∀x6=0 F(x) = Z1+x²

x²

x³

2y²dy= x 2(1+x²) et commeF(0) =R

0=0, la formule est g´en´erale (etFest DSE, no less !).

En particulierF⁰(0)existe et vaut 1/2.

Mais si l’on calcule Z1

0

∂f

∂x(x, t)dt, il vient, apr`es simplification :

∀x6=0 F⁰(x) = Z1

0

t 3t²x²−x⁴ (t²+x²)³ dt

= x²−1 2(x²+1)²

tandis que ∂f

∂x(0, t) =0, et “donc”F⁰(0) =0! Il faut clairementserrer les boulonsici.

oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo ooo

TH ´EOR `EME DE LEIBNIZ.

Soit fune application de A×IdansRouC, o `uAd´esigne cette fois un intervalle deR, telle que

— Pour tout x∈A, la fonctiont7→f(x, t)est continue par morceauxet int´egrable sur I,

— ∂f

∂x existe et v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent (continue par rapport `a x, continue par morceaux par rapport `a t, domin´ee par une fonction ϕ int´egrable ind´ependante dex).

AlorsF:x7→ Z

I

f(x, t)dtest de classeC¹surA, et l’on a

F⁰(x) = Z

I

∂f

∂x(x, t)dt

D ´emonstration. On consid`ere une suite de segmentsI_n inclus dans I, qui tende vers I(siI=]a, b]

pour fixer les id´ees, on poseIn=]an, bn]avecan &a, bn =b). On d´efinitFn(x) = Z

I_n

f(x, t)dt.

ooo

LEMME1.Fnest de classeC¹etF_n⁰(x) = Z

I_n

∂f

∂xdt(th´eor`eme deLEIBNIZpour une fonctionC¹sur un segment).

Ce lemme n’est pas au programme, mais il est un cas particulier simple et `a retenir, facilement puisqu’il n’y a pas d’autre hypoth`ese que la classeC¹et l’int´egrale sur unsegment.

Par d´efinition :

F_n(x) −F_n(a)

x−a =

Z

I_n

f(x, t) −f(a, t) x−a dt Prolongeonsh(x, t) = f(x, t) −f(a, t)

x−a par continuit´e quand x=apar la valeurh(a, a) = ∂f

∂x(a, t): on obtient une fonction continue surA×In. Quitte `a restreindreA `a un compact contenanta, on a une

14

fonction continue sur un produit de compacts, qui est donc un compact, et donc uniform´ement continue (th´eor`eme de HEINE). Ceci signifie que pour toutε > 0on peut exhiberα > 0avec

∀(x, t)∈A×In |x−a|6α⇒

∂f

∂x(a, t) − f(x, t) −f(a, t) x−a

6 ε bn−an

On en tire que

Fn(x) −Fn(a)

x−a −

Z

In

∂f

∂x(a, t)dt

6εce qui d´emontre le lemme.

Reste `a passer `a la limiteIn→I. Pour utiliser le th´eor`eme de la d´erivation d’une suite de fonctions, on a besoin du

LEMME2.La suiteF_n⁰ converge uniform´ement sur (le compact)Avers Z

I

∂f

∂xdt.

Ceci utilise l’hypoth`ese de domination des d´eriv´ees. En effet

Z

I

∂f

∂xdt− Z

I_n

∂f

∂xdt 6

Z

I

− Z

I_n

ϕ6ε

pournassez grand, car Z

In

ϕ= Zb_n

an

ϕ→ Zb

a

ϕ.

Il n’ya plus qu’ `a observer qu’on a convergence simple de Z

In

f(x, t)dt vers F(x) pour appliquer le

th´eor`eme de d´erivation d’une suite de fonctions et conclure.

Exemple:La d´eriv´ee deΓ est Z+∞

0

lnt.t^x−1.e^−tdt.

En effet, l’int´egrande de cette nouvelle int´egrale est domin´e parϕ:t7→

−lnt .e^−t (0 < t < 1) lnt .tⁿ⁻¹.e^−t (t>1) pour x ∈ [1, n] (noter la restriction de A `a un segment. . .), et ϕ est int´egrable en 0 et en +∞ (=O(e^−t/2)).

oooo o

EXERCICE4. — Montrer de fac¸on similaire cette formule sur]0, 1].

— Montrer que Γ est C^∞, et calculer sa d´eriv´een^i`eme. Esquisser son graphe sur ]0,+∞[ (on observera queΓ(x)∼1/xen0⁺).

Exemple:ReprenonsF(x) = Zπ

0

ln(1+xsin²t)dt. On consid`ere pourx >−1la d´eriv´ee de l’int´egrande par rapport `ax, soit sin²t

1+xsin²t. C’est une fonctionC^∞des deux variables, ce qui est plus qu’il n’en faut ! Et on peut la majorerind´ependamment dex>a >−1par 1

1+asin²t qui est int´egrable sur [0, π](notez la r´eduction de l’intervalle de travail).

Donc le th´eor`eme de LEIBNIZs’applique : F⁰(x) =

Zπ 0

sin²t

1+xsin²tdt= π x√

1+x(√

1+x−1) = π

√1+x(√

1+x+1) On peut mˆeme en d´eduire la valeur exacte de

F(x) = Zx

0

√ π

1+x(√

1+x+1)dx=2πln[1+√

1+x] −2πln2

en prenant garde `a la condition F(0) = 0. Cette expression reste valable en x = −1 puisqu’on a v´erifi´e queF est continue sur[−1,+∞[, d’o `u le r´esultat non trivial

Zπ 0

2ln|cost|dt=4 Zπ/2

0

ln(cost)dt=F(−1) = −2πln2.

oooo oooo oooo oooo oooo o

COROLLAIRE3.Sif, toujours d´efinie surA×I, est de classeC^kpar rapport `a la variablex, si toutes les ∂^pf

∂x^p sont continues par morceaux par rapport `atet int´egrablessurIpourp=0 . . . k−1; et si enfin

∂^kf

∂x^k(x, t)

6ϕ(t)pour une certaine fonction int´egrable ϕ, alorsF est de classeC^k et ses d´eriv´ees d’ordrep=1 . . . ksont

F^(p)(x) = Z

I

∂^pf

∂x^p(x, t)dt

Exemple:En d´eduire la d´eriv´eek^emedeΓ. Ce Corollaire ´evite de se farcir la r´ecurrence `a chaque fois qu’on veut montrer qu’une fonction d´efinie par une int´egrale estC^∞.

oooo oooo oooo oooo oooo oooo oooo

EXERCICE 5.Le programme ne traite plus de l’int´egration de F(x) = Z

I

f(x, t)dt, mais pourquoi se priver de regarder ce qui se passe au moins dans le cas de segments ?

On pose

ϕ(x) = Zb

a

Zx c

f(u, v)du

dv et ψ(x) = Zx

c

Zb a

f(u, v)du dv

o `ufest une fonction continue sur le rectangle[a, b]×[c, d]etx∈[c, d]. Montrer que l’on peut d´eriverϕetψ, calculer leurs d´eriv´ees et en d´eduire que

Zb a

Zd c

f= Zd

c

Zb a

f.

oooo oooo

EXERCICE6.On veut calculer Z_∞

0

dt

(t²+1)ⁿ, n∈N. Qui peut le plus. . . Exprimer la d´eriv´een−1^`eme dea7→^f

Z_∞

0

dt

(t²+a)ⁿ poura > 0, calculerf(a)et conclure.

16