Exercice 1 : Int´ egrale dans le plan complexe (*) On ´ etudie l’int´ egrale de la fonction

Universit´ e Paris-Saclay Ann´ ee 2020–2021 Licences L3 PAPP

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 6 : Lemmes de Jordan

Exercice 1 : Int´ egrale dans le plan complexe (*) On ´ etudie l’int´ egrale de la fonction

f (z) = e

(z + i a)

, avec a > 0 ,

sur le contour ferm´ e ∆

∪ C

, o` u ∆

= [−R, +R] et C

est le demi-cercle.

∆

R

0

R

+R

−R

C

1 – Quel est le domaine d’analyticit´ e de la fonction f si a > 0 ? 2 – Utiliser le lemme de Jordan pour montrer que R

CR

dz f (z) → 0 lorsque R → ∞.

3 – D´ eduire la valeur de l’int´ egrale Z

−∞

dx e

(x + i a)

. 4 – Peut-on utiliser le mˆ eme argument si a < 0 ?

Exercice 2 : Relation entre deux int´ egrales

On montre comment utiliser le th´ eor` eme de Cauchy pour relier deux int´ egrales de natures diff´ erentes. On ´ etudie l’int´ egrale

I

Γ

dz e

(λ + z)

, avec λ > 0 (1)

sur le contour Γ ferm´ e :

0 +R

1 – Utiliser le lemme de Jordan pour montrer que l’int´ egrale sur l’arc de cercle tend vers z´ ero quand R → ∞.

2 – Ecrire soigneusement les contributions des deux autres parties du contour Γ (les deux ´ segments). D´ eduire la relation

Z

dx cos x

(λ + x)

= 2λ Z

0

dx x e

(λ

+ x

)

(2)

On notera F (λ) la fonction d´ efinie par ces deux int´ egrales.

3 – Quel est l’int´ erˆ et de la relation (2) ?

Un autre int´ erˆ et apparaˆıt si l’on recherche les comportements limites de la fonction F (λ).

Faire un changement de variable x = λt dans les deux formes int´ egrales.

(a) Quelle forme est la plus appropri´ ee pour obtenir le comportement pour λ → 0 ? (b) Et pour λ → ∞ ?

4 – Facultatif (pour les courageux ou les enthousiastes) : par la mˆ eme m´ ethode, en ´ etudiant g(z) = e

/(λ + z), montrer que

Z

dx sin x λ + x = λ

Z

dx e

λ

+ x

(3)

(l’int´ egrale sur le quart de arc de cercle sera plus d´ elicate ` a borner dans ce cas : cf. le TD 5 o` u un cas analogue a ´ et´ e trait´ e).

Exercice 3 : Int´ egrale du sinus cardinal sur R (*) Soit la fonction f(z) = e

z .

1 – Montrer qu’elle est holomorphe sur un ouvert U qu’on pr´ ecisera.

2 – On consid` ere le contour Γ = γ

∪ γ

∪ γ

∪ γ

repr´ esent´ e ci-dessous :

Γ: γ

γ

R

ε +

γ−

−R +R

0

−ε +ε γ

Param´ etrer soigneusement les quatre parties du contour et ´ ecrire les contributions des diff´ erentes parties du contour ` a l’int´ egrale

I

Γ

dz f (z).

3 –

(a) Que vaut I

Γ

f (z) dz ? Justifier votre r´ eponse.

(b) Montrer que lim

ε→0

Z

γε

f (z) dz = −iπ (c) Montrer que lim

R→+∞

Z

γR

f(z) dz = 0.

4 – En d´ eduire que Z

−∞

sin x

x dx = π.